1、北京四中高二数学 期中测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知向量，则下列向量与垂直的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算数量积，数量积为0，即垂直【详解】，只有B满足垂直故选：B2. 若直线与直线平行，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】由于直线与直线平行，则，解得.故选：D.3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂
2、直，故B正确.考点：空间点线面位置关系4. 在三棱锥中，若，那么必有（ ） A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】A【解析】【分析】由已知条件推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；利用面面垂直的性质定理可判断BCD选项的正误.【详解】，且，平面.对于A选项，平面，所以，平面平面，A选项正确；对于B选项，若平面平面，过点在平面内作，如下图所示：由于平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，过点作平面的直线有且只有一条，假设不成立，B选项错误；对于C选项，若平面平面，平面平面，平面，平面，平面，则，而与是否垂直未知，C选项错误；对于D选项，过点在平面内作，垂
3、足为点，若平面平面，平面平面，平面，所以，平面，平面，平面，平面，但与是否垂直未知，D选项错误.故选：A.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.5. 圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.【详解】圆的圆心坐标为，由圆的几何性质可知，线段
4、的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，直线的斜率为，则所求直线的斜率为，因此，线段的垂直平分线的方程是，即.故选：C.6. 若、三点共线，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知条件得出，结合斜率公式可求得实数的值.【详解】由于、三点共线，则，即，解得.故选：D.7. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面
5、所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.8. 如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据线面平行判定定理判断【详解】A中如下图，由中位线定理，而，从而，平面，有线面平行；B中，如下图，在平面
6、上，与显然相交，因此与平面相交，不平行C中，如下图，是所在棱中点，则，即平面，而在底面上，直线与直线相交，与平面相交，不平行D中，如下图，由中位线定理，而，从而，平面，有线面平行；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行的判断，关键是找到线线平行正方体中平行线很多，易于寻找，在说明线面相交时，注意线线相交一定要在一个平面内的两条直线才能确定是否相交9. 直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.【详解】解：直线与的交点在第四象限，联立方程： ，解得，即，解得
7、：.故选：C.10. 如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在（ ）A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. ABC的内部【答案】A【解析】【分析】由线面垂直判定有AC平面ABC1，再由面面垂直的判定有平面ABC1平面ABC，即可知点C1在平面ABC上的射影H的位置.【详解】连接AC1，ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1，又AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选：A.【点睛】本题考查了判断线面、面面垂直的方法，并确定点在面上射影的位置，属于基础题.
8、二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11. 经过，两点的直线的倾斜角为_.【答案】【解析】【分析】求出直线斜率，由斜率可得倾斜角【详解】由已知直线斜率为，倾斜角在上，所以倾斜角为故答案为：12. 圆心为且与直线相切的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】求出点到直线的距离，可得出所求圆的半径，进而可得出所求圆的标准方程.【详解】由于圆心为且与直线相切，则所求圆的半径为，因此， 所求圆的标准方程为.故答案为：.13. 圆截直线所得弦长等于_.【答案】【解析】【分析】将圆一般化为标准方程，求出圆的圆心坐标以及圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得所求的弦长.【详解】圆的标准方程为，圆心坐
9、标为，半径为，圆心到直线的距离为，因此，所求弦长为.故答案为：.14. 若空间向量，共面，则_.【答案】【解析】【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.【详解】由于、共面，设，因为空间向量，则，解得，故答案为：.15. 棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面的距离为_【答案】【解析】【分析】求出三棱锥的体积，再求出的面积，可得点面距【详解】由题意，又，等腰底边上的高为，所以，设点到平面的距离为，则由得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求点到平面的距离，求点面距的方法有：（1）定义法：作出点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点面距；（2）向量法：点，是平面的一个
10、法向量，则到平面的距离为在方向上投影的绝对值即16. 三棱锥中，、两两垂直，且.给出下列四个命题： ；和的夹角为；三棱锥的体积为.其中所有正确命题的序号为_.【答案】【解析】【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断的正误.【详解】设，由于、两两垂直，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、.对于，所以，正确；对于，则，正确；对于，所以，和的夹角为，正确；对于，则，所以，而三棱锥的体积为，错误.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，
11、利用空间向量的坐标运算即可.三、解答题：本大题共3小题，共36分17. 如图，在直三棱柱中，为中点，与交于点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接，可知点为的中点，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出四边形为菱形，可得出，证明出平面，可得出，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）如下图所示，连接， 在三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，为的中点，则为的中点，同理可知，点为的中点，平面，平面，因此，平面；（2）在直三棱柱中，平面，且，所以四边形为平行四边形，所以
12、，平行四边形为菱形，则，平面，平面，平面，平面，平面，平面，因此，平面平面.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，可假设两个平面垂直成立，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，即可找到所要证的线面垂直，然后组织论据证明即可.18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为棱的中点.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设.（1）写出、的坐标，利用空间向量法计算出直线与所成角
13、的余弦值；（2）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可计算得出直线与平面所成角的正弦值；（3）求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】平面，四边形为正方形，设.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、.（1），所以，异面直线、所成角的余弦值为；（2）设平面的一个法向量为， 由，可得，取，可得，则，因此，直线与平面所成角的正弦值为；（3）设平面的一个法向量为，由，可得，得，取，则，所以，平面的一个法向量为，由图形可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线
14、面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.19. 已知直角三角形的项点坐标，直角顶点，顶点在轴上.（1）求边所在的直线方程；（2）设为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；（3）已知与平行的直线交轴于点，交轴于点.若为圆上任意一点，求三角形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设中点为，则，得到，求出，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；
15、（3）先求，再求直线的方程，点到直线的距离，则三角形的高，最后利用求解即可.【详解】（1）设中点为，又，则，则,又，所以，则，所以，故，则边所在的直线方程为：；所以边所在的直线方程为：；（2）由为直角三角形外接圆的圆心，则为的中点坐标为，又,则圆的方程为：；（3）由，得，直线与直线平行，又，则直线的方程为：，则，所以点到直线的距离，则三角形的高，则，三角形面积的取值范围为.【点睛】方法点睛：圆上的点到直线的距离的范围问题，转化为圆心到直线的距离加半径最大，减半径最小.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分20. 圆关于直线对称的圆方程为_.【答案】【解析】【分析】求出圆的圆心关于直线
16、的对称点的坐标，再根据所求圆与已知圆的半径相等，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆的圆心坐标为，且点关于直线的对称点的坐标为，由题意可知，所求圆的半径与圆的半径相等，因此，圆关于直线对称的圆方程为.故答案为：.21. 已知的三个顶点分别是，.若直线过点，且将分割成面积相等的两部份，则直线的方程是_.【答案】【解析】【分析】由已知条件得到直线是在边上的中线，求出的中点坐标以及直线的斜率，即可得出结论.【详解】由题意知：直线是在边上的中线，由，得的中点坐标为，所以直线的斜率，则直线的方程为：；故答案为：.22. 如图，梯形中，将沿对角线折起，设折起后点的位置为，且平面平面，则下列四个命题中正确的是
17、_.；三棱锥的体积为；平面 平面平面【答案】【解析】【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及性质定理可判断；利用三棱锥的体积公式可判断.【详解】解：如图所示：设中点为，连接，对， 即，又平面平面，平面，又平面， ，若，平面，又平面，与已知矛盾，所以错误；,对，又，所以错误；对，平面平面，平面平面，平面，所以正确；对，平面，平面， 平面平面，所以正确故答案为：.【点睛】关键点点睛：对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.23. 在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标的取值范围为_.【答案】【解析】【分析
18、】由直径所对的圆周角为可求得直线的方程，进而解得点的坐标，设出点的坐标，再利用向量的数量积即可求出点的横坐标的取值范围.【详解】解：如图所示：点在以为直径的圆上，即，又均在直线，又，：，联立：， 解得：，；设，则，又，即，解得：，故点的横坐标取值范围为：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是直径所对的圆周角为，再结合向量的数量积求解.三、解答题：本大题共2小题，共24分24. 在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，且，.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由；（3）若是棱的中点，为线段上任意一点，求证：与一定不平行.【答案】（1）
19、详见解析（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明. （2）以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立空间直角坐标系：设，则，分别求得平面平面的一个法向量，和平面平面的一个法向量，根据若使得平面平面，则求解.（3）假设存在点N，使得，连接AC，取其中点G，易证，再利用过直线外一点只有一条直线和已知直线平行证明.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，又，平面ABCD，所以平面.（2）以D为原点，以DA，DC为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系：则，设，则，设平面平面的一个法向量为，则 ，即 ，令 ，则 ，所以 ，设平面平面的一个法向量为，则 ，
20、即 ，令 ，则 ，所以 .若使得平面平面，则，即，解得，所以线段上存在点，使得平面.（3）假设存在点N，在线段上，使得，如图所示：连接AC，取其中点G，在中，因为M，G都是边的中点，所以 ，因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MG与MN重合，所以点N在线段AC上，所以N是AC，BC的交点C，即MN就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证.【点睛】方法点睛：1、几何法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)2、向量法：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可25. 设，且.对1，2，的一
21、个排列，如果当时，有，则称（，）是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序， ，则排列231的逆序数为2.记为1，2，的的所有排列中逆序数为的全部排列的个数.（1）求的值；（2）判断与大小，并说明理由；（3）求的表达式（用表示）.【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）写出的所有排列，利用定义即可求解；（2）逆序数为的排列，只能将中的任意相邻的两个数字调换位置得到的排列，为计算将添进原排列只能位于后三位的位置，所以，即可比较大小；（3）由（2）可知，利用累加法结合，即可求的表达式.【详解】（1）记为排列的逆序数，对于的所有排列有：，所以，（2），由题意可知，逆序数为的排列，只能将中的任意相邻的两个数字调换位置得到的排列， 所以，只需在排列的倒数第三个位置；在排列的倒数第二个位置；在排列的最后一个位置；故，因为，且，所以（3）由（2）可知：，即，所以， ，累加得：，由（1）知，所以 ，故【点睛】关键点点睛：解本题的关键点是理解逆序和逆序数的定义，第（2）问的关键是得出，第（3）问是得出利用累加法求和.
