1、北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专项攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持
2、梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（）A3.2mB3.5mC3.9mD4m2、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和3、如图，在中，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（）ABC3D4、 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽
3、弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A3B4C5D65、如图，在ABC中，AB6，AC9，ADBC于D，M为AD上任一点，则MC2MB2等于（）A29B32C36D456、如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（）A40mB45mC30mD35m7、在ABC中，那么ABC是（）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰直角三角形8、如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD
4、，把ABD沿着AD翻折，得到AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DGGE，AF6，BF4，ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）ABCD9、已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（）A5B25CD5或10、已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（mn），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）Am2+2mn+n2=0Bm22mn+n2=0Cm2+2mnn2=0Dm22mnn2=0第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方
5、形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B是点B的对应点，延长EB交DC于点G，BGcm，则ECG的面积为_cm22、我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈10尺）意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长_尺3、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小
6、锐角的正切为，那么大正方形的面积是_4、把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上若，则_5、在RtABC中，C90，AC9，AB15，则点C到AB的距离是_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、阅读理解：课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，_，_；(2)若第
7、一个数用字母（为奇数，且）表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，于是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为_(3)用所学知识说明（2）中用表示的三个数是勾股数2、如图，已知半径为5的M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分OAM，AOCO6(1)判断M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式3、如图所示，在中，为边上的中点.（1）求、的长度；（2）将折叠，使与重合，得折痕；求、的长度.4、湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测
8、量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离5、如图，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m至C点（1）求梯子底端B外移距离BD的长度；（2）猜想CE与BE的大小关系，并证明你的结论-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】如图，在RtACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在RtABD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案【详解】解：如图，在RtACB中，ACB90，BC1.5米，AC2米，AB21.52+226.25，AB=2.5米，在RtABD中，A
9、DB90，AD0.7米，BD2+AD2AB2，BD2+0.726.25，BD25.76，BD0，BD2.4米，CDBC+BD1.5+2.43.9米故选：C【考点】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键2、C【解析】【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+
10、b-c），知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c23、D【解析】【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度【详解】在AB上取一点G，使AGAF在RtABC中，ACB90，AC3，BC4AB=5，CADBAD，AEAE，AEFAEG（SAS）FEGE，要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，故当C、E、G三点共线时，符合要求，此时，作CHAB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，CH=，即
11、：CE+EF的最小值为，故选：D【考点】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键4、C【解析】【详解】解：如图所示，（a+b）2=21a2+2ab+b2=21，大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，2ab=2113=8，小正方形的面积为138=5故选C5、D【解析】【分析】在RtABD及RtADC中可分别表示出BD2及CD2，在RtBDM及RtCDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果【详解】解：在RtABD和RtADC中，BD2AB2AD2，CD2AC2AD2，在RtBDM和RtCDM中，BM2BD2MD2AB2
12、AD2MD2，MC2CD2MD2AC2AD2MD2，MC2MB2（AC2AD2MD2）（AB2AD2MD2）AC2AB245故选：D【考点】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握6、C【解析】【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可【详解】解：OA是东北方向，OB是东南方向，AOB=90，又OA=24m，OB=18m，30m故选：C【考点】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学
13、的关键7、D【解析】【分析】根据等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形状即可【详解】a：b：c=1：1：，三角形ABC是等腰三角形设三边长为a,a,，三角形ABC是直角三角形综上所述：ABC是等腰直角三角形故选D【考点】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理此题关键是利用勾股定理的逆定理解答8、C【解析】【分析】先求出ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据BDhBFDF，求出BD即可解决问题【详解】解：DGGE，SADGSAEG8，SADE16，由翻折可知，ADBADE，BEAD，SABDSADE16，BFD90，（AF+DF）BF16，（6+DF
14、）416，DF2，DB，设点F到BD的距离为h，则有BDhBFDF，h42，h，点F到BC的距离为故选：C【考点】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题9、D【解析】【分析】分情况讨论：当边长为4的边作斜边时；当边长为4的边作直角边时，利用勾股定理分别求解即可【详解】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确故选：D【考点】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键10、C【解析】【分析】如图，根据等腰三
15、角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解【详解】m2+m2=（nm）2， 2m2=n22mn+m2， m2+2mnn2=0故选C.二、填空题1、【解析】【分析】根据翻折的性质可知ABE和ABE全等，则BEBE，连接AG，可证ABGADG，则DG BG cm，CG10DG cm，在RtECG中，设BEx cm，根据勾股定理列出方程，可求出BE的值，从而求出CE，最后由三角形面积公式求出ECG的面积.【详解】根据翻折的性质可知ABE和ABE全等，BEBE，连接AG，如图，A BAD，AGAG，RtABGRtADG，DGBG cm，CG10DG cm，在RtECG中，设BEx
16、cm，则CE(10x)cm，EG BE BG(x)cm,根据勾股定理列出方程，CE2CG2EG2,即,解得：x2,所以BE2 cm，CE1028 (cm)， ECG的面积(cm2) 故答案为：.【考点】本题考查了勾股定理的应用，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键.2、13【解析】【分析】设水深OB=x尺，则芦苇长OA=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可【详解】解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA=（x+1）尺，根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12OA=13尺故答案为：13【考点】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数
17、，根据勾股定理列方程求解3、169【解析】【分析】由题意知小正方形的边长为7设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解【详解】解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则tan短边：长边a：b5：12所以ba，又以为ba+7，联立，得a5，b12所以大正方形的面积是：a2+b225+144169故答案是：169【考点】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.4、【解析】【分析】如图，先利用等腰直角三角形的性质求出 ，再利用勾股定理 求出 DF，即可得出结论【详解】
18、如图，过点作于，在中，两个同样大小的含角的三角尺，在中，根据勾股定理得，故答案为【考点】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题 的关键5、【解析】【分析】首先根据勾股定理求出直角边BC的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离【详解】在RtABC中，C90，则有AC2+BC2=AB2AC=9，BC=12，AB=在RtABC中,C=90，则有AC2+BC2=AB2，AC=9，AB=15，BC=12，SABC=ACBC=ABh，h=故答案为【考点】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键三、解
19、答题1、 (1)60，61(2)(3)见解析【解析】【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可(1)解：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，11，60，61；故答案为：60，61；(2)解：第一个数用字母a（a为奇数，且a3）表示，第二数为；则用含a的代数式表示第三个数为；故答案为：；(3)解：，又a为奇数，且a3，由a，三个数组成的数是勾股数【考点】本题
20、考查的是勾股数之间的关系，属规律型问题，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可2、 (1)M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)【解析】【分析】（1）连接CM，证CMx即可得出结论；（2）过点M作MNAB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DPCM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在RtBOC中，BOC=90，由勾股定理，求得BC=，
21、在RtBCD中，BCD=90，由勾股定理，即可求得CD，在RtCPD和在RtMPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可(1)解：M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，MC=MA，MCA=MAC，AC平分OAM，MAC=OAC，MCA=OAC，OAC+ACO=90，MCO=MCA+ACO=OAC+ACO=90，MC是M的半径，点C在x轴上，M与x轴相切；(2)解：如图，过点M作MNAB于N，由（1）知，MCO=90，MNAB于N，MNO=90，AB=2AN，CON=90，CMN=90，四边形OCMN是矩形，MN=OC，ON=CM=5，
22、OA+OC=6，设AN=x，OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，在RtMNA中，MNA=90，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），AN=3，AB=2AN=6；(3)解：如图，连接BC，CM，过点D作DPCM于P，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，OB=8，C（4，0）在RtBOC中，BOC=90，由勾股定理，得BC=，BD是M的直径，BCD=90，BD=10，在RtBCD中，BCD=90，由勾股定理，得CD=，即CD2=20，在RtCPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，在RtMPD中，由勾股定理，
23、得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，20-CP2=10CP-CP2，CP=2，PD2=20-CP2=20-4=16，PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，D（8,-2），设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得，解得：，直线CD的解析式为：【考点】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键3、（1）BD2，；（2），【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=4，再根据中点的性质
24、可得到BD，然后再一次运用勾股定理求出AD即可；（2）设，则，利用勾股定理列出方程解，从而得解.【详解】（1）在中，在中，又为边上的中点在中，（2）折叠后如图所示，为折痕，联结设，则，在中，即解得：【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.4、（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米【解析】【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据三角形面积公式解答即可【详解】（1）因为是直角三角形，所以由勾股定理，得因为米，所以因为，所以米即A，B两点间的 距离是40米（2）过点B作于点D因为，所以所以（米），即点B到直线AC的距离是24米【
25、考点】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式5、（1）BD=1m；（2）CE与BE的大小关系是CE=BE，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出OB，求出OC，再根据勾股定理求出OD，即可求出答案；（2）求出AOB和DOC全等，根据全等三角形的性质得出OC=OB，ABO=DCO，求出OCB=OBC，求出EBC=ECB，根据等腰三角形的判定得出即可【详解】（1）AOOD，AO=4m，AB=5m，OB=3m，梯子的顶端A沿墙下滑1m至C点，OC=AOAC=3m，CD=AB=5m，由勾股定理得：OD=4m，BD=ODOB=4m3m=1m；（2）CE与BE的大小关系是CE=BE，证明如下：连接CB，由（1）知：AO=DO=4m，AB=CD=5m，AOB=DOC=90，在RtAOB和RtDOC中，RtAOBRtDOC（HL），ABO=DCO，OC=OB，OCB=OBC，ABOOBC=DCOOCB，EBC=ECB，CE=BE【考点】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质等，能灵活运用勾股定理进行计算是解（1）的关键，能求出DCO=ABO和OC=OB是解（2）的关键
