1、第2节平面向量基本定理及坐标表示一、教材概念结论性质重现1平面向量基本定理(1)定理：如果平面内的两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxayb.(2)基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b常称为该平面上向量的一组基底理解基底应注意以下三点(1)基底a，b必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一(3)对于一组基底a，b，若c1a2b1a2b，则2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y
2、1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.(1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键(2)要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx2y1x1y2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.4常用结论(
3、1)若a与b不共线，且ab0，则0.(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.(3)已知ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心G的坐标为.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就
4、是向量终点的坐标()2已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则ab()A(2，1)B(2,1)C(1,0)D(1,2)D解析：因为a(1,1)，b(1，1)，所以ab(1,1)(1，1)(1，2)3已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，则实数m的取值范围是()A(，2)B(2，)C(，)D(，2)(2，)D解析：由题意可知a与b不共线，即3m22m，所以m2.故选D.4设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.解析：因为ab，所以sin 21cos20，所以2sin cos
5、 cos20.因为0，所以cos 0，所以2sin cos ，所以tan .5在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_(3，5)解析：因为，所以(1，1)，所以(3，5)考点1平面向量的坐标运算基础性1(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()AB2 C5D50A解析：由向量a(2,3)，b(3,2)，可得ab(1,1)，所以|ab|.2(2020榆社中学诊断)若向量(2,0)，(1,1)，则等于()A(3,1)B(4,2) C(5,3)D(4,3)B解析：(3,1)，又(1,1)，则(1,1)，所以(4,2)3设向量a(1，3)，b(
6、2,4)，若表示向量4a,3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c_.(4，6)解析：由题意知4a(4，12)，3b2a(6,12)(2，6)(8,18)，由4a(3b2a)c0，知c(4，6)4已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，|2|，则向量的坐标是_(4,7)解析：因为点C是线段AB上一点，且|2|，所以2.设点B为(x，y)，则(2x,3y)2(1,2)所以解得所以向量的坐标是(4,7)平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐
7、标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解考点2平面向量共线的坐标表示应用性(2020福州质检)设向量(1，2)，(a，1)，(b,0)，其中O为坐标原点，a0，b0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为()A. B. C. D.C解析：因为(1，2)，(a，1)，(b,0)，所以(a1,1)，(b1,2)因为A，B，C三点共线，所以，即(a1,1)(b1,2)，所以可得2ab1.因为a0，b0，所以12ab2，所以ab.当且仅当2ab时取等号因此ab的最大值为.1本例若把条件“(b,0)”改为“(2,1)”，其他条件不变，求a的值解：因为(1，2)，(a，1)，(2,1)，所以(a1,1
8、)，(1,3)因为A，B，C三点共线，所以，即(a1,1)(1,3)，所以可得a.2本例条件“向量(1，2)，(a，1)”不变，若向量c(2，a)与向量方向相反，求|c|.解：因为(1，2)，(a，1)所以(a1,1)因为向量c(2，a)与向量方向相反，所以a(a1)120，即a2a20，所以a1或a2(舍去)，所以|c|.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C
9、(2,6)，AC与OB的交点为P，求点P的坐标解：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)考点3平面向量基本定理的应用综合性考向1用已知基底表示向量(2020郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A BC DC解析：如图，取AB中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以，.所以.用已知基底表示向量的关注点(1)理论依据：平面向量基本定理(2)实质：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算考向2
10、解析法(坐标法)在向量中的应用已知|1，|，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为()A2 B C3D4C解析：因为，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，(1,0)，(0，)，mn(m，n)因为tan 30，所以m3n，即3.应用平面向量基本定理解题的两种思路(1)基向量法(2)坐标法能用坐标法的问题，一般不用基向量法考向3利用平面向量基本定理求参数的值(或范围)在ABC中，点P是AB上一点，且2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则t的值为_解析：2，即P为AB的一个三等分点，如图所示因为A，M，Q三点共线，所以x(1x)(x1)，而，所以.又，由已知t
11、，可得t.又，不共线，所以解得t.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理1(2020南通模拟)如图，在RtABC中，ABC，AC2AB，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D.设a，b，则向量()Aab BabCab DabC解析：连接BD，DC(图略)，设圆的半径为r，在RtABC中，ABC，AC2AB，所以BAC，ACB，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，所以ACBBADCAD.根据圆的性质得BDCDAB.又因为在RtABC中，ABACrOD，所以四边形ABDO为菱形，ab.2如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，求的值解：(方法一)如图，作平行四边形OB1CA1，则11.因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|2，所以|1|2，|4，所以|4，所以42，所以4，2，所以6.(方法二)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以6.
