1、2018 年普通高等学校招生模拟考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若全集，则（ ）A B C D2.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）A B C D 3.若，则的值为（ ）A B C D 4.设平面向量，则下列说法正确的是（ ）A是的充分不必要条件 B与的夹角为 C. D与的夹角为5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线的实轴长为（ ）A B C. D平面6.若，则二项式的展开式中的常数项为（ ）A B C. D7.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“
2、更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）A B C. D8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C. D9.已知，当时，均有则实数的取值范围是（ ）A B C. D10.某旅行社租用两种型号的客车安排名客人旅行，两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆，则租金最少为（ ）A元 B元 C. 元 D元11.已知函数的图象经过点，在区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，当，且时，则（ ）A B C. D12.已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标原点）的斜率为，则（ ）A存在
3、点使得 B对于任意点都有 C. 对于任意点都有 D至少存在两个点使得第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量，则事件“”的概率为 14.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上任意一点，且满足，则 15.如图所示，在平面四边形中，则 16.在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证：.18. 如图，在四棱锥中，底
4、面为矩形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2），在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为.请说明理由.19. 某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对2017年9月1日到2018年5月1日前个月的二手房成交量进行统计，表示开业第个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量，如果，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，计算得相关系数，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘
5、法求出关于的线性回归方程（计算结果精确到），并预测该房地产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）.（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获千元奖金；抽中“二等奖”获千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金. 已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望.参考数据：，参考公式：，20.设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆的方程;（2）若上存在两点，椭圆上存在
6、两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.21.已知(1)求的单调区间;(2)设，为函数的两个零点，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数),在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（1）求曲线、的直角坐标方程；（2）若点在曲线上的两个点且，求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求的解集；（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围2018 年普通高等学校招生模拟考试理科
7、数学试题答案一、选择题1-5:BDCBC 6-10: ADBCC 11、12：BB二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解（1），所以，又，所以，符合上式，所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以（2）由（1）知，所以，所以18.解：（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，平面，平面，即，在中，为的中点，平面，又平面，平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，设，则，设，因为，所以平面，故为平面平面的一个法向量设平面，且，则由得，由得，从而，解得，或，即在处或处.19.解：（1）依题意：，因为，所以变量线性相关行很强.（2）即关于的回归方程为当，所以预计2018年6月份的二手
8、房成交量为（3）二人所获奖金总额的所有可能取值有千元所以，奖金总额的分布列如下表：千元20.解：（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，离心率为，又，解得，椭圆的方程为（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，此时，（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，设的横坐标分别为，则，由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，得设的横坐标为，则，令，则，综上，21.解：（1），当时，即的单调递增区间为，无减区间；当时，由，得，时，时，时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，不妨设，由条件知，即构造函数，与图象两交点的横坐标为由可得而，知在区间上单调递减，在区间上单调递增，可知欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证由知，只需证令，则，所以为增函数，又，结合知，即成立，即成立.22.解：（1）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为为参数，即，.设圆的半径为，由题意，圆的极坐标方程为.（或）将点代入，得，即所以曲线的极坐标方程为，即（2）设在曲线上，所以，所以23.解：（1），即或或解不等式：；：无解；：，所以的解集为或（2）即的图象恒在，图象的上方，可以作出的图象，而，图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，作出函数，图象如图，其中，可求：，由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，实数的取值范围为.
