1、10-8离散型随机变量及其概率分布(理)基础巩固强化1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.B. C.D.答案B解析恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，即甲为一等品乙不是一等品或乙为一等品甲不是一等品，P，故选B.2在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()AP(X2) BP(X2)CP(X4) DP(X4)答案C解析CC表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，P(X4).3已
2、知随机变量满足条件B(n，p)，且E()12，D()，则n与p的值分别为()A16与 B20与C15与 D12与答案C解析B(n，p)，E()np12，D()np(1p)，n15，p.4口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列an：an，如果Sn为数列an的前n项和，那么S73的概率为()AC25 BC25CC25 DC25答案B分析关键是弄清S73的含义：S7a1a2a7，而ai的取值只有1和1，故S73表示在ai的七个值中有5个1、2个1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球解析S7a1a2a73表示七次取球试验中，恰有2次取到红球，而一次取球中，取到红
3、球的概率P1，所求概率为PC25.5设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为()A3B4C5D2答案A解析设白球x个，则黑球7x个，取出的2个球中所含白球个数为，则取值0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，012，x3.6设两个相互独立事件A、B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是()A0， B，C， D0，答案D解析设事件A、B发生的概率分别为P(A)x，P(B)y，则P()P()P()(1x)(1y)1xyxy2.当且仅当xy时取“”，或(舍)，0xy.P(AB)P(A)P(B)xy0，7(2011济南模拟)已知随机
4、变量X的分布列为：P(Xk)，k1,2，则P(2X4)等于_答案解析P(2X4)P(X3)P(X4).8同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B，则P(B|A)_.答案解析因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B，用枚举法可知A包含的基本事件为12个，A、B同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)所以P(B|A).9已知随机变量只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是_答案解析由条件知，P(
5、x2)，P(xi)0，公差d取值满足d.10(2012广东理，17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为，求的数学期望分析(1)利用频率和为1，可求X值；(2)先确定各部分人数，再确定取值，利用组合知识，用古典概型求的分布列，再求数学期望解析(1)图中x所在组为80,90)即第五组，由频率分布直方图的性质知，10(0.054x0.0130.006)1，x0.01
6、8.(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为，f10(0.0180.006)0.24.所以成绩不低于80分的学生有：50f500.2412人；成绩不低于90分的学生人数为：50100.0063人，所以的取值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).所以的分布列为：012P所以的数学期望E()012.点评1.本题考查频率分布直方图与随机变量的分布列，数学期望等知识，考查抽象概括能力与应用意识2应用古典概型求事件的概率是分布列的常见命题方式.能力拓展提升11.(2011浙江嘉兴模拟)甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数的期望是()A. B.
7、 C1 D.答案A解析依题意，的取值为0,1,2.且P(0)(1)(1)，P(1)(1)(1)，P(2).故的期望E()012.12(2012岳阳期末)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A. B. C. D.答案C解析解法1：由于取后不放回，故在第一次取到白球的条件下，口袋中还有2白2黑4个球，从中任取一球，则取到白球的概率为P.解法2：设A“第一次取到白球”，B“第二次取到白球”，则AB表示“两次都取到白球”由条件知：P(A)，P(AB)，P(B|A).13(2012温州一测)某高校进行自主招生面试时的程
8、序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为_分答案15解析设该生面试时得分数为，则的分布列为3015015PE()30150(15)15.14(2011湖南理，15)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)_；(2)P(B|A)_.答案(1)(2)解析该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为，圆的面积为，正方形面积为2，扇形面积为.故P(A)
9、，P(AB)，P(B|A).15如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：t)的频率分布直方图(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4t的居民数X的分布列和数学期望分析(1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4t的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故XB(3,0.1)，其中X0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望解析(1)依题意及频率分布直方图知，0.020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由题意知，XB(3,0.1)因此P(X0)C0.930.729，P(X1)C0.
10、10.920.243，P(X2)C0.120.90.027，P(X3)C0.130.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)00.72910.24320.02730.0010.3.16(2012福建，16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下
11、列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1、X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由分析(1)因为保修期为2年，所以“首次发生故障在保修期内”这一事件可表示为“x2”；(2)弄清事件“X1m”和“X2n”的含义，才能求出概率分布列；(3)应该生产利润期望大的轿车解析(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P
12、(A).(2)依题意得，X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得，E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车点评1.本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力2概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义1(2011浙江六校联考)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：200300400500P0.200.35
13、0.300.15若进这种鲜花500束，则期望利润是()A706元 B690元 C754元 D720元答案B解析由题意，进这种鲜花500束，利润(52.5)(2.51.5)(500)3.5500而E()2000.23000.354000.305000.15340，E()E(3.5500)3.5E()500690(元)2一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值是()A. B. C. D.答案C分析弄清X4的含义是关键，盒中原有3个旧球，9个新球，取出3个球用后放回，此时盒中旧球数X4，故取出的3个球中有1
14、个新球，2个旧球解析P(X4).3设随机变量XB(n,0.5)，且D(X)2，则事件“X1”的概率为_(用数字作答)答案解析XB(n,0.5)，D(X)n0.5(10.5)2，n8.事件“X1”的概率为P(X1)C0.50.581.4袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是.(1)求m、n的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和数学期望E()解析(1)记“第一次摸出3号球”为事件A，“第二次摸出2号球”为事件B，则P(B|A)，
15、m3，n10316.(2)的可能的取值为3,4,5,6.P(3)，P(4)，P(5)，P(6).的分布列为3456PE()34565.5已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止(1)求检验次数为4的概率；(2)设检验次数为，求的分布列和数学期望解析(1)记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A，则检验次数为4的概率P(A).(2)的可能值为2,3,4,5,6，其中P(2)，P(3)，P(4)P(A)，P(5)，P(6).的分布列为23456P的期望E()234565.点评要特别注意P(5)的情形，一种可能是前四次检验中有一次
16、得到次品第五次为次品；另一种可能是前五次都是正品则余下的两件必都是次品这是它与其他情形不同的地方6某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试该测试包括心理健康测试和身体健康测试两个项目，每个项目的测试结果为A、B、C、D、E五个等级假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x表示心理健康测试结果，y表示身体健康测试结果. (1)求ab的值；(2)如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的概率；(3)若“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级”是相互独立事件，求a、b的值解析(1)该单位50位职工全部参与了测试，表中标出
17、的总人数也应是50人，ab50473.(2) 从表中可以看出，职工在这次测试中，心理健康为D等级且身体健康为C等级的人数为6人，所求概率为0.12.(3)“职工的心理健康为D等级”与“职工的身体健康为B等级是相互独立事件，P(xD且yB)P(xD)P(yB)即.又ab3，解得b1.a2，b1.7(2012东北三校联考)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、，他们考核所得的等次相互独立(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为
18、优秀的概率(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E()解析(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A、B、C是相互独立事件，事件 与事件E是对立事件，于是P(E)1P( )1.(2)的所有可能取值为30,40,50,60.P(30)P( )，P(40)P(A )P(B)P( C)，P(50)P(AB)P(AC)P(BC)，P(60)P(ABC).所以的分布列为30405060PE()30405060.点评1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算2直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率版权所有：高考资源网()
