1、第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)考情分析考点新知会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关交点弦、弦长、中点及直线与圆锥曲线的有关问题会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关弦长及直线与圆锥曲线的有关问题.1. 直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_答案：相交解析：由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交2. 椭圆1的两焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则PQF2的周长为_答案：20解析：PQF2的周长4a20.3. 已知双曲线方程是x21，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1、P2
2、两点，并使P(2，1)为P1P2的中点，则此直线方程是_答案：4xy70解析：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x1，x1，得k4，从而所求方程为4xy70.将此直线方程与双曲线方程联立得14x256x510，0，故此直线满足条件4. 若斜率为的直线l与椭圆1(ab0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_答案：解析：由题意易知两交点的横坐标为c、c，纵坐标分别为、，所以由得2b2ac2(a2c2)，即2e2e20，解得e或e(负根舍去)5. 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB
3、的中点为N(12，15)，则E的方程为_答案：1解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25，所以双曲线的标准方程是1.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0，b0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A、B，且2.(1) 若点B的坐标
4、为(0，2)，求曲线E的方程；(2) 若ab1，求直线AB的方程解：(1) 设A(x0，y0)，由已知B(0，2)，M(，0)，所以，(x0，y0)由于2，所以(，2)2(x0，y0)，所以即A(，1)，将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得解得所以曲线E的方程为x21.(2) 当ab1时，曲线E为圆x2y21，设A(x1，y1)，B(x2，y2)又2，所以2(x1，y1)，即有xy1 ，xy1 ，由4，得(2x1x2)(2x1x2)3，所以2x1x2，解得x1，x20.由x1，得y1.当A时，B(0，1)，此时kAB，直线AB的方程为yx1；当A时，B(0，1)，此时kAB，直线AB的方程为y
5、x1.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k0)的直线相交于A、B两点若3，则k_答案：解析：定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程由已知e，所以a2b，所以ac，b.椭圆方程1变为x23y2c2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又3，所以(cx1，y1)3(x2c，y2)，所以所以x 3y c2，x 3y c2，9，得(x13x2)(x13x2)3(y13y2)(y13y2)8c2，所以4c(x13x2)8c2
6、，所以 x13x2c，所以x1c，x2c.从而y1c，y2c，所以A，B，故k.题型2有关垂直的问题例2如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.(1) 若直线PA平分线段MN，求k的值；(2) 当k2时，求点P到直线AB的距离d；(3) 对任意k0，求证：PAPB.(1) 解：由题设知，a2，b，故M(2，0)，N(0，)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点又直线PA过坐标原点，所以k.(2) 解：将
7、直线PA的方程y2x代入椭圆方程1，解得x，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为xy0.因此，d.(3) 证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2.从而k1k12k1k212110.因此k1k1，所以PAPB.如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3.(1) 求椭圆C的方程；(2) 点P是椭圆C上动点，PMl，垂足为M.是否存在点P，使得FPM为等腰三角形？若存在，求
8、出点P的坐标；若不存在，说明理由解：(1) 设椭圆C的方程为1(ab0)，由已知，得b.所以椭圆C的方程为 1.(2) 由e，得PFPM.PFPM.若PFFM，则PFFMPM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，PF不可能与PM相等若FMPM，设P(x，y)(x2)，则M(4，y)4x，9y2168xx2.又由1，得y23x2.93x2168xx2，x28x40.7x232x160.x或x4.x(2，2)，x.P.综上，存在点P，使得PFM为等腰三角形题型3直线与圆锥曲线例3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与椭圆分别
9、交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20，y20，得m2，此时直线MN的方程为x1，过点D(1，0)若x1x2，则m2.直线MD的斜率kMD，直线ND的斜率kND，得kMDkND，所以直线MN过D点因此，直线MN必过x轴上的点D(1，0)已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1) 求椭圆C的方程；(2) 当AMN的面积为时，求k的值解：(1) 由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2) 由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)
10、，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以MN.又因为点A(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为SMNd.由，解得k1.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知双曲线1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点(1) 求双曲线的方程；(2) 若F1AB的面积等于6，求直线l的方程学生错解：解：(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2，0)，直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，F1AB的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|2
11、|k|6k48k290k21k1，所以直线l的方程为y(x2)审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2) F1AB面积的表示规范解答： 解：(1) 依题意，b，2a1，c2，(4分) 双曲线的方程为x21.(6分)(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，(8分)k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，(10分)F1AB的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|2|k|6k48k290k21k1，(14分)所以直线l的方程为y(x2)(16分)错因分析： 解本题时容易忽略二次项
12、系数不为零，即k这一条件1. 设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案：1，1解析：易知抛物线y28x的准线x2与x轴的交点为Q(2，0)，于是，可设过点Q(2，0)的直线l的方程为yk(x2)(由题可知k是存在的)，联立k2x2(4k28)x4k20.其判别式为(4k28)216k464k2640，可解得1k1.2. 如图，过抛物线C：y24x上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x，y1)，B(x2，y2)(1) 求y1y2的值；(2) 若y10，y20，求PAB面积的最大值解：(1) 因为A(x1，
13、y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y24x上，所以A，B，kPA，同理kPB，依题意有kPAkPB，因为，所以y1y24.(2) 由(1)知kAB1，设AB的方程为yy1x，即xyy10，P到AB的距离为d，AB|y1y2|2|2y1|，所以SPAB2|2y1|y4y112|y12|(y12)216|y12|，令y12t，由y1y24，y10，y20，可知2t2.SPAB|t316t|，因为SPAB|t316t|为偶函数，只考虑0t2的情况，记f(t)|t316t|16tt3，f(t)163t20，故f(t)在0，2是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)24，故SPAB的最大值为6.3.
14、 如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x1)2y216，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.(1) 求点B的轨迹方程；(2) 当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；(3) 若G是圆C上的另一个动点，且满足FGFE，记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由解：(1) 连结BF，由已知BFBE，所以BCBFBCBECE4，所以点B的轨迹是以C、F为焦点，长轴为4的椭圆，所以B点的轨迹方程为1.(2) 当点D位于y轴的正半轴上时，因为D是线段EF的中点，O为线段CF的中点，所以CEOD，
15、且CE2OD，所以E、D的坐标分别为(1，4)和(0，2)因为PQ是线段EF的垂直平分线，所以直线PQ的方程为yx2，即直线PQ的方程为x2y40.(3) 设点E、G的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则点M的坐标为，因为点E、G均在圆C上，且FGFE，所以(x11)2y16，(x21)2y16，(x11)(x21)y1y20，所以xy152x1，xy152x2，x1x2y1y2x1x21.所以MO2(x1x2)2(y1y2)2(xy)(xy)2(x1x2y1y2)152x1152x22(x1x21)7，即M点到坐标原点O的距离为定值，且定值为.4. 给定椭圆C：1(ab0)，称圆心在
16、原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.(1) 求椭圆C和其“准圆”的方程；(2) 若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BDx轴，求的取值范围；(3) 在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由解：(1) 由题意知c，且a，可得b1，故椭圆C的方程为y21，其“准圆”方程为x2y24.(2) 由题意，可设B(m，n)，D(m，n)(m)，则有n21，又A点坐标为(2，0)，故(m2，n)，(m2，n)，故(m
17、2)2n2m24m4m24m3，又m0)，则ON的方程为yx(k0)联立方程组解得M.同理可得N.因为点N到直线OM的距离为d，OM2，所以OMN的面积SdOM21，故OMN的面积为定值1. 若双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成73的两段，则此双曲线的离心率为_答案：解析：依题意得，c2c，即bc(其中c是双曲线的半焦距)，ac，则，因此该双曲线的离心率等于.2. 如图，设E：1(ab0)的焦点为F1与F2，且PE，F1PF22.求证：PF1F2的面积Sb2tan.证明：设|PF1|r1，|PF2|r2，则Sr1r2sin2.又|F1F
18、2|2c，由余弦定理有(2c)2rr2r1r2cos2(r1r2)22r1r22r1r2cos2(2a)22r1r2(1cos2)，于是2r1r2(1cos2)4a24c24b2.所以r1r2.这样即有Ssin2b2b2tan.3. 已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：ykx与椭圆相交于不同的两点A、B.(1) 若AB，求k的值；(2) 求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.(1) 解：由题意知，b1.由a2b2c2可得cb1，a， 椭圆的方程为y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)
19、，则x1x2，x1x2. AB|x1x2|，化简得23k413k2100，即(k21)(23k210)0，解得k1.(2) 证明： (x1，y11)，(x2，y21)， x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2k(x1x2)0. 不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.4. 已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.(1) 求椭圆方程；(2) 若圆N与x轴相切，求圆N的方程；(3) 设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围解
20、：(1) e 不妨设c3k，a5k，则b4k，其中k0，故椭圆方程为1(ab0)， P在椭圆上， 1解得k1， 椭圆方程为1.(2) kAP , 则直线AP的方程为yx4，令yt ，则x M. Q(0，t) N， 圆N与x轴相切， t ，由题意M为第一象限的点，则t，解得t. N，圆N的方程为.(3) F(3，0)，kPF， 直线PF的方程为y(x3)即12x5y360， 点N到直线PF的距离为， d(4t)， 0t4， 当0t时，d(65t)(4t)，此时d，当t4时，d(5t6)(4t)，此时d， 综上， d的取值范围为. 1. 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”请使用课时训练(A)第10课时(见活页)备课札记
