1、课时规范练39空间点、直线、平面之间的位置关系 基础巩固组1.设已知A,B,C,D,E是空间五个不同的点,若点E在直线BC上,则“AC与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的()A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,ABCD,若平面PAD平面PBC=l,则()A.lCDB.lBCC.l与直线AB相交D.l与直线DA相交3.(2019北京顺义统考二,6)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则()A.若m,则mB.若m,n,则mnC.若m,n,m,n,则D.若m,n,则mn4.如图所示,ABCD-A
2、1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面5.下列命题中是真命题的个数是()垂直于同一条直线的两条直线互相平行与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行平行于同一个平面的两条直线互相平行两条直线能确定一个平面垂直于同一个平面的两个平面平行A.0B.1C.2D.36.(2019陕西联考三)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.34B.34C.54D
3、.547.平面外有两条直线m和n,如果m和n在平面内的射影分别是m1和n1,给出下列四个命题:m1n1mn;mnm1n1;m1与n1相交m与n相交或重合;m1与n1平行m与n平行或重合;其中不正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.48.(2017全国2,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33综合提升组9.(2019广东清远期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段AB1,BC1的中点,以下结论:AA1MN;MN与AC异面;MN面BDD1B1.其
4、中正确的是()A.B.C.D.10.(2018全国2,理9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.2211.(2019广东潮州二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形,则线段BM的取值范围是()A.0,12B.12,1C.13,1D.12,1312.(2019山东淄博一模,15)如图所示,平面BCC1B1平面ABC,ABC=120,四边形BCC1B1为正方
5、形,且AB=BC=2,则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为.创新应用组13.(2019全国3,理8)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线14.(2019江西上饶一模,10)在空间四边形ABCD中,若AB=BC=CD=DA,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,则异面直线AC与EF所成角为()A.30B.45C.60D.9015.(2019山东菏泽一模,16)如
6、图,在正四面体ABCD中,E是棱AD上靠近点D的一个三等分点,则异面直线AB和CE所成角的余弦值为.参考答案课时规范练39空间点、直线、平面之间的位置关系1.B若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,而点E在BC上,所以AD与BE也是异面直线,若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上,所以AD与BC是异面直线,所以A,B,C,D四点不共面,所以AC与BD是异面直线,所以互为充分必要条件,故选B.2.D两个平面若有一个交点,那么必然有无数个交点,而且这些交点在同一条直线上.那么DA与BC的交点必在直线l上,故选D.3.B选项A中,m或m,故A错;易知选项B正
7、确;选项C中没有m,n相交的条件,故C错;选项D中,m,n的关系也可以相交或异面,故D错.故选B.4.A连接A1C1,AC,图略,则A1C1AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C,所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.5.A对于,两条直线相交、平行、异面都有可能,故,都错;对于直线平行平面有各种方位,故错;对于因为两条异面直线不能确定一个平面,故错;对于也错,如正方体的相邻两个侧面与底面垂直,但这两个侧面不平行.综上,真命
8、题的个数为0,故选A.6.B如图,设BC的中点为D,连接A1D,AD,因CC1AA1,所以A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角.设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长均为1,则AD=32,A1D=12,A1B=22,由余弦定理,得cosA1AB=A1A2+AB2-A1B22A1AAB=1+1-12211=34.故选B.7.D结合题意逐一分析所给的四个说法,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中:对于说法:若取平面为ABCD,m1,n1分别为AC,BD,m,n分别为A1C,BD1,满足m1n1,但是不满足mn,该说法错误;对于说法:若取平面为ADD1A1,m1,n1分别为A1D
9、1,AD1,m,n分别为A1C1,BD1,满足mn,但是不满足m1n1,该说法错误;对于说法:若取平面为ABCD,m1,n1分别为AC,BD,m,n分别为AC1,B1D1,满足m1与n1相交,但是m与n异面,该说法错误;对于说法:若取平面为ADD1A1,m1,n1分别为A1D1,AD,m,n分别为A1C1,BC,满足m1与n1平行,但是m与n异面,该说法错误;综上可得:不正确的命题个数是4.故选D.8.C方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=2,AB1=5,则MN=12AB1=52,NP
10、=12BC1=22.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知PQM为直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221-12=7,即AC=7.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=72.在MQP中,可知MP=MQ2+PQ2=112.在PMN中,cosPNM=MN2+NP2-PM22MNNP=522+222-112225222=-105,又异面直线所成角的范围为0,2,故所求角的余弦值为105.方法二:把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D.由题意可知BC1=2,BD=2
11、2+12-221cos60=3,C1D=AB1=5.可知BC12+BD2=C1D2,所以cosBC1D=25=105,故选C.9.C连接B1C,BD,B1D1,由MN为ACB1的中位线可得MNAC,故错误;由AA1平面AC,可得AA1AC,即有AA1MN,故正确;由BDAC,ACB1B,可得AC平面BDD1B1,又ACMN,即有MN平面BDD1B1,故正确,故选C.10.C以DA,DC,DD1为轴建立空间直角坐标系如图,则D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3).AD1=(-1,0,3),DB1=(1,1,3).设异面直线AD1与DB1所成的角为.cos =A
12、D1DB1|AD1|DB1|=225=55.异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.11.B正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,所以正方体的棱长为1,当点M为线段BC的中点时,MNAD1,A,M,N,D1共面,截面为四边形AMND1,如图,即BM=12不合题意,排除选项A,C,D;当BM12时,截面为五边形,如图,符合题意,即线段BM的取值范围为12,1.故选B.12.64由题目中的位置关系,可将原图补为如图所示的直四棱柱:BC1AD,异面直线BC1与AC所成角即为直线AD与AC所成角DAC,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+4-8cos 120=1
13、2,AC=23,又AD=CD=4+4=22,cosDAC=AD2+AC2-CD22ADAC=8+12-822223=64.13.B如图,连接BD,BE.在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C、D.作EOCD于点O,连接ON.作MFOD于点F,连接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB与EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,则EN=3+1=2,BM=34+254=7,BMEN.故选B.14.B
14、对题目再特殊化,设AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,在图1中连接DE,EC,得DEC为等腰三角形,在DEC中,DE=EC=3,CF=1,得EF=2.在图2中取AD的中点M,连接MF,EM,因为E,F分别是AB,CD的中点,MF=1,EM=1,EFM是异面直线AC与EF所成的角.在EMF中可由余弦定理得cosEFM=FE2+MF2-ME22FEMF=(2)2+1-122=22,EFM=45,即异面直线所成的角为45.故选B.15.714如图,取棱BD上靠近点D的一个三等分点F,又因为E是棱AD上靠近点D的一个三等分点,所以EFAB,所以CEF是异面直线AB和CE所成的角,不妨设正四面体ABCD的棱长为3,则DE=13AD=1,EF=13AB=1,DF=13BD=1,在CDE中,由余弦定理得CE2=DE2+CD2-2DECDcosCDE=12+32-21312=7,所以CE=7,同理,在CDF中,由余弦定理得CF=7,在CEF中,由余弦定理,得cosCEF=EF2+CE2-CF22EFCE=12+(7)2-(7)2217=714.
