1、第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算命题导航考试要点命题预测1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.1.考向预测:主要考查利用求导公式求导、根据导数的几何意义求切线方程.2.学科素养:主要考查逻辑推理、数学运算的核心素养.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2
2、)-f(x1)x2-x1,若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为yx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y|x=x0,即f (x0)=limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0, f(x0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0).提醒(1)曲线y=f(x)在
3、点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为k=f (x0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P,点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数称函数f (x)=limx0f(x+x)-f(x)x为f(x)的导函数,导函数有时也记作y.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=C(C为常数)f (x)=0f(x)=x(N*)f (x)=x-1f(x)=sin xf (x)=cos xf(x)=
4、cos xf (x)=-sin xf(x)=ax(a0,且a1)f (x)=axln af(x)=exf (x)=exf(x)=logax(a0,且a1)f (x)=1xlnaf(x)=ln xf (x)=1x5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=f (x)g(x);(2)f(x)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g(x);(3)f(x)g(x)=f (x)g(x)-f(x)g(x)g(x)2(g(x)0).知识拓展1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.af(x)+bg(x)=af (x)+bg(x).3.函数y=f(x)的导数f (x)反映了
5、函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化方向,其大小|f (x)|反映了变化快慢,|f (x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.、1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)f (x0)与f(x0)表示的意义相同.()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)若f(x)=f (a)x2+ln x(a0),则f (x)=2xf (a)+1x.()(5)f (x0)表示曲线y=f(x)在点A(x0, f(x0)处切线的斜率,也可表示函数y=f(x)在点A(x0, f(x0)处的瞬时变化率.() 2.下列求导运算正确的是
6、()A.x+1x=1+1x2B.(log2x)=1xln2C.(3x)=3xlog3eD.(x2cos x)=-2sin x答案B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+3t(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.134答案D4.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=05.求过点(0,0)与曲线y=ex相切的直线方程.解析设切点坐标为(a,ea),又切线过(0,0),则切线的斜率k=eaa,f (x)=ex,把x=a代入得斜率k=f (a)=ea,则ea=eaa,由于ea0,故a=1,即切点坐标为(1
7、,e),所以切线方程为y=ex.导数的计算典例1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+1x+log2x;(3)y=cosxex;(4)y=3xex-2x+e;(5)y=tan x;(6)y=x.解析(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)y=lnx+1x+(log2x)=(ln x)+1x+1xln2=1x-1x2+1xln2.(3)y=cosxex=(cosx)ex-cosx(ex)(ex)2 =-sinx+cosxex.(4)y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln 3ex+3x
8、ex-2xln 2=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.(5)y=sinxcosx=(sinx)cosx-sinx(cosx)cos2x=cosxcosx-sinx(-sinx)cos2x=1cos2x.(6)y=(x12)=12x-12=12x.方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到复合函数,先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元.提
9、醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f (x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f (x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f (x),再令x=x0,即可得到f (x0)的值,进而得到函数的解析式,求得所求导数值.1-1f(x)=x(2 018+ln x),若f (x0)=2 019,则x0等于() A.e2B.1C.ln 2D.e答案B1-2已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数, f (x)为f(x)的导函数,若f (1)=3,则a= .答案31-3已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=2xf (1)+
10、ln x,则f (1)=.答案-1解析f(x)=2xf (1)+ln x,f (x)=2f (1)+1x,f (1)=2f (1)+1,即f (1)=-1.导数的几何意义命题方向一求曲线的切线方程典例2曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案3x-y=0解析y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以切线的斜率k=y|x=0=3,则曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.命题方向二求参数的值(取值范围)典例3已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-
11、1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D解析y=aex+ln x+1,切线的斜率k=y|x=1=ae+1=2,a=e-1,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.典例4直线 y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b的值.解析设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点的横坐标为x1,与曲线y=ln(x+1)的切点的横坐标为x2,所以曲线y=ln x+2在相应切点处的切线为y=1x1x+ln x1+1,曲线y=ln(x+1)在相应切点处的切线为y=1x2+1x+ln(x2+1)-x2x2+1,所以k=
12、1x1=1x2+1,b=ln x1+1=ln(x2+1)-x2x2+1,解得x1=12,x2=-12,于是b=ln x1+1=1-ln 2.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f (x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就
13、是列出函数的导数等于切线斜率的方程.(4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解.利用公切线得出关系式.设公切线l在曲线y=f(x)上的切点P1(x1,y1),在曲线y=g(x)上的切点P2(x2,y2),则f (x1)=g(x2)=f(x1)-g(x2)x1-x2.2-1已知直线y=-x+1是函数f(x)=-1aex图象的切线,则实数a=.答案e2解析设切点为(x0,y0),则f (x0)=-1aex0=-1,ex0=a
14、,又-1aex0=-x0+1,x0=2,a=e2.2-2已知曲线f(x)=x3+ax+14在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x相切,求a的值.解析由f(x)=x3+ax+14得,f(0)=14, f (x)=3x2+a,则f (0)=a,曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-14=ax.设直线y-14=ax与曲线g(x)=-ln x相切于点(x0,-ln x0),又g(x)=-1x,-ln x0-14=ax0,a=-1x0,将代入得ln x0=34,x0=e34,a=-1e34=-e-34. 1.已知f1(x)=sin x+cos x, fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即f2(
15、x)=f 1(x), f3(x)=f 2(x), fn+1(x)= f n(x),nN*,则f2 019(x)=()A.-sin x-cos xB.sin x-cos xC.-sin x+cos xD.sin x+cos x答案Af2(x)=f 1(x)=cos x-sin x;f3(x)=f 2(x)=-sin x-cos x;f4(x)=f 3(x)=-cos x+sin x;f5(x)=f 4(x)=sin x+cos x;,则fn(x)的周期为4,即fn(x)=fn+4(x).因为2 019=5044+3,所以f2 019(x)=f3(x)=-sin x-cos x.2.若函数y=f(
16、x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3A设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f (x1)f (x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)=cos x,又f (0)f ()=-1,故函数y=sin x具有T性质;y=f(x)=ln x(x0)的导函数为f (x)=1x,又f (x1)f (x2)=1x1x20,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数
17、为f (x)=ex,则f (x1)f (x2)=ex1+x20,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3x2,则f (x1)f (x2)=9x12x220,故函数y=x3不具有T性质.故选A.A组基础题组 1.已知函数f(x)=logax(a0且a1),若f (1)=-1,则a=()A.eB.1eC.1e2D.12答案B2.已知曲线y=x24-3ln x的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.12答案A3.已知曲线y=ln x的某条切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.1eD.-1e答案Cy=ln x的定义域为(0,+),设切
18、点为(x0,y0),则k=y|x=x0=1x0,所以切线方程为y-y0=1x0(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=y|x=x0=1x0=1e.4.已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为.答案e解析由函数的解析式可得f (x)=exln x+e x1x=exlnx+1x,则f (1)=e1ln1+11=e,即f (1)的值为e.5.(2019湖北宜昌联考)已知f (x)是函数f(x)的导数, f(x)=f (1)2x+x2,则f (2)=.答案41-2ln2解析易知f (x)=f (1)2xln 2+2x,所
19、以f (1)=f (1)2ln 2+2,解得f (1)=21-2ln2,所以f (x)=21-2ln22xln 2+2x,所以f (2)=21-2ln222ln 2+22=41-2ln2.6.曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案y=2x-27.已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析由题意可得f(1)=a,则切点为(1,a),因为f (x)=a-1x,所以切线l的斜率k=f (1)=a-1,则切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,可得y=1,故l在y轴上的截距为1.8.(2018课标全国,1
20、4,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2,解得a=-3.9.若曲线f(x)=xsin x+1在x=2处的切线与直线ax+2y+1=0垂直,则实数a=.答案2解析因为f (x)=sin x+xcos x,所以f 2=sin 2+2cos 2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-a2,所以1-a2=-1,解得a=2.10.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案
21、8解析令f(x)=x+ln x,于是有f (x)=1+1x,由于f (1)=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线的斜率k=2,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故将y=ax2+(a+2)x+1与y=2x-1联立,得ax2+ax+2=0,因为a0,两线相切于一点,所以=a2-8a=0,解得a=8.11.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析由y=x+4x(x0),得y=1-4x2(x0),设斜率为-1的
22、直线与曲线y=x+4x(x0)相切于点x0,x0+4x0,由1-4x02=-1得x0=2(x0=-2舍去),曲线y=x+4x(x0)上的点P(2,32)到直线x+y=0的距离最小,最小值为|2+32|12+12=4.12.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析(1)易知点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以点(2,-6)为切点.因为f (x)=(x3+x-
23、16)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f (2), f (2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f (x0), f (x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f (x0)=3(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y
24、=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f (x0)=3x02+1=4,所以x0=1.所以x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=() A.-1B.0C.1D.2答案C依题意得, f (x)=-asin x,g(x)=2x+b, f (0)=g(0),-asin 0=20+
25、b,故b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.若曲线f(x)=ax2(a0)与g(x)=ln x有两条公切线,则a的取值范围是()A.0,1eB.0,12e C.1e,+D.12e,+答案D假设两曲线相切,设其切点为P(m,n),f (m)=2am=g(m)=1m,2am2=1,点P在曲线上,n=am2=ln m,12=ln m,m=e12,a=12e,当a12e时,两曲线相离,必然存在两条公切线,a12e,+.3.已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x0,若|f(x)|ax,则实数a的取值范围是.答案-2,0解析作出函数y=|f(x)|的图象
26、与直线y=ax,如图所示,当直线在第四象限的部分介于直线l与x轴之间时符合题意,直线l为曲线f(x)的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的解析式为y=x2-2x,则y=2x-2,因为x0,故y-2,故直线l的斜率为-2,故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可,即a-2,0.4.已知点M是曲线y=13x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角的取值范围.解析(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=2时,ymin=-1,此时y=53,斜率最小时的切点为2,53,斜率k=-1,切线方程为3x+3y-11=0.(
27、2)由(1)得切线的斜率k-1,tan -1,0,),0,234,.故的取值范围是0,234,.素养拓展5.当直线kx-y-k+1=0(kR)和曲线E:y=ax3+bx2+53(ab0)交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1x2x3)三点时,曲线E在点A,点C处的切线总是平行的,则过点(b,a)可作曲线E的切线的条数为()A.0B.1C.2D.3答案C易知曲线E:y=ax3+bx2+53(ab0)是中心对称图形,令f(x)=ax3+bx2+53(ab0),则f (x)=3ax2+2bx(ab0).令g(x)=3ax2+2bx(ab0),则g(x)=6ax+2b(ab0)
28、,令g(x)=0,得x=-b3a,f(x)的图象的对称中心为点-b3a, f-b3a,设M-b3a,f-b3a.曲线E在点A,C处的切线总是平行的,且直线AC:y=k(x-1)+1恒过点(1,1),M(1,1),-b3a=1,a+b+53=1,解得a=13,b=-1,曲线E为y=13x3-x2+53,y=x2-2x,过点-1,13作曲线E的切线,设切点为(x0,y0),则切线方程为y-13=(x02-2x0)(x+1),13x03-x02+53-13=(x02-2x0)(x0+1),x03-3x0-2=0,即(x0+1)2(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2,切线方程为y=3x+103或
29、y=13,过点(b,a)可作曲线E的2条切线.故选C.6.对于函数y=f(x),若存在x0,使f(x0)+f(-x0)=0,则称点(x0,f(x0)是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)=x2+2x,x0,kx+2,x0,若曲线f(x)存在“优美点”,则实数k的取值范围是.答案(-,2-22解析由“优美点”的定义,可知若点(x0, f(x0)是曲线y=f(x)的“优美点”,则点(-x0,-f(x0)也在曲线y=f(x)上.如图,作出函数y=x2+2x(x0).设过定点(0,2)的直线y=k1x+2与曲线y=-x2+2x(x0)相切于点A(x1, f(x1),则k1=y|x=x1=-2x1+2=-x12+2x1-2x1-0,解得x1=2或x1=-2(舍去),所以k1=-22+2.由图可知,若曲线y=f(x)存在“优美点”,则k2-22.
