1、数列综合复习课数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通 项前n项和性 质)2()1(11nSSnSannn知识结构qaann1dnaan)1(111nnqaadmnaamn)(mnmnqaa2)(baAabG 22)1(2)(11dnnnaaanSnn1111)1(111qnaqqqaaqqaSnnnqpmnaaaaqpmnaaaapmnaaa22pmnaaa一、知识回顾daann1kkkkkSSSSS232,kkkkkSSSSS232,仍成等差仍成等比1211nSnSSannn等 差 数 列 等 比 数 列 定 义通 项通项推广中 项性 质求和公式关系式nnSa、适用所有数列等差数列的
2、重要性质5)对于等差数列na：若项数为n2则ndSS奇偶若项数为12n则naSS偶奇（中间项）1SnSn奇偶、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为daadadadaa,;2,或者，yyxx,2,aqaqa,2.三个数成等比数列，则这三个数可为，也可以设为.,2aqaqa例1(1).已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.析：设这三个数为dxxdx,则83)()(15)()(222dxxdxdxxdx所求三个数分别为3，5，7解得x5，d 或7，5，3.2.二、知识应用根据具体问题的不同特点而选择不同设法。、运用等差、等比数列的性质 例2（1）已知等差数列
3、满足，则()na010121aaa0A.1011 aa0B.1002aa51D.51 a0C.993aa130A.170B.210C.260D.（3）已知在等差数列an的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.214321aaaa析：67321nnnnaaaa2862)(1nnaanS22467211naaC（2）已知等差数列前项和为30，前项和为100，则前项和为()namm2m3C例3.等差数列an中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:如果等差数列an由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：100nn
4、naSa 是最小值当a10,d0时,当a10,d0时,100nnnaSa 是最大值、等差数列的最值问题例.等差数列an中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:等差数列an的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.例3.等差数列an中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小?分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.因为S9=S12,又S1=
5、a10,所以Sn 的图象所在的抛物线的对称轴为直线n=(9+12)2=10.5,所以Sn有最小值数列an的前10项或前11项和最小nSnon=2ba10.5类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为直线x=(9+12)2=10.5思路3：函数图像、数形结合令2nSAnBn故开口向上过原点抛物线常见的求和公式1 23(1)2nnSnn 22221123(1)(21)6nSnn nn333321123(1)2nSnn n专题一：一般数列求和法倒序相加法求和，如an=3n+1错项相减法求和，如an=(2n-1)2n分组法求和，如an=2n+3n裂项相加法求和，如a
6、n=1/n(n+1)公式法求和，如an=2n2-5n专题一：一般数列求和法一、倒序相加法解：例1:()(1)1,1231999()()().().2000200020002000f xfxffff已知求的值12100019981999()()()()()2000200020002000200019991998100021()()()()()200020002000200020001199921998()()()()200020002000200019991()(2000200SfffffSfffffSSffffff)01 1999 19992S22112 (1)2(21)(1)(1)1nnnn
7、aSaaanaaaa “错位相减法”求和,常应用于形如anbn的数列求和,其中an为等差数列,bn 为等比数列,bn的公比为q，则可借助转化为等比数列的求和问题。nnSqS导学案68页例4二三、分组求和21,nnnaannan例3、已知数列的通项公式为求数列的前 项和21nann解：2222(11 1)(22 1)(33 1)(1)nSnn 2222(123)(1 2 3)1nnn (1)(21)(1)62n nnn nn2(1)(2)(31)33n nnn nnn22211(2)()2nnnnnaxxxx1x 当时，1nx 当时，S242242111()()2nnxxxnxxx2422421
8、11(2)(2)(2)nnnSxxxxxx22222(1)(1)2(1)nnnxxnxx24nnnnnS22222211(1)(1)2111nnxxxxnxx 222221112(),(),()nnxxxxxx222224(1)(1)(1)2(1)(1)nnnnn xSxxn xxx 把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.练习：求和2222222212345699100S 22222222(21)(43)(65)(10099)S 解：(2 1)(2 1)(4 3)(4 3)(100 99)(100
9、 99)37 1119950(3 199)50502四、裂项相消求和法：1111 33 5(21)(21)nSnn例4.求和111:()2 2121111111(1)2335212111 (1)22121nnannSnnnnn解常用列项技巧：111(1)(1)n nnn11 11()k nnkn(n+k)1111212122121nnnn11()nknknkn把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.)2(33,3111naaaannn累加法，如累乘法，如构造新数列：如取倒数：如
10、Sn和an的关系：)(1nfaann)(1nfaann1nnaab 专题二：.通项的求法 332nnSa如1:()()nnf naaf n 为类型一可求和数列用迭加法116,21(2,*),_.nnnaaannnNa例1、已知且满足则通项公式112132121 21(2,*)2 2 1 2 3 1 21(2,*)nnnnnnaanaannnNaaaaaannnN 解:12213 521(1)1(2,*)5(2,*)nnnaannnnn Nannn N 以上式相加得项的等差数列2121565(*)nnnaannN又当时1:()()nnagnagn 为可类型二求积数列用迭乘法1122,1,nnnn
11、naaaaa 例、已知数列满足且求112313241231:222,2,2,2nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa解1131:3,_326 :.31nnnnnaaaankey an练习 已知则通项公式2313241231(1)1 2 312(1)2112 2 2222(2)2(2)nnnn nnn nnnaaaaa aaanana 以上式相乘得(1)212n nnaa经验证 符合10,1,:)0(nnpaqpapq类型三 线性递推式1131,31(2).nnnaaana例、已知求1113()32131212nnnnnnaaaaaa解：设与对比得111111123()31222113322
12、2133132222nnnnnnnnnaaaaaaqaa为等比数列首项为公比1111()1nnnnnqapqpap aapaqqp可构造等比数列其中也可用待定系数法确定,设展开与对比可得1:(0)1nnnnaapqappa 类型四 递推关系为两边同时取倒数可构造等差数列1143,.21nnnnaaaaa例、已知求1112111:22111 2nnnnnnnnnaaaaaaaaa解1:nnnnnnapqaqaqq类型五 递推关系为两边同除可构造 等差数列111111 222122 12211222111(1)()22222nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaadannan解：两边同
13、除得是首项为公差的等差数列111,22(2),.nnnnnaaaana例5、已知数列满足求11 (1):(2)nnnnnSnSaaSSn 类型六 利用与 的关系求通项数列的前n项和Snn2n+1，则通项an=_11222nnn32,.nnnnanSanS例:已知在数列中,前 项和求前 项和公式111111111222121212132,32(),230(2),230,2(),1323.2323,6,6,6 2.33 23(1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSSSSSnSSSSSSSSnSaSnSaaaaSSaSSS 解:即则数列是以2为公比的等比数列，而时,时,12).33(12)
14、.nnnSS 适合公式,121,2(2).211(1):.(2).nnnnnnnnaanSaSanSaS练习1:已知数列满足其前 项和与之间满足 求证 数列为等差数列求数列的通项公式212112(1):(2),(2),21211,2(2),211nnnnnnnnnnnnnSaSSnanSSSSnSSSS证明又由已知有整理得数列为等差数列21(2)(1)2,11(1)22121,(2)21212(2)(21)(23)nnnnnnnSnnSSSSannSannn由知数列为公差为 等差数列代入得11211(2)(21)(23)1 (1)2 (2)(21)(23)nnnaSannnnannn当时不符合,0,21(),nnnnnnaaSanNSa练习2:在数列中求和 的表达式.221421nnnnnSaSaa解：平方得2111421nnnSaa221114()()2()nnnnnnSSaaaa12211111111122(2)42()()(2)0002(2)2,2111(1)2211(21)2(21)14nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSSnaaaaaaaaaaaaaanadaaaannSnnn 时可化为又，数列是等差数列且公差又 -得：
