1、江苏省东海县高考文化补习学校2018届高三数学周练试题一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1已知函数y=2cos(wx+j)(w0)的最小正周期为p,那么w= .2复数z=(i为虚数单位)的模为 .3已知点A(-1,0)、B(1,3),向量a=(-2,2k-1),若/a,则实数k的值为 .4已知公差不为零的等差数列an,a1,a5,a13成等比数列,则输入整数输出开始结束否是该等比数列的公比等于 .5将一个骰子连续掷3次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .6执行如右图所示的程序框图,若输出的n=5,则输入整数p的最小值
2、是 .7半径为2cm的半圆形纸片卷成圆锥(重叠部分忽略不计)放在桌面上,一阵风吹倒它,它的最高处距桌面 cm.8平面上三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数k的值为 .9= .10已知函数f(x)=|x2-a|在-1,1上的最大值为M(a),则M(a)的最小值为 .11定义区间a,b的长度为b-a.用x表示不超过的最大整数,设f(x)=x(x-x),g(x)=x-1,则当0x2012时,不等式f(x)g(x)的解集区间的长度为 .12已知函数f(x)满足f(1)=a (0b0)的离心率为,其四个顶点构成的四边形面积为4.(I)求椭圆C的方程
3、；(II)如图,椭圆C内切于四条直线x=a,y=b所围成的矩形,A、B是矩形的两个顶点.(i) 设P是椭圆上任意一点,且=m+n,求证:动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程；(ii) 若M、N是椭圆上两个动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求OMN的面积是否为定值,并说明理由.xyABOMN19(本题满分16分)设aR,函数f(x)=lnx-ax.(I) 若a=2,求曲线y=f(x)在P(1,-2)处的切线方程；(II) 若f(x)无零点,求实数a的取值范围；(III) 若f(x)有两个相异零点x1、x2,求证:x1x2e2.20(本题满分16分)已知数
4、列an的各项均是正数,其前n项和为Sn,满足(p-1)Sn=p2-an,其中p为不等于1的正常数.(I)求数列an的通项公式；(II)若存在正整数M,使得nM时,a1a4a7a3n-2a78恒成立,求实数p的取值范围,以及M的最小值；(III)若p=2,等比数列bn满足b1=as,b2=at(1st,s,tN*),记等比数列bn的前n项和为Tn,且T20120,且+=1,求证:+. 必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22(本小题满分10分) 在三棱柱ABCA1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点,侧棱AA
5、1和底面成45角(I) 若D为侧棱A1A上一点,当为何值时,BDAC;(II) 求二面角A1ACB的余弦值大小.ABOCDA1B1C123(本小题满分10分)已知an=(1+)n(nN*).(I) 若an=a+b(a,bZ),求证:a是奇数；(II) 求证：对于任意nN*,都存在正整数k,使得an=+.答案1.2; 2.; 3.-1; 4.2; 5.; 6.31;7.; 8.0,-1或-2; 9.-; 10.; 11.2011;12.,1; 13.(2,2; 14.-.15. (I)解：如图,连接,由余弦定理得,3分由知,则. 6分 (II)解法1:由题意可知: ,则,9分又在中,可得, 12
6、分故. 14分解法2: .解法3：如图建立坐标系,由(I)知的坐标分别为,则,可得.16. 解：()连结,设交于点,连结. 2分因为为正方形,所以为中点,又为中点,所以为的中位线,所以. 4分因为平面,平面,ABCDC1A1B1O所以平面. 7分()由()可知, 8分因为侧面是正方形,且,所以平面. 又,所以平面. 10分又因为平面,所以.所以. 12分又平面,所以. 14分17.解：(I)解法1:设OAC=q,在OAC中,由正弦定理,得,所以 .2分在OBC中,B=105-q,OCB=45+q,由正弦定理,得,所以 .4分故=.7分解法2：设OCA=a,在OAC中,由正弦定理,得,所以 =)
7、.2分在OBC中,B=a-30,由正弦定理,得,所以 =).4分故=.7分(II)OAB的面积S=OAOBsinAOB=xysin75=xy.8分由(I)知,=2,得xy16,11分所以S4(1+),当且仅当,即x=4,y=4时取等号.13分故OA=4km,OB=4km时,有最小商业用地面积4(1+)km2. 14分18.解:(I)由题意知=,即4c2=3a2.又a2=b2+c2,所以4a2-4b2=3a2,即a2=4b2,所以a=2b.因为四个顶点围成的四边形面积为4,所以2ab=4,即ab=2,解得b2=1,a2=4.故椭圆C的方程为+y2=1.5分(II)A(2,1),B(-2,1).(
8、i)设P(x0,y0),则+y02=1.由=m+n,得,所以+(m+n)2=1,即m2+n2=.故点Q(m,n)在定圆x2+y2=上.10分(ii)设M(x1,y1)、N(x2,y2),则.平方得x12x22=16y12y22=(4-x12)(4-x22),即x12+x22=4.12分因为直线MN的方程为(x2-x1)x-(y2-y1)x+x1y2-x2y1=0,所以O到直线MN的距离为d=,所以OMN的面积S=MNd=|x1y2-x2y1|=1.故OMN的面积为定值1.16分19. 解：在区间上,. 1分(I)当a=2时,则切线方程为,即x+y+1=0 4分(II)解法1:若,则,是区间上的
9、增函数,函数在区间有唯一零点. 6分若,有唯一零点. 7分若,令得: .在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为. 8分由即,解得:.故所求实数a的取值范围是. 10分解法2、函数无零点方程即在上无实数解 5分令,则由即得： 6分在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为. 8分注意到时,；时；时,故方程在上无实数解.即所求实数a的取值范围是. 10分(III) 设,原不等式令,则,于是. 13分设函数,求导得: 故函数是上的增函数, 即不等式成立,故所证不等式成立. 16分20解：(I)由题设知 1分同时两式作差得
10、所以故数列 4分 5分(II) 6分 当解得符合题意,此时不存在符合题意的M. 8分当解得此时存在符合题意的M=8. 综上所述,当时,存在M=8符合题意 10分(3)若p=2,则.所以b1=as=22-s, b2=at=22-t,则bn的公比q=, . T2012,b1=22-s,2-s-4,即s6. 11分又1st,0q,(*)而1-2s-t1-2-1=,23-s,3-s-3,即s6. 因此s=6. 13分代入(*)式,得,即28-t,6t10. 15分当t=7时, ;当t=8时, ;当t=9时, ;当t=10时, ;综上,s=6,t=9或10. 16分附加题部分：21A.解：连接OD,设A
11、C与半圆O交于点F,连接BF.因为DE为半圆O的切线,所以ODDE. 3分又,所以OD/AC,因为O是BC的中点,所以D为AB的中点.又因为BFAC,所以DE/BF,所以E是AF的中点. 7分而AB=AC,所以AE=AC,故=. 10分21B. 解：设P(x,y)是椭圆上任意一点,点P在矩阵对应的变换下变为点P(x,y),则有,即所以 3分又因为点P在椭圆上,有,即(b2+4)x 2+(a2+4)y 2-2(ab+4)x y =4(a-b)2. 7分因为该曲线为圆,所以,解得a=2,b=-2,或a=-2,b=2. 10分21C. 解：曲线的直角坐标方程为 3分若C1与C2有公共点,则a=x+y
12、=sint+cost-2在t0,p上有解,又sint+cost-2=sin(t+)-2 7分因为t0,p,所以t+, sin(t+)-,1所以a的取值范围为-3,-2. 10分21D. 证明：因为+=1,所以+=2. 3分由柯西不等式,得(+)(+)(+)2, 7分所以 +. 10分22. 解：以O点为原点,OC为x轴,OA为y轴,OA1为z轴建立空间直角坐标系由题意知A1AO=45,A1O=3O(0,0,0),C(,0,0),A(0,3,0),A1(0,0,3),B(,0,0)()设AD=a,则D(0,3a,a),所以=(,3a,a),=(,3,0)ABOCDA1B1C1xzy要使BDAC,
13、须=33(3a)=0,得a=2,而AA1=3,A1D=,. 5分(II)=(0,3,3),=(2,0,0)设平面ACA1的法向量为n1=(x,y,z),则令z=1,则x=,y=1,n1=(,1,1)7分而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1), 8分所以cos=又显然所求二面角的平面角为锐角,故所求二面角的余弦值的大小为. 10分23. 证明:(1)由二项式定理,得an=C+C+C2+C3+Cn,所以 a=C+C2+C4+=1+2C+22C+.因为2C+22C+为偶数,所以a是奇数. 4分(2)由(1)设an= (1+)n =a+b(a,bZ),则(1-)n =a-b. 5分所以a2-2b2=(a+b)(a-b)= (1+)n(1-)n=(1-2)n. 6分当n为偶数时,a2=2b2+1,存在k=a2,使得an=a+b=+=+. 8分当n为奇数时,a2=2b2-1,存在k=2b2,使得an=a+b=+=+. 9分综上,对于任意nN*,都存在正整数k,使得an=+. 10分
