1、第五节导数的综合应用(二)与函数零点有关的证明问题典例1已知函数f(x)=2lnx-ax2.(1)若a=1,证明:f(x)+10;(2)当a=1e时,判断函数f(x)有几个零点.解析(1)证明:当a=1时,f(x)=2lnx-x2,x(0,+).f(x)=2x-2x=2(1-x2)x=2(1-x)(1+x)x.(0,1)1(1,+)f(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,函数f(x)的最大值为-1,即当x(0,+)时,f(x)-1,x(0,+)时,f(x)+10.(2)当a=1e时,f(x)=2lnx-1ex2,x(0,+).f(x)=2x-2ex
2、=2(e-x2)ex=2(e-x)(e+x)ex.(0,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减f(e)=2lne-1e(e)2=0,函数f(x)在(0,+)上只有一个零点.当a=1e时,函数f(x)在(0,+)上只有一个零点.1-1已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.解析(1)当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f(x)=x2-6x-3.令f(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.当x(-,3-23)或(3+23,+)时,f(x)0;当x(3-23,3+23)时,f(x)
3、0,所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0.设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20,当且仅当x=0时,g(x)=0,所以g(x)在(-,+)上单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-160,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.函数零点个数的探讨问题典例2设函数f(x)=12x2-mlnx,g(x)=x2-(m+1)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当m1时,讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.解析(1)函数f(x)的定义域为(
4、0,+),f(x)=x-mx=x2-mx,当m0时,f(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,当m0时,f(x)=(x+m)(x-m)x,所以当0xm时,f(x)m时,f(x)0,函数f(x)单调递增.综上,当m0时,f(x)在(0,+)上单调递增;当m0时,函数f(x)的单调增区间是(m,+),单调减区间是(0,m).(2)令F(x)=f(x)-g(x)=-12x2+(m+1)x-mlnx,x0,问题等价于求函数F(x)的零点个数问题,F(x)=-(x-1)(x-m)x,若m=1,则F(x)0,F(x)为减函数,因为F(1)=320,F(4)=-ln41,则0xm时,F(x)0;1x0
5、,所以函数F(x)在(0,1)和(m,+)上单调递减,在(1,m)上单调递增,因为F(1)=m+120,F(2m+2)=-mln(2m+2)0).(1)求f(x)的单调区间;(2)试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析(1)函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=(x)lnx+x1x=x(lnx+2)2x.令f(x)0,解得xe-2,令f(x)0,解得0x2e时,f(x)min0,f(x)无零点,a=2e时,f(x)min=0,f(x)有1个零点,a2e时,f(x)min-e,又当x(0,e)时,g(x)=xlnx-2x=x(lnx-2)0,m0,综上所述:-em0.规律总结含参函数
6、零点个数的讨论问题要注意以下几点:(1)参数的不同取值对函数单调性的影响;(2)参数的不同取值对函数极值的影响;(3)参数的不同取值对函数端点值的影响.3-1已知函数f(x)=lnx-x2+2ax,aR,若f(x)在1e,e内有两个零点,求a的取值范围.解析令f(x)=lnx-x2+2ax=0,得2a=x-lnxx,令g(x)=x-lnxx,f(x)在1e,e内有两个零点,即y=2a与g(x)=x-lnxx的图象在1e,e内有两个交点,易知g(x)=x2-1+lnxx2,令h(x)=x2-1+lnx,当x(0,1)时,h(x)h(1)=0,所以g(x)在1e,1上是减函数,在1,e上是增函数,
7、g(1)=1,g1e=e2+1e,g(e)=e2-1e,所以依题意12ae2-1e,则120,则实数a的取值范围是()A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)答案C显然当a=0时,f(x)=-3x2+1=0有两个不同的零点(舍去).因为f(x)=ax3-3x2+1,所以f(x)=3axx-2a.当a0时,函数f(x)在(-,0),2a,+上单调递增,在0,2a上单调递减,且f(0)=1,所以f(x)在(-,0)内存在一个零点(舍去).当a0,需f2a0,即1-4a20,解得a0时,由f(x)=0得x=lna.若xlna,则f(x)lna,则f(x)0.所以函数f(x)在区间
8、(-,lna)上单调递减,在区间(lna,+)上单调递增,f(x)的最小值为f(lna)=a(1-lna).当0a0,f(x)无零点;当a=e时,f(lna)=a(1-lna)=0,f(x)只有一个零点;当ae时,f(lna)=a(1-lna)0与函数的单调性,可知f(x)在区间(-,lna)和(lna,+)上各有一个零点,故f(x)共有两个零点.当a=0时,f(x)=ex,易知f(x)无零点.当a0时,由f(x)=0,得ex=ax,易知曲线y=ex与直线y=ax只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.综上所述,当0ae时,f(x)无零点;当ae时,f(x)有两个零点.3.设函数f(x)=x3
9、+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同的零点,求c的取值范围.解析(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,则f(x)=3x2+2ax+b,则斜率k=f(0)=b,又f(0)=c,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y-c=bx,即bx-y+c=0.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,则f(x)=3x2+8x+4,因为函数f(x)有三个不同的零点,所以f(x)有两个不同的极值点,且极小值小于0,极大值大于0,由f(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x1=-2,x2=-23,又
10、f(-2)=c,f-23=-3227+c,所以c0,-3227+c0,解得0c0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=x-kx=x2-kx,令f(x)0,得xk;令f(x)0,得0x0,f(e)=e2-klne=e-k20,所以f(x)在区间(1,e上仅有一个零点.5.已知函数f(x)=lnx-x+1x-1.判断f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点.解析f(x)的定义域为(0,1)(1,+).因为f(x)=1x+2(x-1)20,所以f(x)在(0,1),(1,+
11、)上单调递增.证明:因为f(e)=1-e+1e-10,所以f(x)在(1,+)上有唯一零点,设为x1,即f(x1)=0.又01x10时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间12,+上有两个零点,求实数k的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-ax+1+a-1x=-(ax-1)(x-1)x(a0),当a(0,1)时,1a1.由f(x)1a或0x1.所以f(x)的单调递减区间为(0,1),1a,+;当a=1时,恒有f(x)0,所以f(x)的单调递减区间为(0,+);当a(1,+)时,1a1.由f(
12、x)1或0x1a.所以f(x)的单调递减区间为0,1a,(1,+).综上,当a(0,1)时,f(x)的单调递减区间为(0,1),1a,+;当a=1时,f(x)的单调递减区间为(0,+);当a(1,+)时,f(x)的单调递减区间为0,1a,(1,+).(2)由题意知,当a=0时,g(x)=x2-xlnx-k(x+2)+2在x12,+上有两个零点,即关于x的方程k=x2-xlnx+2x+2在x12,+上有两个不相等的实数根.令h(x)=x2-xlnx+2x+2,x12,+,则h(x)=x2+3x-2lnx-4(x+2)2,x12,+,令p(x)=x2+3x-2lnx-4,x12,+,则p(x)=(2x-1)(x+2)x,则在12,+上有p(x)0,故p(x)在12,+上单调递增.因为p(1)=0,所以当x12,1时,有p(x)0,即h(x)0,即h(x)0,所以h(x)在(1,+)上单调递增.因为h12=910+ln25,h(1)=1,且当x+时,h(x)+,所以k的取值范围是1,910+ln25.
