1、1.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若AB2，PB，求三棱锥BCDE的体积2.如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBCF，ABC60，四边形ACFE为平行四边形，FC平面ABCD，点M为线段EF的中点(1)求证：BC平面ACFE；(2)若AD2，求点A到平面MBC的距离3.(2019浙江省杭州第十四中学月考)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC, ABAC, PA1，ABAC，D为BC的中点，过点D作DQ平行于AP，且DQ1.连接QB, QC, QP.(1)证明：AQ平面PBC；(2)求直线BC与平面AB
2、Q所成角的余弦值4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，试画出二面角ABCB1的平面角，并求它的余弦值答案精析1(1)证明连接AC(图略)，PO平面ABCD，BD平面ABCD，POBD，又四边形ABCD为正方形，BDAC，又PO平面PAC，AC平面PAC，POACO，BD平面PAC.(2)解由题意知OB，又PB，PO2，SBCDBCCD222，点E到平面BCD的距离为hPO1，VBCDEVEBCDSBCDh21.2(1)证明设ADm，则DCCBADm，在梯形ABCD中
3、，ABCD，ABC60，AB2m，AC2AB2BC22ABBCcos 603m2，AB2AC2BC2，BCAC.FC平面ABCD，BC平面ABCD，FCBC，ACFCC，AC平面ACFE，FC平面ACFE，BC平面ACFE.(2)解由(1)知BCAC，SABCACBC222，四边形ACFE为平行四边形，FMAC，点M到平面ABC的距离为CFAD2，VMABCSABCCF22，BC平面ACFE，CM平面ACFE，BCCM，又MC，SMBCMCBC2，设点A到平面MBC的距离为d，则VAMBCVMABCSMBCdd，d.3(1)证明连接AD，PD(图略)，由PA平面ABC得PAAD，因为PADQ且
4、PADQ，所以四边形ADQP为矩形，又ABAC，ABAC，所以AD1AP，所以四边形ADQP为正方形，AQPD，因为BCAD, BCDQ，ADDQD，AD，DQ平面ADQ，所以BC平面ADQ，所以BCAQ，又BCPDD，BC，PD平面PBC，所以AQ平面PBC.(2)解方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则B，C，P，D，Q则(，0,0)，设平面ABQ的法向量为n(a，b，c)，于是可取n.设BC与平面ABQ所成的角为，则sin ，cos .方法二易知BQAQAB, 所以SABQ2，设点C到平面ABQ的距离为 h，因为VCABQVQABC，所以SABQhSABCQD，即h1，所以h，设BC与平
5、面ABQ所成的角为，则sin ，cos .4(1)证明连接BC1，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且B1C与BC1相交于O点因为AO平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，所以B1CAO.又BC1AOO，BC1，AO平面ABO，所以B1C平面ABO，因为AB平面ABO，所以B1CAB.(2)解作ODBC，垂足为D，连接AD，因为BCOA，BCOD，AOODO，所以BC平面AOD，又AD平面AOD，所以BCAD.所以ADO是二面角ABCB1的平面角因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，所以OCBC，所以ODOC.因为ACAB1，所以OAB1C.所以AD.在RtAOD中，cosADO.
