1、考点规范练25平面向量的概念及线性运算考点规范练A册第17页基础巩固1.(2019山东师大附中二模)设a,b是非零向量,则“a=2b”是“a|a|=b|b|成立”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由a,b是非零向量,且a=2b可知a,b方向相同,所以a|a|=b|b|成立;反之不成立.故选B.2.(2019辽宁丹东模拟)设平面向量a,b不共线,若AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线答案:A解析:AB=a+5b,BC=-2a+
2、8b,CD=3(a-b),AD=AB+BC+CD=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2AB,AD与AB共线,即A,B,D三点共线,故选A.3.(2019广东六校第一次联考)在ABC中,D为AB的中点,点E满足EB=4EC,则ED=()A.56AB-43ACB.43AB-56ACC.56AB+43ACD.43AB+56AC答案:A解析:因为D为AB的中点,点E满足EB=4EC,所以BD=12BA,EB=43CB,所以ED=EB+BD=43CB+12BA=43(CA+AB)-12AB=56AB-43AC,故选A.4.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且A
3、E=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为()A.-12B.0C.12D.1答案:C解析:如图,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.EF=mAB+nAC,m=-16,n=23,m+n=12.故选C.5.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2OP=2OA+BA,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上答案:B解析:因为2OP=2OA+BA,所以2AP=BA.所以点P在线段AB的反向延长线上
4、,故选B.6.已知点O为ABC外接圆的圆心,且OA+OB+OC=0,则ABC的内角A等于()A.30B.60C.90D.120答案:B解析:由OA+OB+OC=0,得点O为ABC的重心.又O为ABC外接圆的圆心,所以ABC为等边三角形,故A=60.7.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积比为()A.15B.25C.35D.45答案:C解析:设AB的中点为D.由5AM=AB+3AC,得3AM-3AC=2AD-2AM,即3CM=2MD.如图,故C,M,D三点共线,且MD=35CD,也就是ABM与ABC对于边AB上的两高之比为35,则ABM与ABC的面积
5、比为35,故选C.8.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对答案:C解析:AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,ADBC.又AB与CD不平行,四边形ABCD是梯形.9.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.答案:90解析:由AO=12(AB+AC)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC=90,故AB与AC的夹角为90.10.(2019河北石家庄高三摸底考试)在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若AB=AM+
6、DB,则=.答案:29解析:DB=AB-AD=AB-BC=AB-2BM=3AB-2AM,AB=AM+3AB-2AM,(1-3)AB=(-2)AM.AB和AM是不共线向量,1-3=0,-2=0,解得=13,=23,=29.11.如图,在ABC中,BAC=3,AB=2,AC=4,点D为边BC上一点,满足AC+2AB=3AD,点E是AD上一点,满足AE=2ED,则BE=.答案:2219解析:如图,延长AB到F,使AF=2AB,连接CF,则AC=AF.取CF的中点O,连接AO,则AC+2AB=2AO=3AD,A,D,O三点共线,BAC=3,CAO=6,且AOCF,AC=4,AO=23.AD=433.又
7、AE=2ED,AE=2ED=23AD=839.又AB=2,BAE=6,在ABE中,由余弦定理,得BE2=4+6427-2283932=2827.BE=2219.12.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.若EF=AB+DC,则+=.答案:1解析:如图,因为E,F分别是AD,BC的中点,所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因为AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.同理EF=ED+DC+CF.由+得,2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC),所以=12,=12.所以+=1.能力提升13.在ABC中,点O在线段B
8、C的延长线上,且与点C不重合.若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是()A.(-,0)B.(0,+)C.(-1,0)D.(0,1)答案:A解析:设BO=BC(1),则AO=AB+BO=AB+BC=(1-)AB+AC.又AO=xAB+(1-x)AC,所以xAB+(1-x)AC=(1-)AB+AC.所以=1-x1,得x0,n0),则m+2n的最小值为()A.3B.4C.83D.103答案:A解析:因为BP=2PC,所以AP-AB=2(AC-AP),所以AP=13AB+23AC.又因为AM=mAB,AN=nAC,所以AP=13mAM+23nAN.因为M,P,N三点共线,所以13m+23
9、n=1,所以m+2n=(m+2n)13m+23n=13+43+23nm+mn53+232nmmn=53+43=3,当且仅当nm=mn,13m+23n=1,即m=n=1时等号成立.所以m+2n的最小值为3.故选A.17.如图,有5个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则x+y的值是.答案:1解析:由平面向量的运算可知BD=AD-AB.AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF.又AE,AF不共线,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,x=3,y=-2,x+y=1.高考预测18.已知e1,e2为平面内两个不共线向量,MN=2e1-3e2,则NP=e1+6e2.若M,N,P三点共线,则=.答案:-4解析:因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得MN=kNP,所以2e1-3e2=k(e1+6e2).又e1,e2为平面内两个不共线的向量,所以2=k,-3=6k,解得=-4.
