1、5.3 直线与平面的夹角第二章 5 夹角的计算 知识梳理 自主学习 知识点一 直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的的夹角叫作该直线与此平面的夹角.(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为.(3)如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是.(4)直线与平面夹角的范围：.斜线与平面夹角的范围：0，220投影0，2知识点二 直线与平面夹角的向量求法 设平面的斜线l的方向向量为a，平面的法向量为n.(1)当a，n与，l的关系如图所示时，则l与所成角与角a，n互余.即sin cosa，n.(2)当a，n与，l的关系如图所示时，则a，n即s
2、in cosa，n2-l，的夹角为,l|)2cos(uaua laann 题型探究 重点突破 题型一 求直线与平面的夹角的基本方法 例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角.解 方法一 连接BC1，B1C交于点O，连接A1O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1，BC1平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角.设正方体的边长为 1，那么在 RtA1OB 中，A1B 2，BO 22，所以 sinBA1OBOA1B12，BA1O30.A1B与平面
3、A1B1CD的夹角是30.方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A1B(0,1,1)，A1D(1,0,1)，A1B1(0,1,0).设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z).由nA1D，nA1B1nA1D 0，nA1B1 0 xz0，y0.令x1，则有y0，z1，可取n(1,0,1).设 A1B 与平面 A1B1CD 的夹角是，所以 sin|cosA1B，n|A1B n|A1B|n|12，则A1B与平面A1B1CD的夹角是30.反思与感悟 求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一：找直线在平面内的投影，充分
4、利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为，则 sin|nAB|n|AB|.跟踪训练1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点.求EB与平面ABCD夹角的余弦值.解析答案 解 如图建立空间直角坐标系，设PDDC1，取CD的中点M，则EMPD，又PD平面ABCD，EM平面ABCD，BE在平面ABCD上的投影为B
5、M，MBE为BE与平面ABCD的夹角，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，M0，12，0，E0，12，12，BE1，12，12，BM 1，12，0，cosBM，BE BEBM|BE|BM|11432 52 306，BE 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 306.跟踪训练2 在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中点.(1)求证：CMEM；证明 如图，以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设EAa，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E
6、(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).因为EM(a，a，a)，CM(a,a,0)，所以EM CM 0，故 EMCM.(2)求CM与平面CDE的夹角.解 设向量n(1，y0，z0)与平面CDE垂直，则 nCE，nCD，即 nCE0，nCD 0.因为CE(2a,0，a)，CD(0,2a,2a)，所以y02，z02，即n(1,2，2)，所以 cosn，CM CM n|CM|n|22，直线 CM 与平面 CDE 的夹角 是 n 与CM夹角的余角，所以 45，因此直线CM与平面CDE的夹角是45.课堂小结 利用空间向量求角的基本思路:把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.返回
