1、第九章平面解析几何第6课时椭 圆(1) 考情分析考点新知建立并掌握椭圆的标准方程，运用方程(组)或不等式求椭圆的基本量 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程. 掌握椭圆的一些基本量.1. 设是椭圆上的点若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|_答案：10解析：|PF1|PF2|2a10.2. 椭圆1的离心率为_答案：解析：a4，b2，c2，e.3. (选修11P26习题3改编)已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A与椭圆的焦点F1重合，且椭圆的另外一个焦点F2在BC边上，则ABC的周长是_答案：4解析：ABBCCABF1(BF2CF2)CF1(BF1BF2)(CF2CF1)4a4
2、.4. (选修11P31习题4改编)方程1表示椭圆，则k的取值范围是_. 答案：k3解析：方程1表示椭圆，则k3.5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是_答案：1解析： 2c8， c4， e，故a8.又 b2a2c248， 椭圆的方程为1.1. 椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距2. 椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：x轴，y轴_对称中心：(0，0)顶点A1(a
3、，0) A2a，0 B10，b B20，bA10，a A20，a B1b，0 B2b，0轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率e(0，1)a、b、c的关系c2a2b2题型1求椭圆的方程例1设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程解：设该椭圆的方程为1或1(ab0)，依题意，2a2(2b)a2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以1或1.解得b25或，这样a220或65，故该椭圆的方程为1或1.根据下列条件求椭圆的标准方程：(1) 两准线间的距离为，焦距为2 ；(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P
4、到两焦点的距离分别为和，过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点解：(1) 设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则故该椭圆的方程为1或1.(2) 由题设，2a|PF1|PF2|2 a.又b2，故该椭圆的方程为1或1.题型2求椭圆离心率的值例2在平面直角坐标系中，有椭圆1(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e_答案：解析：如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OPOA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OPOA，所以a，解得
5、，即e.在ABC中，ACB60，sinAsinB85，则以A、B为焦点且过点C的椭圆的离心率为_答案：解析：由题意e. sinAsinB85， 由正弦定理得ab85. 设a8k，b5k， 由余弦定理可得c2a2b22abcosC， c7k， e.题型3求椭圆离心率的取值范围例3椭圆1(ab0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是_答案：解析：(解法1)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|FA|，而|FA|c，|PF|ac，所以cac，即a2ac2c2.又e，所以2e2e1，所以2e2e10
6、，即(2e1)(e1)0.又0e1，所以e1.(解法2)设点P(x，y)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|FA|，由椭圆第二定义，e，所以|PF|eexaex，而|FA|c，所以aexc，解得x(ac)由于axa，所以a(ac)a.又e，所以2e2e10，即(2e1)(e1)0.又0e1，所以e1.设F1、F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是_答案：解析：设P，线段F1P的中点Q的坐标为，则直线F1P的斜率kF1P，当直线QF2的斜率存在时，设直线QF2的斜率为kQF2(b22c
7、20)，由kF1PkQF21得y20，但注意到b22c20，故2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.当直线QF2的斜率不存在时，y0，F2为线段PF1的中点由c2c得e，综上得e1.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)若椭圆1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和学生错解：解： 2c2，即c1，m41，a，则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2.审题引导： (1) 椭圆的定义；(2) 椭圆中参数a，b，c满足a2b2c2；(3) 焦点在x轴与焦点在y轴上的椭圆的标准方程的区别规范解答： 解： 2c2，即c1，(4分) 当焦点在x轴上时，m41， a，(6分)则椭圆上的一
8、点到两个焦点的距离之和为2；(8分)同理，当焦点在y轴上时，4m1， b，a2，(10分)则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，(12分) 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2或4.(14分)错因分析： 本题考查了椭圆的定义及标准方程，易错原因是忽略椭圆焦点位置对参数的影响当椭圆焦点位置不确定时，一般要分类讨论1. 椭圆1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当F1PF2为钝角时，求点P的横坐标x0的取值范围解：由题意F1(，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，则1(x0，y0)，2(x0，y0)， 12x5y0.又1，由得x， x0b0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF
9、x轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是_答案：解析：如图，由BFx轴，知xBc，yB，设P(0，t)，2，(a，t)2，a2c，e.3. 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案：6 解析：由椭圆方程得F(1，0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P为椭圆上一点，1.xx03x03(x02)22.2x02，的最大值在x02时取得，且最大值等于6.4. 如图，已知椭圆1(ab0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1) 若F1AB90，求椭圆的离心率；(2) 若2，
10、求椭圆的方程解：(1) 若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2) 由题知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中，c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆方程为1.1. 椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于F1F2时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于F1F2时，其轨迹不存在2. 已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)3. 求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e或e去整体求解备课札记
