1、4 平面向量的坐标 必备知识自主学习 1.平面向量的坐标表示(1)向量a的坐标:a=_.(2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立_关系.导思1.点的坐标与向量坐标有何不同?2.向量平行的坐标表示是什么?(x,y)一一对应【思考】点的坐标与向量坐标有何区别与联系?提示:区 别表示形 式不同向量a=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号意义 不同点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y)联系当平面向
2、量的始点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同2.平面向量的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),R.数学公式文字语言表述向量加、减法ab=_向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差向量 数乘 a=_实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积向量 坐标 =_一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的相应坐标(x1x2,y1y2)(x1,y1)(x2-x1,y2-y1)AB【思考】向量a-b的坐标与b-a的坐标有什么关系?提示:互为相反数.3.向量平行的坐标表示 设a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2).(
3、1)当ab时,有 _.(2)当ab且b不平行于坐标轴,即x1,x2,y1,y2均不为0时,有 .即若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个 向量相对应的坐标成比例,则它们平行.x1y2-x2y1=0 1212xxyy【思考】(1)ab时,a,b的坐标成比例吗?提示:坐标不为0时成比例.(2)如果两个非零向量共线,能否通过其坐标判断是同向还是反向?提示:能.将b写成 a的形式,当 0时,b与a同向;当 0时,b与a反向.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(2)在平面直角坐标系中,两相等向量的终点坐标
4、一样.()(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab等价于x1y2=x2y1.()(4)向量a=(1,2)与向量b=(-3,-6)是共线向量且反向.()2.若向量a=(2,-3),b=(-1,2),则2a-b=()A.(3,-4)B.(5,-8)C.(-5,8)D.(-3,4)【解析】选B.因为a=(2,-3),b=(-1,2),所以2a-b=(5,-8).3.(教材二次开发:习题改编)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量 同方向的单位向量为()【解析】选A.=(3,-4),则与 同方向的单位向量为 AB3443A.()B.()55553 44 3C.()D.()5 55
5、5，ABABAB13434().555AB（，），关键能力合作学习 类型一 平面向量的坐标表示(直观想象)【题组训练】1.(2020南昌高一检测)若 =(-1,3),=(1,7),则 =()A.(0,5)B.(1,2)C.(0,10)D.(2,4)MAMB1 AB22.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =_;=_;=_.OAOBOCOD3.如图所示,已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30角.求点B,点D,与 的坐标.ABAD【解题策略】向量或点的坐标的确定(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,求出该点相对于坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点
6、的坐标.(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.类型二 平面向量坐标的线性运算(数学运算)【典例】1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则用a,b表示c为()A.c=a-b B.c=-a+bC.c=a-b D.c=-a+b12321232321232122.已知向量a=(1,1),b=(0,2),且 a+b=(2,8),则-=()A.5 B.-5 C.1 D.-1【思路导引】1.用a,b表示向量c,利用向量相等,即可求出a,b的系数,进而解决本题.2.根据平面向量的坐标运算,求出结果.【解题策略】平面向量坐标
7、运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【跟踪训练】(2020北京师大附中高一检测)已知平面向量a=(-1,2),b=(1,0),则向量 3a+b=()A.(-2,6)B.(-2,-6)C.(2,6)D.(2,-6)【解析】选A.因为a=(-1,2),所以3a=(-3,6),又因为b=(1,0),所以3a+b=(-3+1,6+0)=(-2,6).类型三 平面向量共线的坐标表示(逻辑推理)角度1 由向量共线求参数 【典例】已
8、知向量a=(1,-2),b=(3,4).(1)求向量3a+4b的坐标.(2)当实数k为何值时,ka-b与3a+4b共线?【思路导引】利用向量坐标运算的法则及共线向量定理求解.【变式探究】已知a=(-1,2),b=(1,x),若2a-b与a+2b平行,则实数x=_.【解析】由已知得2a-b=(-3,4-x),a+2b=(1,2+2x).由2a-b与a+2b平行,知-3(2+2x)-(4-x)=0,解得x=-2.答案:-2角度2 由相等向量求坐标 【典例】1.已知A(2,4),B(-4,6),若 则 的坐标为_.2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 .(1)t为何值时,点P在x轴上
9、?点P在y轴上?(2)四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t值;若不能,说明理由.34ACAB,BDBA23CDOPOAtAB【思路导引】1.由 可确定点C的坐标,由 可确定点D的坐 标.2.P在x轴上,纵坐标为0,在y轴上横坐标为0.3ACAB,24BDBA3角度3 三点共线问题 【典例】已知向量 =(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?【思路导引】要证明A,B,C三点共线,则 与 共线,利用共线的条件即可 求解.OAOBOCABAC【解题策略】1.向量共线问题(1)根据向量坐标运算法则和共线向量定理求解.(2)三点共线问题的实质是向量共线问题,
10、两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,利用向量平行证明三点共线分两步完成:证明向量平行;证明两个向量有公共点.2.坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件:相等向量的对应坐标相等.(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某些参数的值.【题组训练】1.设向量a=(1,1),b=(2,m),若a(a+2b),则实数m的值为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为a=(1,1),b=(2,m),所以a+2b=(5,2m+1),因为a(a+2b),所以1(2m+1)-5=0,解得m=2.2.已知A(-2,5),B(10,-3)
11、,点P在直线AB上,且 ,则点P的坐标是 _.【解析】设P(x,y).因为A(-2,5),B(10,-3),点P在直线AB上,所以 =(-2-x,5-y),=(10-x,-3-y),因为 ,则有 解得 所以P(1,3).答案:(1,3)1PAPB3 PAPB1PAPB3 12x10 x,315y3y,3 x1,y3,3.已知向量a=(1,3),b=(-2,-1),c=(2,4),若向量a+kb与向量c共线,则实数 k的值为_.【解析】因为向量a=(1,3),b=(-2,-1),所以a+kb=(1-2k,3-k);又因为c=(2,4),向量a+kb与向量c共线,所以4(1-2k)-2(3-k)=
12、0,解得k=-.答案:-1313课堂检测素养达标 1.A(3,1),B(2,-1),则 的坐标是()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(1,2)D.(-1,-2)【解析】选C.=(3,1)-(2,-1)=(1,2).BABA2.已知向量a=(4,-2),向量b=(x,5),且ab,那么x等于()A.10 B.5 C.-D.-10【解析】选D.因为向量a=(4,-2),向量b=(x,5),且ab,所以-2x=20,解得x=-10.523.(教材二次开发:练习改编)若点A(a,0),B(0,2),C(1,3)共线,则a的值为()A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】选A.由题意,可知 =(1,1),又 =(-a,2),点A(a,0),B(0,2),C(1,3)共线,则 ,即-a=2,所以a=-2.BCABBCAB4.已知点A(2,3),B(-1,5),且 ,则点C的坐标为_.【解析】=,设O为坐标原点,即C .答案:1ACAB31ACAB32(1,)311OCOAAC(1,),311(1,)311(1,)35.设m=(a,b),n=(c,d).规定两向量之间的一个运算为m n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p q=(-4,-3),则q=_.【解析】设q=(x,y),则由题意可知 解得 所以q=(-2,1).答案:(-2,1)x2y4,y2x3 x2,y1.
