1、2.2.2 椭圆的几何性质2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 学习目标1.掌握椭圆的简单几何性质,并会简单应用.2.会分析离心率对椭圆扁平程度的影响,并会求与离心率有关的问题.能解决简单的直线和椭圆的位置关系问题.3.了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法.重点难点重点:1.利用椭圆的简单几何性质解题.2.求椭圆的离心率.3.简单的直线和椭圆的位置关系.难点:求椭圆的离心率,及直线与椭圆的位置关系.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXU
2、E课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)范围-axa,-byb-aya,-bxb顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长=2a,短轴长=2b焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距F1F2=2c对称性对称轴 x 轴,y 轴,对称中心(0,0)离心率e=ca(0eb0)的长轴长为 4,若以原
3、点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y=x+2 相切,则椭圆的焦点坐标为 .思路分析:利用圆心到直线 y=x+2 的距离等于半径求出 b,再利用平方关系求出 c,确定焦点位置,求焦点坐标.答案:(-2,0)和(2,0)解析:圆与直线 y=x+2 相切,而且圆心为(0,0),r=b,b=2 2=2.又长轴长为 4,a=2.c2=a2-b2=2,解得 c=2.由已知可得焦点在 x 轴上,焦点坐标为(-2,0)和(2,0).2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用已知短轴长为
4、5,离心率 e=23的椭圆的两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两点,则ABF2 的周长为 .答案:6解析:由题知 2=5,=23,即 =52,2-22=49,解得 =32,=52.由椭圆的定义知ABF2 的周长为 4a=432=6.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 已知椭圆的方程讨论其性质时,若方程不是标准形式,应先化方程为标准形式,再确定焦点的位置,然后才能求其相应的性质.若焦点位置不确定,应分类讨论.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN
5、 YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 二、利用椭圆的几何性质求标准方程活动与探究求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点(3,0),离心率 e=63;(2)焦距为 6,在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直.思路分析:先确定椭圆焦点的位置,不能确定的要分情况讨论,然后设出标准方程,再用待定系数法求出 a 和 b.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:(1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,因为 a=3,e=63,所以
6、 c=6.从而 b2=a2-c2=3.所以椭圆的标准方程为29+23=1;当椭圆的焦点在 y 轴上时,因为 b=3,e=63,所以 2-2=63.所以 a2=27.所以椭圆的标准方程为227+29=1.综上可知,所求椭圆的标准方程为29+23=1 或227+29=1.(2)设椭圆的标准方程为22+22=1(ab0),由已知,得 c=3,b=3,所以 a2=b2+c2=18.故所求椭圆的标准方程为218+29=1.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用(1)若中心在原点,焦点
7、在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程是 .答案:281+272=1解析:长轴长为 18,2a=18,即 a=9.又两个焦点恰好将长轴三等分,2c=132a=6.c=3.b2=a2-c2=72.椭圆的焦点在 x 轴上,椭圆的标准方程为281+272=1.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(2)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,焦距为 2 2,P 是椭圆上一动点,PF1F2 的面积最大值为
8、 2,则椭圆的标准方程为 .答案:24+22=1解析:设椭圆的标准方程为22+22=1(ab0),因为焦距为 2 2,所以c=2.当点 P 在短轴的顶点时,P 到 F1F2 的距离最大,此时PF1F2 的面积最大,所以P1 2=122cb=2.所以 b=2.因为 a2=b2+c2=4,所以椭圆的标准方程为24+22=1.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 已知椭圆的某些几何性质求其标准方程的基本方法是待定系数法,即通过已知条件求得 a2,b2 后得标准方程.其步骤一般为:(1)确定
9、焦点的位置;(2)构造含参数的关系式;(3)解出参数的值;(4)写出标准方程.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 三、与椭圆离心率有关的问题活动与探究(1)已知椭圆过点(0,3),焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),且以坐标轴为对称轴,则这个椭圆的离心率等于 .思路分析:根据条件求出 a,c 的值,然后再求离心率.答案:45解析:由已知易求得 b=3,c=4,则 a2=b2+c2=25,即 a=5.故离心率为 e=45.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN
10、YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(2)设 F1,F2 是椭圆 E:22+22=1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 x=32 上一点,F2PF1 是底角为 30的等腰三角形,则 E 的离心率为 .答案:34解析:设直线 x=32 与 x 轴交于点 M,则PF2M=60.在 RtPF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=32-c,故 cos60=2M2=32a-c2=12,解得=34.故离心率 e=34.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问
11、题导学 当堂检测 迁移与应用(1)椭圆长轴端点为 A1,A2,B 为短轴一端点,若A1BA2=120,则椭圆的离心率为 .答案:63解析:由椭圆性质设中心为 O,则A1BO 为直角三角形.由A1BA2=120,得BA1O=30,因此 tanBA1O=tan30=.故=33,即 b2=13a2.又a2=b2+c2,a2=13a2+c2.c2=23a2.e=63.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(2)已知椭圆22+22=1(ab0)的左顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F.设线段
12、AB 的中点为 M,若 2 +20,则该椭圆离心率的取值范围为 .答案:(0,3-1解析:由已知得 A(-a,0),B(0,b),F(c,0),则 M 为-2,2.2 +20,c2+2ac-2a20.两边同除 a2 得 e2+2e-20,-3-1e 3-1.又0e1,所求离心率的取值范围为(0,3-1.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 求椭圆的离心率的常见思路:一是先求 a,c,再计算 e;二是依据条件的信息,结合有关知识和 a,b,c,e 的关系,构造关于 e 的方程,再求解,
13、求解时应注意离心率的范围是 0eb0)过点(0,4),离心率为35.(1)求 C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标.思路分析:(1)由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组,解方程组即可,也可以分步求解;(2)直线方程和椭圆方程组成方程组,可以求解,也可以利用根与系数关系,然后利用中点坐标公式求解.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:(1)将点(0,4)代入 C 的方程得162=1,故 b=4.又e=35,得2-22=925,即 1-1
14、62=925,a=5.C 的方程为225+216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y=45(x-3),设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程 y=45(x-3)代入 C 的方程,得225+(-3)225=1,即 x2-3x-8=0,解得 x1=3-412,x2=3+412,故 AB 的中点坐标=1+22=32,=1+22=25(x1+x2-6)=-65,即中点坐标为 32,-65.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用已知椭
15、圆22+22=1(ab0)的离心率 e=32,经过点(0,1).(1)求该椭圆的方程;(2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0).若|AB|=4 25,求直线 l 的方程.解:(1)由 e=32,得 3a2=4c2.再由 c2=a2-b2,解得 a=2b.由题意可知 b=1,解得 a=2.所以椭圆的方程为24+y2=1.(2)由(1)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).于是 A,B 两点的坐标满足方程组 =(+2),24+2=1,消去 y 并整理得2.2.2 椭
16、圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由-2x1=162-41+42,得 x1=2-821+42.从而 y1=41+42.所以|AB|=-2-2-821+42 2+41+42 2=4 1+21+42.由|AB|=4 25,得4 1+21+42=4 25.整理得 32k4-9k2-23=0,即(k2-1)(32k2+23)=0,解得 k=1.故直线 l 的方程为 x-y+2=0 或 x+y+2=0.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQI
17、AN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 1.在解决直线和椭圆的有关问题时,一般是联立方程,消去 x(或 y)转化为关于 y(或 x)的一元二次方程,利用根与系数的关系构造等式或函数关系式.这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.另外,也要注意直接求出交点,再解决问题的方法.2.弦长公式:斜率为 k(k0)的直线与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2).则 AB=1+2|x1-x2|=1+12|y1-y2|.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZU
18、O TANJIU问题导学 当堂检测 12 3 4 51.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是 .答案:12解析:由已知顶点为短轴顶点,则 a=2c,故 e=12.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 1 23 4 52.若椭圆的焦点在 y 轴上,长轴长为 4,离心率 e=32,则其标准方程为 .答案:24+x2=1解析:依题意,得 a=2,e=32,则 c=3.从而 b2=a2-c2=1.因此椭圆的标准方程为24+x2=1.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学
19、 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 34 5问题导学 当堂检测 3.椭圆22+22=1(ab0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若 AF1,F1F2,F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为 .答案:55解析:因为 A,B 为左、右顶点,F1,F2 为左、右焦点,所以 AF1=a-c,F1F2=2c,BF1=a+c.又因为 AF1,F1F2,BF1 成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2.所以离心率 e=55.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE
20、课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 3 45问题导学 当堂检测 4.椭圆24+2=1(m0,且 m4)的离心率为 32,则 m 的值是 .答案:1 或 16解析:当焦点在 x 轴上时,a2=4,b2=m,c2=4-m.又离心率为 32,22=4-4=34.m=1.当焦点在 y 轴上时,a2=m,b2=4,c2=m-4.又离心率为 32,22=-4=34.m=16.m 的值为 1 或 16.2.2.2 椭圆的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 3 4 5问题导学 当堂检测 5.过椭圆25+24=1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为 .答案:53解析:由已知可得直线方程为 y=2x-2,联立方程得方程组 25+24=1,=2-2,解得 A(0,-2),B 53,43.故 SAOB=12|OF|yA-yB|=53.
