1、2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线 如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难道正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟 生活中的双曲线法拉利主题公园 巴西利亚大教堂 麦克唐奈天文馆 1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准 方程.（重点）2.会用待定系数法确定双曲线的方程.（难点）探究点1 双曲线的定义 问题1：椭圆的定义？1F2F0,c0,cXYOyxM,平面内与两个定点F1，F2的距 离的和等于
2、常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹”是什么？如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a，由可得：|MF1|-|MF2|=2a（非零常数）.上面两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支.看图分析动点M满足的条件：=2a.即|MF1|-|MF2|=-2a.图 图 两个定点F1，F2双曲线的焦点;|F1F2|=2c双曲线的焦距.（1）2a0.双曲线定义|MF1|-|MF2|=2a(02a2c？不能
3、.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了；若为2a=2c,曲线应为两条射线；若为2a2c,这样的曲线不存在.探究点2 双曲线的标准方程 1.建系.如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线.F2F1MxOy 设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c0),则F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.2.设点.3.列式 由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a,22222()().xcyxcya 即4.化简 代数式化简得：22222222()()yca xaa ca，222(
4、),aca两 边 同 除 以得222221.xyaca由双曲线的定义知，2c2a0,即ca,故c2-a20,令c2-a2=b2,其中b0,代入上式，得：2222100(,).xyabab 上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.想一想：焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？2222100,).yxabab（定 义方 程焦 点a,b,c的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2 ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a,02a
5、|F1F2|椭圆双曲线F（0，c）F（0，c）222210()xyabab222210()yxabab2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab【提升总结】例 1 已知双曲线两个焦点1(5,0)F,2(5,0)F,双曲线上一点 P 到 ，距离差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程.1F2F解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 2222100(,).xyabab因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以 222531 6.b因此，双曲线的标准方程为221916.xy例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340
6、 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值.这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解:如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.xyoPBA设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 3402680PAPB，即 2a=680，a=340.AB800，又所以 2c=800,c=400,44 400bca，2223 4 026 8 000,.P AP Bx因 为所 以1(0).115 60
7、044 400 xyx22因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【举一反三】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?解:爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.1已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，
8、动点P满足|PF1|PF2|2a，则当a3和5时，P点的轨迹 为()A双曲线和一直线 B双曲线和一条射线 C双曲线的一支和一条射线 D双曲线的一支和一条直线 C2.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线，则k .(-1,1)解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)，因 P1，P2在双曲线上，所以有 4m454 n1169 7m16n1解得m 116n19所以所求双曲线方程为x216y291，即y29x2161.，1.双曲线定义及标准方程；4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.2.双曲线焦点位置的确定方法；3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）；如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功.
