1、考点规范练15导数与函数的单调性、极值、最值考点规范练A册第10页基础巩固1.(2019河北张家口期末)已知a为实数,f(x)=ax3+3x+2,若f(-1)=-3,则函数f(x)的单调递增区间为()A.(-2,2)B.-22,22C.(0,2)D.-2,22答案:B解析:f(x)=ax3+3x+2,f(x)=3ax2+3.又f(-1)=-3,f(-1)=3a+3=-3,解得a=-2.f(x)=-6x2+3.由f(x)0,得-22x1时,f(x)0,当0x0,因此f(x)有极大值-1.3.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f(x),满足f(x)2ex的解集为()A.(-,0)B.(-,2
2、)C.(0,+)D.(2,+)答案:C解析:设g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex.f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.f(0)=2,g(0)=f(0)=2,不等式f(x)2ex等价于g(x)g(0).函数g(x)在定义域内单调递增,x0,不等式的解集为(0,+),故选C.4.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案:D解析:设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)内,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.5
3、.(2019广西五校联考)已知直线x=a(a0)分别与曲线y=2x+1,y=x+ln x交于A,B两点,则|AB|的最小值为.答案:2解析:设A(a,yA),B(a,yB),则yA=2a+1,yB=a+ln a.所以|AB|=|yA-yB|=|a+1-ln a|.令f(a)=a+1-ln a,则f(a)=1-1a,所以函数f(a)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.所以当a=1时,f(a)取得最小值2,故|AB|min=2.6.(2019河北张家口期末)已知函数f(x)=sin x-aln x在区间0,4内单调递增,则实数a的取值范围是.答案:(-,0解析:因为函数f(x)
4、=sin x-aln x在区间0,4内单调递增,所以f(x)=cos x-ax0在区间0,4内恒成立,即axcos x在区间0,4内恒成立.令g(x)=xcos x,则g(x)=cos x-xsin x.因为g(x)=-2sin x-xcos x0,所以g(x)0在区间0,4内恒成立.所以函数g(x)在区间0,4内单调递增.所以g(x)g(0)=0.所以a0.7.(2019河北唐山联考)若函数f(x)=x2-12ln x+1在其定义域内的一个子区间(a-1,a+1)内存在极值,则实数a的取值范围是.答案:1,32解析:由题意,可知函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2x-12x=4x2
5、-12x.令f(x)=0,得x=12或x=-12(舍去).由已知,得a-10,a-112,解得1a0)的导函数y=f(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间-5,+)内的最大值.解:(1)因为f(x)=ax2+bx+cex,所以f(x)=-ax2+(2a-b)x+b-cex,设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为a0,所以由题意知:当-3x0,即f(x)0;当x0时,g(x)0,即f(x)5=f(0),所以函数f(x)在区间-5,+)内的最大值是5e5.9.已知函数f(x)=xex-ax22+x(a
6、R).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(1)当a=1时,f(x)=xex-x22+x,f(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1),令f(x)=0,得x=-1或x=0.x(-,-1)-1(-1,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=12-1e;当x=0时,f(x)有极小值f(0)=0.(2)f(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),当a0时,ex-a0,由f(x)0得x-1,即在区间(-1,+)内,函数f(x)单调递增;由f(x)0得x0时,令f(x)=0,得x=-1或x
7、=ln a.当ln a=-1,即a=e-1时,无论x-1或x0,又f(-1)=0,即在R上,f(x)0,从而函数f(x)在R上单调递增.当ln a-1,即0a0x-1或xln a时,函数f(x)单调递增;由f(x)=(x+1)(ex-a)0ln ax-1,即ae-1时,由f(x)=(x+1)(ex-a)0xln a或x-1时,函数f(x)单调递增;由f(x)=(x+1)(ex-a)0-1xln a时,函数f(x)单调递减.10.设函数f(x)=3x2+axex(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在区间
8、3,+)内为减函数,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f(1)=3e,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.当xx1时,g(x)0,
9、即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.2f-3f-4B.2f32f3D.f(0)2f4答案:A解析:构造函数g(x)=f(x)cosx,则g(x)=1cos2xf(x)cos x+f(x)sin x.对任意的x-2,2满足f(x)cos x+f(x)sin x0,g(x)0,即函数g(x)在区间-2,2内单调递增.g-3g-4,即f-3cos-3f-4cos-4.2f-30时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是.答案:(-,-1)(0,1)解
10、析:当x0时,令F(x)=f(x)x,则F(x)=xf(x)-f(x)x20时,F(x)=f(x)x为减函数.f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)内,F(x)0;在区间(1,+)内,F(x)0,即当0x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).13.已知函数f(x)=aln x+x2-ax(aR).(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)=f(x)-2x在区间1,e上的最小值h(a).解:(1)f(x)=ax+2x-a(x0).x=3是函数f(x)的一个极值点,f(3
11、)=a3+6-a=0,解得a=9,f(x)=(2x-3)(x-3)x,当0x3时,f(x)0;当32x3时,f(x)0,f(x)的单调递增区间为0,32,(3,+);f(x)的单调递减区间为32,3.(2)g(x)=aln x+x2-ax-2x,x1,e,g(x)=(2x-a)(x-1)x.当a21,即a2时,g(x)在区间1,e上递增,g(x)min=g(1)=-a-1;当1a2e,即2a2e时,g(x)在区间1,a2内递减,在区间a2,e上递增,故g(x)min=ga2=alna2-a24-a;当a2e,即a2e时,g(x)在区间1,e上递减,故g(x)min=g(e)=a(1-e)+e(
12、e-2).综上,h(a)=-a-1,a2,alna2-a24-a,2a-1时,试判断函数f(x)的单调性;(2)若a0时,g(x)0,f(x)在区间(0,+)内单调递增,当x0时,g(x)-1,所以1+a0,即f(x)0,所以函数f(x)在R上单调递增.(2)证明由(1)知f(x)在区间1,+)内单调递增,因为a1-e,所以f(1)=e-1+a1,则h(x)=x(1-ex)0恒成立,所以函数h(x)在区间(1,+)内单调递减,所以h(x)e(1-1)+1212=12,所以et(1-t)+12t212,即当x1,+)时,f(x)min0,f(x)=2x+1x2-3x=2x3-3x+1x2=2x2
13、(x-1)x-3-12x+3+12,当3-12x1时,f(x)0,当0x1时,f(x)0.f(x)的减区间是3-12,1,增区间是0,3-12和(1,+).(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,则需f(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2有两个不相等的正零点.令g(x)=2x3+ax+1(x0),故需g(x)有两个不相等的正零点,则g(x)=6x2+a.当a0时,g(x)0,g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有两个极值点.当a0时,g(x)=6x2+a=6x2-a6=6x+-a6x-a6,当0x-a6时,g(x)-a6时,g(x)0.故g(x)在区间0,-a6内单调递减,在区间-a6,+内单调递增.需g(x)min=g-a6=2a3-a6+10,解得a-3342.a3-272-6,a3-272-154,-1a-a60,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+10,故g(x)在区间0,-a6内和区间-a6,+内各有一个零点,g(x)有两个不相等的正零点,f(x)有两个极值点.综上,a的取值范围是-,-3342.
