1、6.5 不等式的解法（二）知识梳理1.|x|axa或xa（a0）；|x|aaxa（a0）.2.形如|xa|+|xb|c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质：|a|b|ab|a|+|b|.思考讨论1.在|x|axa或xa（a0）、|x|aaxa（a0）中的a0改为aR还成立吗?2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?点击双基1.（2003年成都第三次诊断题）设a、b是满足ab0的实数，那么A.|a+b|ab|B.|a+b|ab|C.|ab|a|b|D.|ab|a|+|b|解析：用赋值法.令a=1，b=1，代入检验.答案：
2、B2.（2004年春季安徽）不等式|2x21|1的解集为A.x|1x1B.x|2x2C.x|0x2D.x|2x0解析：由|2x21|1得12x211.0x21，即1x1.答案：A3.不等式|x+log3x|x|+|log3x|的解集为A.（0，1）B.（1，+）C.（0，+）D.（，+）解析：x0，x与log3x异号，log3x0.0x1.答案：A4.已知不等式a对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是_.解析：要使a对x取一切负数恒成立，令t=|x|0，则a.而=2，a2.答案：a25.已知不等式|2xt|+t10的解集为（，），则t=_.解析：|2xt|1t，t12xt1t，2t12x1，t
3、x.t=0.答案：0典例剖析【例1】 解不等式|2x+1|+|x2|4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x2=0，得两个零点x1=，x2=2.解：当x时，原不等式可化为2x1+2x4，x1.当x2时，原不等式可化为2x+1+2x4，x1.又x2，1x2.当x2时，原不等式可化为2x+1+x24，x.又x2，x2.综上，得原不等式的解集为x|x1或1x.深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x+1|+|x2|+|x1|4，你又如何去解？分析：令2x+1=0，x2=0，x1=0，得x1=，x2=1，x3=2.解：当x时
4、，原不等式化为2x1+2x+1x4，x.当x1时，原不等式可化为2x+1+2x+1x4，44（矛盾）.当1x2时，原不等式可化为2x+1+2x+x14，x1.又1x2，1x2.当x2时，原不等式可化为2x+1+x2+x14，x.又x2，x2.综上所述，原不等式的解集为x|x或x1.【例2】 解不等式x29x3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|aaxa去绝对值.解法一：原不等式（1）或（2）不等式（1）x3或3x4；不等式（2）2x3.原不等式的解集是x2x4或x3.解法二：原不等式等价于或x2x=3或2x4.原不等式的解集是x2x4或x3.【例3】 （理）已知函数f（x）=
5、x|xa|（aR）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（x）2a2.解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|=x|x|=f（x），f（x）是奇函数.当a0时，f（a）=0且f（a）=2a|a|.故f（a）f（a）且f（a）f（a）.f（x）是非奇非偶函数.（2）由题设知x|xa|2a2，原不等式等价于或由得x.由得当a=0时，x0.当a0时，x2a.当a0时，即xa.综上a0时，f（x）2a2的解集为x|x2a；a0时，f（x）2a2的解集为x|xa.（文）设函数f（x）=ax+2，不等式| f（x）|6的解集为（1，2），试求不等式1的解集.解：|ax+2|6，（ax+2
6、）236，即a2x2+4ax320.由题设可得解得a=4.f（x）=4x+2.由1，即1可得0.解得x或x.原不等式的解集为x|x或x.闯关训练夯实基础1.（2003年北京海淀区一模题）已知集合A=x|a1xa+2，B=x|3x5，则能使AB成立的实数a的取值范围是A.a|3a4B.a|3a4C.a|3a4D.解析：由题意知得3a4.答案：B2.不等式|x2+2x|3的解集为_.解析：3x2+2x3，即3x1.答案：3x13.（2004年全国，13）不等式|x+2|x|的解集是_.解法一：|x+2|x|（x+2）2x24x+40x1.解法二： 在同一直角坐标系下作出f（x）=|x+2|与g（x
7、）=|x|的图象，根据图象可得x1.解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2|x|表示数轴上x到2的距离不小于到0的距离，x1.答案：x|x1评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.4.（2004年春季北京）当0a1时，解关于x的不等式aax2.解：由0a1，原不等式可化为x2.这个不等式的解集是下面不等式组及的解集的并集.或解不等式组得解集为x|x2，解不等式组得解集为x|2x5，所以原不等式的解集为x|x5.5.关于x的方程3x26（m1）x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2为方程两实根，=36（m1）212（m2
8、+1）0.m或m.又x1x2=0，x1、x2同号.|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m1|.于是有2|m1|=2，m=0或2.m=0.培养能力6.解不等式.解：（1）当x220且x0，即当x且x0时，原不等式显然成立（2）当x220时，原不等式与不等式组等价x22x，即x2x20.x2.不等式组的解为x2，即x2或x2原不等式的解集为（，2（，0）（0，）2，）7.（2003年湖北黄冈模拟题）已知函数f（x）=的定义域恰为不等式log2（x+3）+logx3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围.解：由log2（x+3）+logx3得x，即f（x）的定义域为，+）.f（
9、x）在定义域，+）内单调递减，当x2x1时，f（x1）f（x2）0恒成立，即有（ax1+2）（ax2+2）0a（x1x2）（）0（x1x2）（a+）0恒成立.x1x2，（x1x2）（a+）0a+0.x1x2，要使a恒成立，则a的取值范围是a.8.有点难度哟！已知f（x）=x2x+c定义在区间0，1上，x1、x20，1，且x1x2，求证：（1）f（0）=f（1）；（2）| f（x2）f（x1）|x1x2|；（3）| f（x1）f（x2）|；（4）| f（x1）f（x2）|.证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，f（0）=f（1）.（2）| f（x2）f（x1）|=|x2x1|x2+x11|.0
10、x11，0x21，0x1+x22（x1x2）.1x1+x211.| f（x2）f（x1）|x2x1|.（3）不妨设x2x1，由（2）知| f（x2）f（x1）|x2x1.而由f（0）=f（1），从而| f（x2）f（x1）|=| f（x2）f（1）+f（0）f（x1）| f（x2）f（1）|+| f（0）f（x1）|1x2|+|x1|1x2+x1.+得2| f（x2）f（x1）|1，即| f（x2）f（x1）|.（4）|f（x2）f（x1）|fmaxfmin=f（0）f（）=.探究创新9.（1）已知|a|1，|b|1，求证：|1；（2）求实数的取值范围，使不等式|1对满足|a|1，|b|1的一
11、切实数a、b恒成立；（3）已知|a|1，若|1，求b的取值范围.（1）证明：|1ab|2|ab|2=1+a2b2a2b2=（a21）（b21）.|a|1，|b|1，a210，b210.|1ab|2|ab|20.|1ab|ab|，=1.（2）解：|1|1ab|2|ab|2=（a221）（b21）0.b21，a2210对于任意满足|a|1的a恒成立.当a=0时，a2210成立；当a0时，要使2对于任意满足|a|1的a恒成立，而1，|1.故11.（3）|1（）21（a+b）2（1+ab）2a2+b21a2b20（a21）（b21）0.|a|1，a21.1b20，即1b1.思悟小结1.解含有绝对值的不
12、等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质；（3）平方.2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：（1）要考虑参数的总取值范围.（2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.教师下载中心教学点睛1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.3.指数、对数不等式能利用
13、单调性求解.拓展题例【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x221，证明不等式（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）0.证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.（2）当x12+x221时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x221）x2（x1y1+x2y21）x+（y12+y221），其根的判别式=4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）.由题意x12+x221，函数f（x）的图象开口向下.又f（1）=x12+x222x1y12x2y2+y12+y22=（x1y1）2+（x2y2）20，因此抛物线与x轴必有公共点.0.4（x1y1+x2y21）24（x12+x221）（y12+y221）0，即（x1y1+x2y21）2（x12+x221）（y12+y221）.
