1、本讲优化总结 专题探究精讲 本讲优化总结 知识体系网络 讲末综合检测 知识体系网络 专题探究精讲 证明不等式的常用方法证明不等式的常用方法主要指比较法、综合法、分析法等证明不等式时可首先考虑这些方法已知a，b，cR，nN.求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)【思路点拨】不等式的两端是多项式形式，考虑用比较法证明 例1【证明】(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnanbbn12an12bn1 abnanban1bn1 a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)当ab0时，bnan0，此时(ab)(bnan)a0时，bnan0，ab0，此时(ab)(bnan)0时，bna
2、n0，ab0，此时(ab)(bnan)0.综上所述：(ab)(anbn)2(an1bn1)0.即：(ab)(anbn)2(an1bn1)【名师点评】两端作差后，为判断差的符号，用到了分解因式的手段，但必须讨论a，b的取值才能确定anbn的符号 例2已知 x0，y0，求证：(x2y2)12(x3y3)13.【思路点拨】本题若用比较法，则不易变形；若直接用综合法，则不易发现与已知不等式的关系因而可试用分析法【证明】要证明(x2y2)(x3y3).只需证：(x2y2)3(x3y3)2，即证：x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证：3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20，
3、即证：3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy 成立，故(x2y2)(x3y3).【名师点评】该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式，从而找到使它成立的条件当然，该例也适用分析法与综合法相结合的方法 用反证法证明不等式主要针对从正面不易直接证明的问题，特别是含有“至少”、“至多”以及含有否定意义的命题已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立并证明你的结论 例3【思路点拨】利用函数的单调性，并结合不等式性质推证 写出逆命题后，看一看能不能直接证可考虑反证法【
4、证明】(1)ab0，ab.由已知f(x)的单调性得：f(a)f(b)又ab0baf(b)f(a)两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)逆命题f(a)f(b)f(a)f(b)ab0.下面用反证法证之假设 ab0，那么：ab0abfafbab0bafbfaf(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故只有：ab0.逆命题得证【名师点评】问题(2)是反证法的范例反证法常 用 于 直 接 证 明 困 难 或 以 否 定 形 式 出 现 的 命题涉及“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”等形式的命题，也常用反证法如果不用反证法，则改为证明原命题的否命题正确，从而判定逆命题正确也可 放缩法放缩法常穿插在其它证明方法过程中，是为了达到证明的目的，有意的放大或缩小，是一种变形的技巧已知 a，b，c 为三角形的三条边，求证：a1a，b1b，c1c也可以构成一个三角形例4【证明】设 f(x)x1x，x0，)则 f(x)在0，)上为单调增函数，事实上设0 x10.因为 a，b，c 为三角形的三条边，于是 abc.【思路点拨】考虑放缩 由得 c1cab1aba1abb1ab a1a b1b.即 c1c a1a b1b.同理可证：a1a b1b c1c；b1b c1c a1a.由，知以 a1a，b1b，c1c为边可以构成一个三角形
