1、顺义区2013届高三第一次统练数学试卷(理工类)一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则A.B.C.D.【答案】B,所以，选B.2.在复平面内,复数对应的点的坐标为A.B.C.D.【答案】A,所以对应点的坐标为，选A.3.参数方程(为参数)与极坐标方程所表示的图形分别是A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线【答案】B将参数方程消去参数得，所以对应图形为直线。由得，即，即，对应图形为圆，所以选B.4.已知向量,且,则实数A.B.C.6D.14【答案】D因为，所以，即，所以，解得。选D.5.如图,分别与圆相切于点是的
2、割线,连接.则A.B.C.D.【答案】C由切线长定理知,所以错误。选C.6.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为A.36B.30C.24D.12【答案】C若选1，则有种。若选0，则有种，所以共有，选C.7.设不等式组表示的平面区域为.若圆 不经过区域上的点,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D 不等式对应的区域为ABE.圆心为，区域中，A到圆心的距离最小，B到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域D,则有或.由得，即。由，得，即。所以，所以或，即的取值范围是，选D. 8.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是A.B.C.是
3、奇函数D.的单调递增区间是【答案】D因为恒成立，所以是函数的对称轴，即,所以，又，所以，即，所以，所以，即。由，得，即函数的单调递增区间是，所以D正确，选D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)9.执行如图所示的程序框图,输出的值为 .【答案】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，不满足条件，输出。10.在中,若,则 , .【答案】由得，。由正弦定理得。又，即，解得。11.下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是,样本数据的分组为, ,.由图中数据可知 ;样本中平均气温不低于23.5的城市个数为 .【答
4、案】0.18,33因为，所以。不低于23.5的频率为，所以样本中平均气温不低于23.5的城市个数为。12.已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为 .【答案】因为函数为你偶函数，所以，且函数在上递增。所以由得，即，所以不等式的解集为。13.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么 .【答案】4抛物线的焦点坐标为,准线方程为。因为直线的倾斜角为，所以,又，所以。因为，所以,代入，得，所以.14.函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:函数是单函数;函数是单函数;若为单函数,且,则;函数在定义域内某个
5、区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).【答案】若，则由得，即，解得，所以不是单函数。若则由函数图象可知当，时，所以不是单函数。根据单函数的定义可知，正确。在在定义域内某个区间上具有单调性，单在整个定义域上不一定单调，所以不一定正确，比如函数。所以真命题为。三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知函数的最小正周期为.(I)求的值;(II)求函数在区间上的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)已知为等差数列,且.(I)求数列的前项和;(II)求数列的前项和.17.(本小题满分13分)现有
6、甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中两次的概率;(II)求该射手的总得分的分布列及数学期望;(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.18.(本小题满分14分)设函数.(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,求函数在区间上的最大值.19.(本小题满分14分)已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的
7、直线与椭圆交于两点.(I)求椭圆的方程;(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.20.(本小题满分13分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上.(I)求数列的通项公式;(II)设数列满足:,求数列的前项和公式;(III)在第(II)问的条件下，若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.顺义区2013届高三第一次统练数学试卷(理工类)参考答案一、BABD CCDD二、9.10.11.0.18,3312.13.414.三、15.解:(I).5分因为是最小正周期为,所以,因此.7分(II)由(I)可知,因为,所以.9分于是当,即时,取得最大值;11分当,即时,取得最小值.13分16.解:(I)
8、设等差数列的公差为,因为,所以解得,2分所以,3分因此4分记数列的前项和为,当时,当时,当时,=,又当时满足此式,综上,8分(II)记数列的前项和为.则,所以.由(I)可知,所以,故.13分17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.由题意知,所以.4分(II)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.,.,故的分布列是012348分所以.9分(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件,“该射手向甲靶射击命中2次
9、且向乙靶射击命中”为事件,则为互斥事件.所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为.13分18.解:(I).因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,即,且,解得.3分(II)记,当时,令,得.当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,6分故在区间内单调递增,在区间内单调递减,从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当解得,所以的取值范围是.9分(III)记,当时,.由(II)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为.当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的
10、最大值为；当且,即时，t+32且h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,而最大值为与中的较大者.由知,当时,所以在区间上的最大值为;13分当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为.14分19.解:(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.由直线与圆相切,得,所以或(舍去).当时,故椭圆的方程为.5分(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程为.因为点在椭圆内,所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.由得.设点的坐标分别为,则,所以.又因为点到直线的距离,所以的面积为.10分设,则且,.因为,所以当时,的面积达到最大,此时,即.故当的面积达到最大时,直线的方程为.14分20.解:(I)由题意可知,.当时,当时,也满足上式,所以.3分(II)由(I)可知,即.当时,当时,所以,当时,当时,所以,当时(为偶数),所以以上个式子相加,得.又,所以,当为偶数时,.同理,当为奇数时,所以,当为奇数时,.6分因此,当为偶数时,数列的前项和;当为奇数时,数列的前项和.故数列的前项和.8分(III)由(II)可知当为偶数时,所以随的增大而减小,从而,当为偶数时,的最大值是.当为奇数时,所以随的增大而增大,且.综上,的最大值是1.因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,故实数的取值范围是.13分
