1、2021普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A2，0，1，2，By|y，则AB()A1，2 B.2，0 C2，0，1 D22已知ai2bi(a，bR)，则复数z()A1 B.iCi D2i3函数f(x)的大致图象是()4已知(a2)7的展开式中的常数项为1，则x2的系数为()A560 B.560 C280 D2805已知抛物线C：y212x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中
2、点，则|AF|BF|()A6 B.8 C9 D106已知等比数列an的前n项和为Sn，若a1a22a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m()A1 B. C D7设函数f(x)xln x的导函数为f(x)，若对任意的x1，)，不等式f(x)aex恒成立，则实数a的最小值为()A1 B.2 C1e D2e8过点M(a，0)作双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为(a2b2)，则该双曲线的离心率为()A3 B.或 C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5
3、分，部分选对的得3分，有选错的得0分9某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是()日常生活房贷还款旅游教育保险其他日常生活房贷还款旅游教育保险其他A2019年日常生活支出减少B2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10直线2xym0与圆(x1)2(y2)21相交的必要不充分条件是()Am21 B.m3Cm2m120 D111
4、在三棱锥DABC中，ABBCCDDA1，且ABBC，CDDA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是()AACBDBMN平面ABDC三棱锥ACMN的体积的最大值为DAD与BC一定不垂直12已知函数f(x)2，则下列结论中正确的是()A函数f(x)的图象关于原点对称B当a1时，函数f(x)的值域为4，)C若方程f(x)没有实数根，则a1D若函数f(x)在(0，)上单调递增，则a0题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a2ij，bmi3j，c4imj，若(2ab)c，则实数m_14有
5、一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为与，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为_15如图，圆锥的高为，表面积为3，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB的中点，弧AC与弧BC的长度之比为21，则异面直线PA与CD所成角的正弦值为_16在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a30，c20，若bsin C20cos，则sin(2CB)_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知D是
6、ABC的边AC上的一点，ABD的面积是BCD的面积的3倍，ABD2CBD2.(1)若ABC，求的值；(2)若BC，AB3，求AC的长18(本小题满分12分)给出以下三个条件：(1)Sn14Sn2；(2)3Sn22n1(R)；(3)3Snan12.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解设数列an的前n项和为Sn，a12，且满足_，记bnlog2a1log2a2log2an，cn，求数列cn的前n项和Tn.19(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1A1D1，A1BABBB14，AD2，A1C2.(1)(一题多解)求证：平面ABB1A1平面A1B
7、C；(2)求二面角ACA1B的余弦值20(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t亏损500元根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示该网店为下一个月购进了100 t缙云土面，用x(单位：t，70x120)表示
8、下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y(单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润(1)将y表示为x的函数；(2)根据直方图估计利润y不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x80，90)，则取x85，且x85的概率等于需求量落入80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y的分布列和期望21(本小题满分12分)已知椭圆G：1(ab0)，椭圆短轴的端点B1，B2与椭圆的左、右焦点F1，F2构成边长为2的菱形，MN是经过椭圆右焦点F2(1，0)的椭圆的一条弦，点P是
9、椭圆上一点，且OPMN(O为坐标原点)(1)求椭圆G的标准方程；(2)求|MN|OP|2的最小值22(本小题满分12分)已知函数f(x)x2ln x，函数f(x)的导函数为f(x)，h(x)f(x)xmx2(mR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1x2，求证：ex1x1.2021普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1解析：选B.因为y0，所以By|y0因为A2，0，1，2，所以AB2，0故选B.2解析：选C.由ai2bi(a，bR)及复数相等的定义
10、可得所以zi，故选C.3解析：选B.由题意知函数f(x)的定义域为x|x0因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以C不正确；又f(k)0(kZ，k0)，所以A不正确；当x(0，)时，f(x)0，故D不正确故选B.4解析：选B.由题意可知(a2)7的展开式的通项公式为Tr1Ca7rC2ra7rx.因为展开式中的常数项为1，所以令r0，得C20a71，所以a1.令r4，得x2的系数为C24(1)74560.5解析：选D.分别过点A，B，P向抛物线的准线x3作垂线，设垂足分别为A1，B1，P1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P1P|(|A1A|B1B|)(|AF|
11、BF|)2(3)5，所以|AF|BF|10，故选D.6解析：选B.设数列an的公比为q，则由a1a22a3，得a1a1q2a1q2，易知a10，所以2q2q10，解得q1或q.当q1时，S20，这与S2是S1与mS3的等比中项矛盾；当q时，S1a1，S2a1，mS3a1m，由S2是S1与mS3的等比中项，得SS1mS3，即ama，所以m.故选B.7解析：选C.f(x)xln x，则f(x)ln x1.对任意的x1，)，f(x)aex恒成立，即aln x1ex对任意的x1，)恒成立设g(x)ln x1ex(x1)，则g(x)ex0，因而g(x)在1，)上单调递减，g(x)ln 11e1e，所以实
12、数a的最小值为1e.8解析：选D.不妨设点N在第一象限，如图，由题意知123，所以OMN是以ONM为顶角的等腰三角形因为OMN是锐角三角形，所以145，即有1，进而e212.由yx与y(xa)，得yN，所以a(a2b2)，即9a2(c2a2)2c4，所以2e49e290，得e2(舍)或e23，所以e.9解析：选BD.设2018年的总支出为x，则2019年的总支出为1.5x，2018年日常生活支出为0.35x，2019年日常生活支出为0.341.5x0.51x，故2019年日常生活支出增加，A错误；2018年保险支出为0.05x，2019年保险支出为0.071.5x0.105x，B正确；2018
13、年其他支出为0.05x，2019年其他支出为0.091.5x0.135x，(0.135x0.05x)0.05x1.7，故C错误；由题图可知，D正确10解析：选BC.若直线2xym0与圆(x1)2(y2)21相交，则1，解得m.A项中，由m21，得1m1，因为m|1m1m|m，所以m21不是m5的必要不充分条件；B项中，因为m|m3m|m，所以m3是m的必要不充分条件；C项中，由m2m120，得4m3，因为m|4m3m|m，所以m2m120是m的必要不充分条件；D项中，由1，得0m3，所以1不是m的必要不充分条件11解析：选ABD.设AC的中点为O，连接OB，OD，则ACOB，ACOD，又OBO
14、DO，所以AC平面OBD，所以ACBD，故A正确；因为M，N分别是棱BC，CD的中点，所以MNBD，且MN平面ABD，BD平面ABD，所以MN平面ABD，故B正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，VACMN最大，最大值VACMNVNACM，故C错误；若AD与BC垂直，因为ABBC，ADABA，所以BC平面ABD，所以BCBD，又BDAC，BCACC，所以BD平面ABC，所以BDOB，因为OBOD，所以显然BD与OB不可能垂直，故D正确12解析：选BD.由题意知，函数f(x)的定义域为x|x0，且f(x)2f(x)，因此函数f(x)是偶函数，其图象不关于原点对称，故A选项错误；当a1时，f(x)
15、2，而|x|2，所以f(x)24，即函数f(x)的值域为4，)，B选项正确；由f(x)，得2，得x22|x|a0.要使原方程没有实数根，应使方程x22|x|a0没有实数根令|x|t(t0)，则方程t22ta0应没有正实数根，于是需0或即44a0或解得a1或1a0，综上，a0，故C选项错误；要使函数f(x)在(0，)上单调递增，需g(x)在(0，)上单调递增，需(x)x在(0，)上单调递增，需(x)10在(0，)上恒成立，得a0，故D选项正确13解析：方法一：因为a2ij，bmi3j，所以2ab(m4)ij.因为(2ab)c，所以(2ab)c，所以(m4)ij4imj，所以所以m2.方法二：不妨
16、令i(1，0)，j(0，1)，则a(2，1)，b(m，3)，c(4，m)，所以2ab(m4，1)因为(2ab)c，所以m(m4)4，所以m2.答案：214解析：小目标M被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了所以小目标M被套上的概率P.答案：15.解析：如图，连接OD，OC，BC，OP，设圆锥的底面半径为r，由题意得，r22r3，得r1，则OC1，PA2.因为点O，D分别为AB，PB的中点，所以ODPA，且ODPA1，所以ODC为异面直线PA与CD所成的角(或其补角)过点D作DHAB，垂足为H，连接HC，易得DHHC，DHPO.由弧AC
17、与弧BC的长度之比为21，得OCB为等边三角形，则CHOB.又OCOB1，所以CH，则CD，在ODC中，由余弦定理，得cosODC，所以异面直线PA与CD所成角的正弦值为.答案：16解析：在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B又bsin C20cos，所以csin Bccos，所以sin Bcos，所以tan B.又0B，所以B.在ABC中，由余弦定理得b220230222030cos 700，所以b10，由bsin C20cos，得sin C.因为ac，所以cos C，所以sin(2CB)sin 2Ccos Bcos 2Csin B2sin Ccos Ccos (cos2Csin
18、2C)sin 2.答案：17解：(1)因为ABC，ABD2CBD2，所以.所以ABBDsin 3BCBDsin ，所以.(2)因为ABBDsin 23BCBDsin ，即2ABcos 3BC，所以cos ，所以，ABC3，AC2922317，所以AC.18解：方案一：选(1)，已知Sn14Sn2，当n2时，Sn4Sn12，得，an14(SnSn1)4an，即an14an，当n1时，S24S12，即2a2422，所以a28，满足a24a1，故an是以2为首项、4为公比的等比数列，所以an22n1.bnlog2a1log2a2log2an13(2n1)n2，cn，所以Tnc1c2cn1.方案二：选
19、(2)，已知3Sn22n1，当n2时，3Sn122n1，得，3an22n122n1322n1，即an22n1，当n1时，a12满足an22n1，下同方案一方案三：选(3)，已知3Snan12，当n2时，3Sn1an2，得，3anan1an，即an14an，当n1时，3a1a2a1，而a12，得a28，满足a24a1，故an是以2为首项、4为公比的等比数列，所以an22n1.下同方案一19解：(1)证明：方法一：由题意知BCA1D1，因为AB1A1D1，所以AB1BC.在A1BC中，A1B4，BCAD2，A1C2，所以A1B2BC2A1C2，所以BCA1B.又A1B，AB1是平行四边形ABB1A
20、1的两条对角线，所以BC平面ABB1A1.因为BC平面A1BC，所以平面A1BC平面ABB1A1.方法二：由题意知BCA1D1，因为AB1A1D1，所以AB1BC.在平行四边形ABB1A1中，BB1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1A1B.因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC，因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.(2)由(1)知BC平面ABB1A1，因为BC平面ABCD，所以平面ABCD平面ABB1A1，所以平面ABCD平面CDD1C1.在斜平行六面体ABCDA1B1C1D1中，由ABBB14得四边形ABB1A1为菱形，所以四
21、边形CDD1C1为菱形连接BD，设AC，BD交于点E，取DC的中点O，连接D1O，OE，易证得D1O平面ABCD，故以OE，OC，OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则C(0，2，0)，B(2，2，0)，A(2，2，0)，A1(2，0，2)，所以(2，2，2)，(2，4，0)，(2，0，0)设平面AA1C的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令x12，得y11，z1，所以平面AA1C的一个法向量为m.设平面BA1C的法向量为n(x2，y2，z2)，则即令z21，得y2，所以平面BA1C的一个法向量为n(0，1)cosm，n.由图可知二面角ACA1B为锐二
22、面角，故二面角ACA1B的余弦值为.20解：(1)依题意知，当x70，100)时，y800x500(100x)1 300x50 000；当x100，120时，y80010080 000.所以y(2)由1 300x50 00067 000，得x90，所以90x120.由直方图知需求量x90，120的频率为(0.0300.0250.015)100.7，所以利润y不少于67 000元的概率为0.7.(3)依题意可得该网店下一个月利润y的分布列为y47 50060 50073 50080 000P0.10.20.30.4所以利润y的期望E(y)47 5000.160 5000.273 5000.380
23、 0000.470 900.21解：(1)因为椭圆短轴的端点B1，B2与左、右焦点F1，F2构成边长为2的菱形，所以a2，又椭圆的右焦点F2(1，0)，所以c1，所以b2a2c23，所以椭圆G的标准方程为1.(2)当MNx轴时，|MN|3，|OP|a2，此时|MN|OP|212.当MN不垂直于x轴且斜率不为0时，可设直线MN的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线MN的方程与椭圆G的方程联立，得化简并整理得(4k23)x28k2x4k2120，所以x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.因为OPMN，所以直线OP的方程为yx，将直线OP的方程与椭圆G的方程联
24、立，得得x，y，所以|OP|2xy，所以|MN|OP|2.令t，因为kR且k0，所以0t1，|MN|OP|2，所以当t时，|MN|OP|2取得最小值，且(|MN|OP|2)min.当MN的斜率为0时，|MN|4，此时|OP|2b23，所以|MN|OP|212.由可知，(|MN|OP|2)min.22解：(1)易知函数f(x)x2ln x的定义域为(0，)f(x)xln xx.令f(x)0，得xe，令f(x)0，得0xe，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)依题意得，h(x)xln xmx2，若函数h(x)存在单调递增区间，则h(x)ln x12mx0在(0，)上有解，即存在
25、x0，使2m.令(x)，则(x)，当x1时，(x)0，当0x1时，(x)0，所以(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，所以(x)max(1)1，所以2m1，所以m.故m的取值范围为.(3)证明：因为函数h(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1x2，所以h(x)ln x12mx0有两个不相等的实数根x1，x2，且0x1x2，所以ln x112mx10，ln x212mx20，所以ln x12ln x22m(x12x2)3，ln x1ln x22m(x1x2)，所以ln x12ln x2(x12x2)3.要证ex1x1，只需证ln x12ln x21，即证(x12x2)2(0x1x2)，即证ln ，即证ln ，令t，因为0x1x2，所以0t1，即证ln t在(0，1)上恒成立令g(t)ln t(t(0，1)，则g(t)0在(0，1)上恒成立所以g(t)ln t在(0，1)上单调递增，所以g(t)g(1)000，所以ln t在(0，1)上恒成立故ex1x1得证
