1、开放探究1定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”如图1，在ABC中，PA=PB，则点P叫做ABC的“中垂心”（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有_（举一个例子即可）；（2）应用：如图2；在ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC（保留作图痕迹，不写画法）（3）探究：如图3，已知ABC为直角三角形，C=90，ABC=60，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长如图4，若PA=PB且“中垂心”P在ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由【解析】解：（1）根据题意，若点C为ABC的“中垂心”可得CA=CBABC为等腰三角形故答案为：等腰三角形（答案
2、不唯一）；（2）分别作出BC和AB的垂直平分线，交于点P根据垂直平分线的性质可得PA=PB=PC点P即为所求；（3）C=90，ABC=60，A=90ABC=30AB=2BC设BC=x，则AB=2xBC2AC2=AB2x2（）2=（2x）2解得：x=4或-4（不符合实际，舍去）BC=4，AB=8P在AC边上，C=90PBPC，即不存在“中垂心”P，使PB=PC若PA=PB，如下图所示设PA=PB=a，则PC=ACPA=aPC2BC2=BP2（a）242=a2解得：a=即PA=；若PA=PC，如下图所示则点P为AC的中点PA=综上：PA=或；理由如下延长AP交BC于D根据三角形的三边关系可得：AC
3、CDAD，DPDBPBACCDDPDBADPBAC（CDDB）DPPADPPBACBCPAPBPA=PBAC+BC2AP2如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连结、.（1）若为等边三角形，试探究与有何数量关系？证明你的结论；（2）若为等边三角形，当的值为多少时，？（3）当不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.【解析】解 （1），证明如下：为等边的中线，即，即，由旋转的性质得到，.（2）或240.当时，由为等边三角形，得到，；当时，.（3）不成立，添加的条件为理由如下：，即.，即.由旋转的性质得到，.3在ABC中，AB=AC，点D
4、与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，FDGBDE（1）如图1，若BDE=120，DFBC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_【解析】（1）DEBC，BDE+ABC=180，BDE=120，ABC=60，DFBF，BFD=90，DF=BFtan60，CDFBDE=60，DFC=90，CF=DFtan60，BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG理由：在EA
5、上截取EH，使得EH=BFAB=AC，B=C，DEBC，ADE=B，AED=C，ADE=AED，DEH=B， 在DBF和DEH中，DBFDEH（SAS），DF=DH，BDF=EDH，FDGBDE，BDF+EDG=EDH+EDG=GDHBDE，GDF=GDH，在DGF和DGH中，DGFDGH（SAS），FG=HG，HG=EG+HE=EG+BF，FG=BF+EG；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG理由：在射线EA上截取EH，使得EH=BFAB=AC，B=C，DEBC，ADE=B，AED=C，ADE=AED， DEH=B，在DBF和DEH中， DBFDEH（SAS），DF=DH，BDF=EDH，
6、BDE=FDH，FDGBDEFDH， GDF=GDH，在DGF和DGH中，DGFDGH（SAS），FG=HG，HG=HE-GE=BF-EG，FG=BF=-EG4如图，点的坐标为，点的坐标为，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点与交于点（1）求出的长度；（2）求的面积；（3）在平面上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由【解析】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，OA16，OB12，在RtAOB中， ，AB20；（2）如图，连接BC，折叠，ACBC，ADCBDC90，ADBD10，设ACBCx，则OC16x，在RtBOC中，解得，在RtACD中，的面积
7、为；（3）如图1，当点P在第一象限，PBAB且PBA90时，过点P作PEOB交y轴于点E，则PEBAOB90，PBEBPE90，PBA90，PBEABO90，BPEABO，PEBAOB，BPEABO，PBAB，PEBBOA，PEOB12，BEOA16，OEBEOB28，点P的坐标为（12，28），如图2，当点P在第三象限，PBAB且PBA90时，过点P作PFOB交y轴于点F，则PFBAOB90，PBFBPF90，PBA90，PBFABO90，BPFABO，PFBAOB，BPFABO，PBAB，PFBBOA，PFOB12，BFOA16，OFBFOB4，点P的坐标为（12，4），如图3，当点P在第
8、一象限，PAAB且PAB90时，过点P作PGOA交x轴于点G，则PGAAOB90，PAGAPG90，PAB90，PAGBAO90，APGBAO，PGAAOB，APGBAO，PAAB，PAGABO，PGOA16，AGOB12，OGOAAG28，点P的坐标为（28，16），如图4，当点P在第四象限，PAAB且PAB90时，过点P作PHOA交x轴于点H，则PHAAOB90，PAHAPG90，PAB90，PAHBAO90，APHBAO，PHAAOB，APHBAO，PAAB，PAHABO，PHOA16，AHOB12，OHOAAH4，点P的坐标为（4，16），如图5，当点P在第四象限，PAPB且APB90
9、时， 过点P作PMOB交y轴于点M，过点A作ANPM，交MP的延长线于点N，则PNAPMB90，PANAPN90，APB90，APNBPM90，PANBPM，PNAPMB，PANBPM，PAPB，PANBPM，PMAN，BMPN，设PMANa，则PNBM12a，MNOA16，a12a16解得a2，PM2，OMAN2，点P的坐标为（2，2），如图6，当点P在第一象限，PAPB且APB90时， 过点P作PIOB交y轴于点I，过点A作AJPI，交IP的延长线于点J，则PJAPIB90，PAJAPJ90，APB90，APJBPI90，PAJBPI，PJAPIB，PAJBPI，PAPB，PAJBPI，P
10、IAJ，BIPJ，设PIAJb，则PJBIb12，IJOA16，bb1216，解得b14，PI14，OIAJ14，点P的坐标为（14，14），综上所述，点P的坐标为（12，28），（12，4），（28，16），（4，16），（2，2），（14，14）5已知，且自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图：即如下规律： ；（1）按上述分裂要求， ，可分裂的最大奇数为 （2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是： ；（3）用上面的规律求：【解析】解：（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数，又，
11、所以可分裂的最大奇数为19；故答案为=1+3+5+7+9，19；（2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1，可分裂的最大奇数为2n-1，故答案为；（3）由（2）得： =， =2n+16如图，ABC和CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F（1）求证：ACEBCD；（2）探究的度数；（3）探究EF、DF、CF之间的关系【解析】解：（1）ABC和CDE都为等边三角形，ACE=BCD=60，AC=BC，CE=CD，在ACE和BCD中，ACEBCD；（2）延长AF到Q，使FQ=DF，连接DQ，ACEBCD，CAE=CBD，又AEC=BEF，A
12、FB=ACB=60DFQ=60，DFQ是等边三角形，FDQ=FQD=60，DF=DQ，CDF=EDQ，在CDF和EDQ中，CDFEDQ，CFD=DQF=60；（3）CDFEDQ，CF=EQ，EQ=DF+FQ=EF+DF，CF=EF+DF7（1）问题发现:如图（1），在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，AOBCOD36，连接AC，BD交于点M的值为 ；AMB的度数为 ；（2）类比探究 :如图（2），在OAB和OCD中，AOBCOD90，OABOCD30，连接AC，交BD的延长线于点M请计算的值及AMB的度数（3）拓展延伸:在（2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点
13、M若OD1，OB，请直接写出当点C与点M重合时AC的长【解析】解：（1）AOB=COD=36，AOB+DOA=COD+DOA，COA=DOB，又OA=OB，OC=OD，COADOB（SAS），AC=BD，=1，故答案为：1；设AO与BD交于点E，由知，COADOB，CAO=DBO，AOB+DBO=DEO，AMB+CAO=DEO，AOB=AMB=36，故答案为：36；（2）在OAB和OCD中，AOB=COD=90，OAB=OCD=30，tan30=，AOB+DOA=COD+DOA，即DOB=COA，DOBCOA，DBO=CAO，DBO+OEB=90，OEB=MEA，CAO+MEA=90，AMB=
14、90，=，AMB=90；（3）如图3-1，当点M在直线OB左侧时，在RtOCD中，OCD=30，OD=1，CD=2，在RtOAB中，OAB=30，OB=，AB=2，由（2）知，AMB=90，且=，设BD=x，则AC=AM=x，在RtAMB中，AM2+MB2=AB2，（x）2+（x+2）2=（2）2，解得，x1=3，x2=-4（舍去），AC=AM=3；如图3-2，当点M在直线OB右侧时，在RtAMB中，AM2+MB2=AB2，（x）2+（x-2）2=（2）2，解得，x1=4，x2=-3（舍去），AC=AM=4，综上所述，AC的长为3或4 8综合与实践（1）观察理解：如图1，中，直线过点，点，在直
15、线同侧，垂足分别为，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，且，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积_；（3）类比探究：如图3，中，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角已知，求证：；【解析】（1）在和中，故答案为：；（2），由（1）得：，.（3）如图3，过作于， 由旋转得：， ，；（4），在和中，；，9如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切于点，与轴相交于、两点.（1）点、的坐标分别是（ ， ），（ ，
16、），（ ， ）.（2）设经过、两点的抛物线的关系式为，它的顶点为，抛物线的对称轴与轴相交于点，求证：直线与相切.（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点（点在轴的上方），使是等腰三角形.如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.【解析】（1），.提示：连结，则垂直于轴.点的坐标是，.在中，同理在中，.（2）把代入，解得，.如图2，连结，则，.，即，与相切.（3），.在中，.设，如图3.当时，在中，；当时，在中，；当时，和重合，.综上当、或时，是等腰三角形.10已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，若BAD，BCD（1）如图1，若+150，求MBC+NDC的
17、度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，BGD45，请写出、所满足的等量关系式；（3）如图2，若，判断BE、DF的位置关系，并说明理由【解析】解：（1）在四边形ABCD中，BAD+ABC+BCD+ADC360，ABC+ADC360（+），MBC+ABC180，NDC+ADC180MBC+NDC180ABC+180ADC360（ABC+ADC）360360（+）+，+150，MBC+NDC150，（2）90理由：如图1，连接BD，由（1）有，MBC+NDC+，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，CBGMBC，CDGNDC，CBG+CDGMBC+NDC（MBC+NDC）（+），在BC
18、D中，在BCD中，BDC+DBC180BCD180，在BDG中，BGD45，GBD+GDB+BGD180，CBG+CBD+CDG+BDC+BGD180，（CBG+CDG）+（BDC+CDB）+BGD180，（+）+180+45180，90，（3）平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，MBC+NDC+，BE、DF分别平分四边形的外角MBC和NDC，CBEMBC，CDHNDC，CBE+CDHMBC+NDC（MBC+NDC）（+），BCDCDH+DHB，CDHBCDDHBDHB，CBE+DHB（+），CBE+DHB（+），CBEDHB，BEDF11在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和
19、图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“折转点”，称为点关于图形的“折转三角形”（1）已知点，在点，中，点关于点的“折转点”是_；点在直线上，若点是点关于线段的“折转点”，求点的横坐标的取值范围；（2）的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出的取值范围【解析】（1）根据“折转点”的定义，要使得的Q才是点O关于点A的“折转点”，如图，根据各个点的坐标，则，是点O关于点A的“折转点”，则，点O关于点A的“折转点”，不是，故答案是：，；如图，点为点关于线段的折转点，则在线段上存在点，使
20、得，即在以为直径的圆上（不含，点），因此，当点在上运动时，所有可能的点组成的图形为：以为圆心，半径为1的圆，和以为圆心，半径为2的圆及其之间的部分，（不含轴上的点）直线与内圆交于，与外圆交于，线段即为直线上点可能的位置，过点作轴于，连接，则，因为直线，因此为等腰直角三角形，由三线合一，知，为，即点横坐标为1，同理可得，点横坐标为2，点的横坐标取值范围是；（2）根据题意，记线段EF上的点是Q，当上存在一点C，使的时候，则线段EF上存在点P关于的“折转点”，“折转三角形”是等腰直角三角形，Q点一定在线段PC的垂直平分线上，点P、C都是圆上的点，线段PC是的弦，圆心T也在线段PC的垂直平分线上，T和
21、Q是共线的，且它们之间的距离是固定的，等腰直角三角形的底是2，Q到线段PC的距离是1，的半径是3，弦长PC是2，根据垂径定理可以算出圆心T到线段PC的距离是，根据直线求出、，如图，当点Q在点F的位置上的时候，根据勾股定理求得，则；同上，则；当点Q在点E的位置上的时候，则；，则，综上，t的范围是：或12如图，在矩形中，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交与点，设运动时间为（1）当为何值时，四边形是平行四边形；（2）设的面积为，求与的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的；（4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上【解析】（1）当四边形是平行四边形时，又，四边形为平行四边形，即，（2），即，梯形，梯形（3）由题意，解得，所以当或时，的面积为矩形面积的（4）当点在线段的垂直平分线上时，在中，在中，即解得，（舍）所以当时，点在线段的垂直平分线上
