1、2020-2021学年江苏省南京市六校联合体高一（下）联考数学试卷（3月份）一、单项选择题（共8小题）.1已知集合A（x，y）|yx2，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为（）A3B2C1D02已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（）A2B4C6D83几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为
2、（）ABa2+b22ab（a0，b0）CD4下列各式中，值为的是（）A2sin22BCsin15sin75Dcos155若两个量x，y的初始值相同，其中x每天增加1%，y每天减少1%，大约经过（）天后x的值是y的值的1000倍？（参考数据：lg1.010.0043，lg0.990.0044）A230B280C345D3656已知，则（）ABCD7已知ABC中，AB1，AC2，cosA，点E在直线BC上，且满足+m，则|（）A3B6C12D368设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x1，x2（，0），x1x2，满足x12f（x1）+x22f（x2）x1x2f（x1）+f（x2），g（x）xf
3、（x）（xR），则下列结论正确的是（）Ag（x）是奇函数，且在区间（0，+）上是增函数Bg（x）是奇函数，且在区间（0，+）上是减函数Cg（x）是偶函数，且在区间（0，+）上是增函数Dg（x）是偶函数，且在区间（0，+）上是减函数二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分9设向量，定义运算：则下列说法正确的是（）A（cos，sin）（cos，sin）1B（sin，cos）（cos，sin）sin（）CD10下列选项中，关于x的不等式ax2+（a1）x20有实数解的充分条件有（）Aa0BC或a0D11已知2m3n6，则m，n满足下列关系的是（）ABmn4Cm+n4Dm2+n2812已知函
4、数f（x）sinx|cosx|，下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的图象关于直线对称Cf（x）在上单调递增D若不等式kx+af（x）kx+b对任意xR恒成立，则ba的最小值为1三、填空题（共4小题）.13sin10cos20cos40 14已知单位向量的夹角为30，与垂直，则 15在数学中，我们经常遇到定义（definition）定义是指对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵对于函数f（x），使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）f（2x），则称f（x）为“准奇函数”，请写出一个“准奇函数”的解析式为 164cos50 四、解答题：本题共6小题，共
5、70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17设全集UR，集合Ax|xa|1，Bx|2（1）若a2，求AB；（2）若A（UB），求实数a的取值范围18已知（1）若，求f（x）的值域；（2）若，求f（）的值19已知，为锐角，（1）求cos2的值；（2）求的值20已知函数从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，f（x）在（a，b）上单调递增，则ba的最大值为；yf（x）的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为；yf（x）的对称轴间的最小距离为（1）求f（x）的解析式；（2）求方程f（x）+20在上所有解的和21在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，若E、F
6、分别是边BC、CD上的点（1）若E、F分别是边BC、CD的中点，AE与BF交于点O，用和表示；（2）若E、F满足，求的取值范围22已知函数f（x）ax+ax（a1），（1）判断f（x）在（0，+）上的单调性，并利用单调性的定义加以证明；（2）若不等式f（2x）mf（x）m3对任意实数x0，1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若存在x（0，+），使得f（x）t2x+1，求实数t的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题）.1已知集合A（x，y）|yx2，B（x，y）|yx，则AB中元素的个数为（）A3B2C1D0解：AB（x，y）|（0，0），（1，1）AB中元素的个数为2故选：B2已知扇形的面
7、积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（）A2B4C6D8解：根据题意知扇形的面积s4，扇形圆心角的弧度数2，sR2，可得：42R2，解得R2，lR224，扇形的周长为l+2R4+228故选：D3几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为（）ABa2+b22ab（a0，b0）CD解：因为直角三角形的直角边长分别
8、为a和b，所以斜边即大正方形的边长为，大正方形面积a2+b2，由题意得a2+b242ab，当且仅当ab时取等号，故选：B4下列各式中，值为的是（）A2sin22BCsin15sin75Dcos15解：2sin222cos，不符合题意；tan60，符合题意；sin15sin752sin15cos15，不符合题意；cos152cos（15+60）2cos75，不符合题意故选：B5若两个量x，y的初始值相同，其中x每天增加1%，y每天减少1%，大约经过（）天后x的值是y的值的1000倍？（参考数据：lg1.010.0043，lg0.990.0044）A230B280C345D365解：设经过n天后，
9、x的值是y的值的1000倍，x（1+1%）n1000x（11%）n，n3，n（0.0043+0.0044）3，n345，故选：C6已知，则（）ABCD解：，sin（+）5sin（+）+，sin（+）coscos（+）sin5sin（+）cos+5cos（+）sin，即4sin（+）cos6cos（+）sin，tan（+）tan，即故选：B7已知ABC中，AB1，AC2，cosA，点E在直线BC上，且满足+m，则|（）A3B6C12D36解：如图，设，则：，又，14，m，解得m3，且AB1，AC2，cosA，故选：B8设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x1，x2（，0），x1x2，满足x1
10、2f（x1）+x22f（x2）x1x2f（x1）+f（x2），g（x）xf（x）（xR），则下列结论正确的是（）Ag（x）是奇函数，且在区间（0，+）上是增函数Bg（x）是奇函数，且在区间（0，+）上是减函数Cg（x）是偶函数，且在区间（0，+）上是增函数Dg（x）是偶函数，且在区间（0，+）上是减函数解：由题意得f（x）f（x），g（x）xf（x）xf（x）g（x），所以g（x）为偶函数，排查A，B；因为对任意的x1，x2（，0），x1x2，不妨设的x1x2，则x1x20，因为x12f（x1）+x22f（x2）x1x2f（x1）+f（x2），所以x1（x1x2）f（x1）x2（x1x2）f（
11、x2），即x1f（x1）x2f（x2），所以g（x1）g（x2），所以g（x）在（，0）上是增函数，根据偶函数对称性得g（x）在（0，+）上是减函数故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分9设向量，定义运算：则下列说法正确的是（）A（cos，sin）（cos，sin）1B（sin，cos）（cos，sin）sin（）CD解：根据题意，依次分析选项：对于A，（cos，sin）（cos，sin）cos2+sin21，A正确，对于B，（sin，cos）（cos，sin）sincoscossinsi
12、n（），B正确，对于C，则是实数，则（）与共线，而（）与共线，两者不一定相等，C错误，对于D，设（x3，y3），（+）x1（x2+x3）y1（y2+y3）x1x2y1y2+x1x3y1y3+，D正确，故选：ABD10下列选项中，关于x的不等式ax2+（a1）x20有实数解的充分条件有（）Aa0BC或a0D解：a0时，关于x的不等式ax2+（a1）x20，化为x20，解得x2，满足条件；a0或，即a0或3+2a0或a32时，关于x的不等式ax2+（a1）x20有实数解综上，a0或3+2a或a32时，关于x的不等式ax2+（a1）x20有实数解故选：ABD11已知2m3n6，则m，n满足下列关系的
13、是（）ABmn4Cm+n4Dm2+n28解：2m3n6，mlog26，nlog36，+log62+log631，故A正确，m，n0，mn，1+2，故mn4，故B正确，m+n（m+n）（+）2+2+24，故C正确，mn4成立，m2+n22mn8，故D错误，故选：ABC12已知函数f（x）sinx|cosx|，下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的图象关于直线对称Cf（x）在上单调递增D若不等式kx+af（x）kx+b对任意xR恒成立，则ba的最小值为1解：函数f（x）sinx|cosx|，如图所示：对于A：根据函数的图象，函数的最小正周期为2，故A正确；对于B：函数的图象关于
14、x对称，故B正确；对于C：函数f（x）在（）上单调递增，故C错误；对于D：当k0时，af（x）b，即，ba的最小值为1，当k取其他值时，无法判定不等式kx+af（x）kx+b对任意xR恒成立，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分请把答案直接填写在答题卡相应位置上13sin10cos20cos40解：sin10cos20cos40，故答案为14已知单位向量的夹角为30，与垂直，则解：由题意得|1，因为与垂直，所以（）+0，所以故答案为：15在数学中，我们经常遇到定义（definition）定义是指对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵对于函数f
15、（x），使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）f（2x），则称f（x）为“准奇函数”，请写出一个“准奇函数”的解析式为f（x）（x1）3，（答案不唯一）解：因为f（x）f（2x）即f（2x）f（x），所以函数的图形关于（1，0）对称，满足条件的函数有f（x）（x1）3，f（x）sin（x1）故答案为：f（x）（x1）3，f（x）sin（x1），（答案不唯一）164cos50解：4cos504cos50故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17设全集UR，集合Ax|xa|1，Bx|2（1）若a2，求AB；（2）若A（UB），
16、求实数a的取值范围解：（1），a2时，Ax|x2|1x|1x3，AB（1，5；（2）Ax|a1xa+1，UBx|x2或x5，且A（UB），解得3a4，a的取值范围为：3，418已知（1）若，求f（x）的值域；（2）若，求f（）的值解：（1），令tsinx+cosxsin（x+），则sinxcosx，x+（，），t（1，原函数可化为g（t），t（1，函数yt和y在（1，上均单调递增，g（t）在（1，上单调递减，g（t）g（）2，即f（x）2，故f（x）的值域为2，+）（2）sin（），（sincos），即sincos，（sincos）212sincos，2sincos，即sincos，（sin+
17、cos）21+2sincos，（，），sin0，cos0，sin+cos，f（）19已知，为锐角，（1）求cos2的值；（2）求的值解：（1）因为为锐角，且，所以sin，cos，所以cos22cos2121（2）由（1）知，sin22sincos2，因为，为锐角，所以sin（+），cos（）cos2（+）cos2cos（+）+sin2sin（+）（）+，所以20已知函数从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知条件，f（x）在（a，b）上单调递增，则ba的最大值为；yf（x）的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为；yf（x）的对称轴间的最小距离为（1）求f（x）的解析式；（2）求方程f（
18、x）+20在上所有解的和解：，2sinxcossin2xcos2x，2sin（x）1，选：f（x）在（a，b）上单调递增，且ba的最大值为，则T，故2，f（x）2sin（2x）1，选：yf（x）的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，则，即T，故2，f（x）2sin（2x）1，选：yf（x）的对称轴间的最小距离为，即则，即T，故2，f（x）2sin（2x）1，（2）f（x）+22sin（2x）+10，故sin（2x），2x或2x，kZ，因为，所以2x，则2x可取，所以x可能取值0，2，故所有解的和为821在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，若E、F分别是边BC、CD上的点（1）若E、F分
19、别是边BC、CD的中点，AE与BF交于点O，用和表示；（2）若E、F满足，求的取值范围解：（1）如图，设，因为平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，所以（+）+（+）+（）+，因为B，O，F三点共线，所以+1，解得，所以+（2）设m（0m1），所以m，m，（+）（+）（+m）+（1m）+m+（1m）+m（1m）21cos+m+44m+m（1m）21cosm22m+5（0m1），当m0时，取得最大值为5，当m1时，取得最小值为2，所以的取值范围是2，522已知函数f（x）ax+ax（a1），（1）判断f（x）在（0，+）上的单调性，并利用单调性的定义加以证明；（2）若不等式f（2
20、x）mf（x）m3对任意实数x0，1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若存在x（0，+），使得f（x）t2x+1，求实数t的取值范围解：（1）f（x）ax+ax（a1），即有a+a1，解得a2，所以f（x）2x+2x，可得f（x）在（0，+）上单调递增理由：设0x1x2，f（x1）f（x2）2+222（22）（12），由0x1x2，可得220，21，120，所以（22）（12）0，则f（x1）f（x2），所以f（x）在（0，+）上单调递增；（2）不等式f（2x）mf（x）m3即22x+22xm（2x+2x）m3，由于x0，1，可得2x+2x2，2.5，所以m对x0，1恒成立，设t2x+2x，t2，2.5，可得m对t2，2.5恒成立，由（t1）+2在2，1+）递减，（1+，2.5递增，可得t2.5时，取得最大值6.5，可得m6.5；（3）f（x）t2x+1即2x+2xt2x+1，可得t1+，因为x0，即有2x1，02x1，1+（）2+，当x1时，1+取得最小值，当x0时，1+1，所以1+，1）则实数t的取值范围是，1）
