1、 第1页共8页 中学生标准学术能力诊断性测试 2022 年 9 月测试理科数学参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的123456789101112ACBBABDDCCDB二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1320 149 9,2 8 15 2 16+431三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）（1）解：=bCCaccos
2、3sin2，=bCbCaccos3 sin2，根据正弦定理：=BCBCACsincos3sinsinsin2sin2 分所以=+BCBCBCCsincos3sinsinsin2sin)(，则=+=CBCBCBCBC2sin3sinsinsinsincoscossin)(4 分Csin0，=BB23sincos，=+=+BBB623sincos2sin所以+=B62，=B36 分（2）已知r 为ABC 内切圆半径，=B3，=b2=+=+bacacacac432222)(，+acac22，+=+acacac44431222)()()(，+ac4 8 分=SacBacABC24sin13，关注公众号
3、：一枚试卷君 下载免费模拟卷 第2页共8页 又因为()()11222ABCSabc racr=+=+322acrac=+10 分3132222 3acacracac=+()24122 3acac+=+()13232 3ac=+当且仅当 ac=，即 ABC为等边三角形时，r 取得最大值为33 12 分18（12 分）（1）证明：EFBC且=EF BC，所以四边形 EFBC 为平行四边形，所以 BFEC又 ADEF，ADEC BFEF1 分又平面 ADEF 平面 BCEF，且平面 ADEF 平面 BCEFEF=，BF 平面 ADEF 3 分 FBDE5 分（2）法一：连接,BD BF DF因为22
4、CDCB=，3BCD=所以3BD=，又222CDCBBD=+，所以 BCBD，因为 BCBF，且 BDBFB=所以 BC 平面 BFD因为 EFBC，所以 EF 平面 BFD 7 分又因为 BF 平面 ADEF所以 FDFB，故 FD，FE，FB 两两垂直，第3页共8页 因为3BD=，=2FB，所以=1FD如图所示建系，(0,0,0)F，(2,0,1)A，(0,2,0)B，(1,2,0)C，(0,0,1)D，(1,2,1)DC=，(2,0,1)FA=，(0,2,0)FB=设平面 ABF 的法向量为(,)nx y z=，则2020 xzy+=，取(1,0,2)n=10 分直线 DC 与平面 AB
5、F 所成角正弦值为：1 25sin|cos,|=1025n DC=12 分法二：连接,BD BF DF取 AD 中点 M，在平面 ADF 内作 MHFA，又 BFADFBFMH平面，所以 MHBFA 平面，又因为 DMCB 且 DMCB=所以四边形 DMBC 为平行四边形，BMCD故MBH就是直线 DC 与平面 ABF 所成角 8 分5sin5MHAMDAF=，=2BM CD 10 分（或者222231=2BDADBMBDDM=+=+）5sin10MHMBHBM=11 分所以直线 DC 与平面 ABF 所成角的正弦值为510 12 分19（12 分）（1）解：由题易知22nnSnna=+，()
6、()()1122112nnSnnan=+zyxEFBCDAEFBCDAMH 第4页共8页 两式相减得()()()11222nnnanan=故()()()212323nnnanan=2 分两式相减得()()()()1222223nnnnananan=+即()1223nnnaaan=+4 分又25S=，故12a=，23a=，故()13nann=+，经检验1,2n=也符合通项，故()1nann=+N5 分（2）由题易知12121nnnnncb bbb=，12211221nnnnncbbbb=()2n，两式相除得1 21nnncbbbc=()2n，又因为()()()()()222221321nnnbn
7、nn+=+，所以()()()()()2221 21232342 4 3 51323nnnnncb bbcnnn+=+()2n 7 分由累乘法可得：()()32121323 43 5,2 52 623nnnccccccn+=+()2n n-113423nccn=+()2n，1198cb=，()33223nncnn=+当1n=时，198c=也符合，()33123nncnn=+9 分则()n11 233 3nnc=+令()233nndn=+，设数列nd的前n 项和为nT()12222453333nnTn=+()23n 122224533333nTn+=+，第5页共8页 由错位相减法可得：()2311
8、822223333333nnnTn+=+=()114219382323313nnn+=224433nn+11 分所以()2122123nnTn=+，则121112244433nnnccc+=+即得121114nccc+12 分20（12 分）（1）解：由已知可得：22321caac=+，解得：2a=，3c=椭圆的方程为：2214xy+=4 分（2）()2,0M 设 AB 的直线方程为：xtym=+，()11,A x y，()22,B xy 联立方程：22440 xtymxy=+=整理得：()2224240tymtym+=12224mtyyt+=+，212244my yt=+6 分 2AMB=，
9、()()()12121 21212220240 xxy yx xxxy y+=+=()()()1212122240tymtymtytymy y+=，即()()()()2212121220ty ymttyym+=()()()2222242122044mmttmttmtt+=+第6页共8页()()()()222 222214244440tmm tmtmmt+=()22222 222 2222442444164160t mtmm tmtm tmmtmt+=整理得2516120mm+=，解得65m=或2m=（舍去）65xty=9 分()()122122125464254tyyty yt+=+=+()2
10、2121212216832256424255254DABtSyyyyy yt+=+=+=+11 分 令()225648tu u+=，22323232326436366425362584825DABuuSuuuu=+当且仅当8u=时，即0t=时等号成立，此时DABS最大值为 6425 12 分 21（12 分）（1）解：因为()eexfx=，1 分当)1,x+时，()0fx，()f x 单调递增；当(),1x 时，()0fx，()f x 单调递减；所以，()()min10f xf=，即()f x 的最小值为 03 分（2）()()()e2e1xh xfxg xaxa=+，()e2xh xa=因为
11、()0,1x，所以1eex，即1 2e2e2xaaa 若12a 或e2a 时，函数()h x 在区间()0,1 上单调，所以()h x 在()0,1 上至多有一个零点，不符合题意，所以 1e22a5 分 第7页共8页 当 1e22a，()e2xh xa=，则()h x 在区间(0,ln2a 上单调递减，在区间)ln 2,1a上单调递增，所以()()()minln232 ln 2e 1h xhaaaa=+如果()h x 在()0,1 上存在两个零点，则()00h，()10h且()min0h x由()()02e0110haha=+=+，得e21aa，又 1e22a，且 e11,e222，所以e21
12、a8 分下面证明e21a 时，()()()minln232 ln 2e 10h xhaaaa=+令()()32 ln 2e 1m aaaa=+，则()1 2ln2m aa=，当e12a时，()0m a，()m a 单调递减；当ee22a时，()0m a，()m a 单调递增；所以()maxe2m am=3ee ln ee 1ee 12=+=+又因为()2ee 1，所以ee 1，所以ee 10+，即()min0h x恒成立因此，当e21a 时，()h x 在()0,1 上有两个零点，综上所述，e21a 满足题意 12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，
13、则按所做的第一题计分作答时请写清题号22（10 分）（1）解：直线l 的参数方程为322112xtyt=+=+（t 为参数），2 分 第8页共8页 曲线C 的标准方程为22194xy+=4 分（2）把直线l 的参数方程代入22194xy+=，可得：()2218 391104 tt+=，7 分又()28 3911 21=+0，所以方程有两个不同的实根，设 12,t t 是方程的两个实根，则 1244t21t=，9 分所以121 24421PA PBttt t=10 分23（10 分）（1）解：()2222222abcabcabbcca+=+()222329abc+=4 分所以3abc+，当且仅当abc=时等号成立 5 分（2）由（1）可知2121()xxabc+对一切实数a，b，c 恒成立，等价于1219xx+7 分令()311121212132x,xg xxxx,xx,x=+=+当1x 时，393xx，当112x 时，297xx+，舍去，当12x 时，393xx ，即3x 或3x 综上所述，x 取值范围为(),33,+10 分
