1、第7讲三角恒等变换与正、余弦定理高考年份全国卷全国卷全国卷2020解三角形T16解三角形T7三角恒等变换与求值T92019三角恒等变换与求值T102018解三角形T6三角恒等变换与求值T4解三角形T91.2019全国卷已知0,2,2sin2=cos2+1,则sin=()A.15B.55C.33D.2552.2018全国卷在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.253.2020全国卷在ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()A.19B.13C.12D.234.2018全国卷ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AB
2、C的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.65.2018江苏卷在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.6.2020全国卷如图M2-7-1,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,ABAC,ABAD,CAE=30,则cosFCB=.图M2-7-1三角恒等变换与求值1(1)已知cos4+=223,则sin2的值是()A.-79B.-29C.29D.79 (2)若sin+5=-13,(0,),则cos20-=()A.4-26B.-4+26C.-4-26D.4-26或-4-2
3、6【规律提炼】三角恒等变换主要是利用两角和与差的公式及二倍角公式解决相关的三角函数问题.一般地,若0,应该选择计算它的余弦值,若-2,2,应该选择计算它的正弦值,可以避免不必要的两解.如果题中给出的是部分角的正切值,那么可以去求所求角的正切值.总之,要根据角的范围合理选择正弦、余弦、正切,减少讨论.测题1.设,满足tan+34=3,tan+4=2,则tan(+)=()A.-1B.-12C.17D.12.已知tan+4=12,则tan-2=.3.无字证明就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来.请根据图M2-7-2写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:.图M2-7-2利用正、余
4、弦定理解三角形角度1三角形中基本量的求解2(1)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C=23,sinB=3sinA,若ABC的面积为63,则c=()A.22B.226C.214D.47(2)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则“asinB=b+csinC+sinA”是“ABC为等腰三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【规律提炼】三角形中共有七个几何量(三边三角以及外接圆的半径),一般地,知道其中的三个量(除三个角外),可以求得其余的四个量.(1)如果知道三边或两边及其夹角,那么用余弦定理;(2)如果知道两边
5、及一边所对的角,那么用正弦定理(也可以用余弦定理求第三条边);(3)如果知道两角及一边,那么用正弦定理.测题1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acosC-(2b-c)cosA=0,则角A的大小为()A.4B.3C.2D.342.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=60,b1,c=a+12,则当ABC的周长最短时,b的值为()A.2+22B.2C.1+22D.1+23.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,则A=.角度2三角形的综合问题3(1)设a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C的
6、对边,且满足cosAa+cosBb=23sinC3a,若b=2,则ABC的面积的最大值为()A.3B.23C.233D.12(2)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积等于8,a=5,tanB=-43,则ABC的外接圆的半径为()A.565B.5652C.5654D.5658【规律提炼】三角形的综合问题,常常和基本不等式、基本函数甚至导数相联系,特别地,如a+b+ab2ab+ab,再令ab=t,转化成二次函数问题,或a+b+aba+b+a+b22,再令a+b=t,转化成二次函数问题等.有时利用余弦定理、正弦定理与等角(或角互补)构造等式解题.测题1.我国南宋著名数学家
7、秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式,设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=14a2c2-(a2+c2-b22)2,若a2sinC=5sinA,(a+c)2=16+b2,则利用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()A.32B.3C.12D.22.在ABC中,若B=3,AC=3,则AB+2BC的最大值为.3.如图M2-7-3,在平面凸四边形ABCD中,AB=AD=CD=2BC=4,P为对角线AC的中点.若PD=3PB,则PD=,ABC=.图M2-7-3解三角形的实际应用4(1)如图M2-7-4,为测量某公园内湖的岸边A,B两处间
8、的距离,一无人机在空中P点处测得A,B的俯角分别为,此时无人机的高度为h,则A,B间的距离为()图M2-7-4A.h1sin2+1sin2-2cos(-)sinsinB.h1sin2+1sin2+2cos(-)sinsinC.h1cos2+1cos2-2cos(-)coscosD.h1cos2+1cos2+2cos(-)coscos(2)春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,开始时使用提水吊杆桔槔,后发展成辘轳.19世纪末,由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.图M2-7-5为灌溉抽水管道在等高图上的投影,在A处测得B处的仰角为37,在A处测得C处的仰角
9、为45,在B处测得C处的仰角为53,A点所在等高线值为20米,若BC管道长为50米,则B点所在等高线值为参考数据:sin37=35()图M2-7-5A.30米B.50米C.60米D.70米【规律提炼】解三角形的实际应用主要体现在解决一些实际问题中的测高和测距问题,这样就需要将实际问题中已知以及待求的角度、距离等融合到一个或几个三角形中,再结合正、余弦定理求解.测题1.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的,这种挤压一直在进行,珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻,气候恶劣,通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们携带高精度测量仪器,采用分段测量的方法,从山脚开始,直到到达
10、山顶,再把所有的高度差累加,就会得到珠峰的高度.2020年5月,中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中,已知竖立在B点处的测量觇标BC高10米,攀登者们在A处测得觇标底点B和顶点C的仰角分别为70,80,如图M2-7-6所示,则A,B的高度差约为(参考数据:sin700.94,sin800.98)()图M2-7-6A.10.00米B.9.80米C.9.40米D.8.62米2.如图M2-7-7,某湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观
11、景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米,则MN的长度为千米.若MPN与BAC互补,记MNP=,两条观光线路PM与PN之和为y千米,则把y表示为的函数为y=.图M2-7-7第7讲三角恒等变换与正、余弦定理真知真题扫描1.B解析2sin2=cos2+14sincos=2cos2,因为0,2,所以cos0,所以2sin=cos,代入sin2+cos2=1得sin2=15,而0,2,所以sin=55.2.A解析cosC=2cos2C2-1=2552-1=-35,所以由余弦定理得AB2=12+52-215-35=32,所以AB=42.3.A解析在ABC中,AB2=BC2
12、+AC2-2BCACcosC=32+42-23423=9+16-16=9,所以AB=3,故ABC为等腰三角形,根据题意得sinB2=23,则cosB=1-2sin2B2=1-2232=19.4.C解析由三角形的面积公式可得,a2+b2-c24=12absinC,所以a2+b2-c22ab=sinC.由余弦定理得,a2+b2-c22ab=cosC,所以cosC=sinC,又C(0,),所以C=4.5.9解析方法一:由ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,得ABD=CBD=60.由SABC=SBAD+SBCD,得12acsin120=12aBDsin60+12cBDsin60,又BD=1,所
13、以ac=a+c,则1a+1c=1.而a0,c0,所以4a+c=(4a+c)1a+1c=4+4ac+ca+15+24acca=9当且仅当4ac=ca,即c=2a时,取等号.因此4a+c的最小值为9.方法二:以B为坐标原点,BD所在直线为x轴建立直角坐标系,则D(1,0),Ac2,3c2,Ca2,-3a2,故AD=1-c2,-3c2,DC=a2-1,-3a2,又ADDC,所以1-c2-3a2=a2-1-3c2,整理得ac=a+c,以下同方法一.6.-14解析由题知,BD=2AB=6,BC=2,AE=AD=3,BF=BD=6.在ACE中,由余弦定理CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12
14、+(3)2-213cos30=1,得CE=1,则CF=CE=1.在BCF中,由余弦定理得cosFCB=BC2+CF2-BF22BCCF=22+12-(6)2221=-14.考点考法探究小题1例1(1)A(2)C解析(1)由题意可知cos4+=cos4cos-sin4sin=22(cos-sin)=223,所以cos-sin=43,平方可得1-sin2=169,解得sin2=-79.故选A.(2)因为+5+20-=4,所以20-=4-+5.因为(0,),所以+55,65,又因为sin+5=-130,a=b,ABC为等腰三角形,故充分性成立.必要性:若ABC为等腰三角形,则a=c或b=c或a=b,
15、等式asinB=b+csinC+sinA可化为(a-b)(a+b+c)=0,只有当a=b时等式成立,故必要性不成立.综上所述,“asinB=b+csinC+sinA”是“ABC为等腰三角形”的充分不必要条件.故选A.【自测题】1.A解析acosC-(2b-c)cosA=0,由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA.sinB0,cosA=22.0A1,则l=a+b+c=2b2-b2+14b-1+b+12=3(b-1)+32(b-1)+9223(b-1)32(b-1)+92=92+32,当且仅当3(b-1)=32(b-1),即b=1+22
16、或b=1-22(舍)时取等号,所以当ABC的周长最短时,b的值为1+22.故选C.3.6解析由sinC=23sinB及正弦定理,可得c=23b.根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA.由c=23b,a2=b2+c2-2bccosAa2-b2=3bc,得cosA=32.由0A0,所以sinB=32,又B0,2,所以cosB=12.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=4,又4=a2+c2-ac2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立,所以ac4.因为ABC的面积S=12acsinB,所以当ac=4时,S取得最大值,Smax=12432=3.故选A.(2)
17、因为tanB=-430,所以B2,所以sinB=45,cosB=-35.因为ABC的面积等于8,所以12acsinB=8,即125c45=8,解得c=4.由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=25+16-254-35=65,所以b=65.设ABC的外接圆的半径为R,则由正弦定理得,2R=bsinB=6545,所以R=5658.故选D.【自测题】1.D解析由a2sinC=5sinA及正弦定理得a2c=5a,即ac=5.因为(a+c)2=16+b2,所以a2+c2-b2=16-2ac=6,所以ABC的面积为1452-(62)2=2.故选D.2.27解析设A=,由题意及正弦定理得ABsin
18、(23-)=BCsin=ACsinB=332=2,AB=2sin23-,BC=2sin,AB+2BC=2sin23-+4sin=27sin(+),其中sin=2114,cos=5714.0,23,当+=2时,AB+2BC取得最大值,最大值为27.3.323解析设PB=x,则PD=3PB=3x.因为DA=DC,P为AC的中点,所以DPAC,PA=PC,AP2=AD2-DP2=16-3x2.又APB+CPB=,所以cosAPB+cosCPB=0,即AP2+PB2-AB22APPB+PB2+PC2-BC22PBPC=0,代入数据有16-3x2+x2-162x16-3x2+16-3x2+x2-42x1
19、6-3x2=0,解得x=3,所以PD=3x=3.在ABC中,由余弦定理得,cosABC=BA2+BC2-AC22BABC=16+4-4(16-9)242=-12,又ABC(0,),所以ABC=23.小题3例4(1)A(2)B解析(1)如图所示,设点P在AB上的射影为O,在RtPOB中,可得PB=hsin.在ABP中,由正弦定理得ABsin(-)=PBsinPAB=PBsin,所以AB=PBsin(-)sin=hsin(-)sinsin=hsin2(-)sin2sin2=h(sincos-cossin)2sin2sin2=hsin2cos2+cos2sin2-2sincoscossinsin2s
20、in2=hcos2sin2+cos2sin2-2coscossinsin=h1-sin2sin2+1-sin2sin2-2coscossinsin=h1sin2+1sin2-2-2coscossinsin=h1sin2+1sin2-2sinsin+2coscossinsin=h1sin2+1sin2-2cos(-)sinsin,故选A.(2)由题意,作出示意图如图所示.由已知得BC=50米,CAE=45,BAE=37,CBF=35.设BD=x米,则AD=BDtan37=BDcos37sin37=43x(米),CF=BCsin53=50cos37=5045=40(米),BF=BCcos53=50
21、sin37=5035=30(米).由AE=CE,得43x+30=x+40,解得x=30.又A点所在等高线值为20米,故B点所在等高线值为20+30=50(米).故选B.【自测题】1.C解析根据题意画出示意图,如图所示,则CB=10米,OAB=70,OAC=80,所以CAB=10,ACB=10,所以AB=BC=10米,所以在RtAOB中,BO=10sin709.40(米).2.2343sin(+30)解析在AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AMANcos120=12,解得MN=23(千米).MNP=,MPN=60,PMN=120-.在PMN中,由正弦定理,得MNsin60=PMsin=PNsin120-,PM=4sin(千米),PN=4sin(120-)(千米),PM+PN=4sin+4sin(120-)=4sin+32cos+12sin=6sin+23cos=43sin(+30)(千米),y=43sin(+30).
