1、惠州市2015届高三第三次调研考试 数 学 试 题（理科） 2015.1【试卷综述】试题紧扣教材，内容全面，题型设计合理、规范，体现了新课程数学教学的目标和要求，能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。本试题知识点覆盖面广，重视基本概念、基础知识、基本技能的考察，同时也考查了逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。难度、区分度都很好，以基础题为主，但又穿插有一定梯度和灵活性的题目，总体而言，通过这次模拟考试，能够起到查漏补缺，发现薄弱章节，便于调整复习的作用.【题文】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.【题文】1若集合，则( )A. B. C. D.【知识点】集合的交集的运算.A1【答案】【解析】A 解析：由得，；由得，。故选A.【思路点拨】先对两个集合化简再求交集即可。【题文】2下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )A. B. C. D.【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.B3 B4【答案】【解析】C 解析：首先是偶函数，且在上单减，而，故满足条件。故选C.【思路点拨】须依次判断每个选项，同时满足既是偶函数又在区间上单调递减的即为正确结果。【题文】3“”是“”成立的( )条件A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不
3、必要【知识点】充要条件.A2【答案】【解析】B 解析：由不等式的性质知，当时，成立；反之，例如取，显然，而不成立。故选B.【思路点拨】进行双向判断即可.【题文】4设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【知识点】双曲线的性质.H6【答案】【解析】A 解析：由已知知，所以，所以。故选A.【思路点拨】根据已知条件先求出a,b,c,再计算离心率即可.【题文】5空间中，对于平面和共面的两直线、，下列命题中为真命题的是( )A.若，则 B.若，则C.若、与所成的角相等，则 D.若，则【知识点】空间中线面、面面的位置关系的判断.G4 G5【答案】【解析】D 解析：当，
4、时，必有或与异面直线，而与是共面的两条直线，所以。故选D.【思路点拨】利用判定定理依次做出判断。【题文】6某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )A.840 B.720 C.600 D.30【知识点】排列组合；分类计数原理.J1 J2【答案】【解析】B 解析：分两类。第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为 种，第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为种，根据分类计数原理，满足条件的方法种数为480+240=720种。故选B.【思路点拨】分两类。第一类：先计算甲、乙两人中恰有一人参加的方法种数，第二类：甲、乙两人同时
5、参加的方法种数，再根据分类计数原理求和即可。【题文】7数列，满足对任意的，均有为定值若 ，则数列的前100项的和( )A.132 B.299 C.68 D.99【知识点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.D2 D4【答案】【解析】B 解析：对任意的，均有为定值，故，是以3为周期的数列，故，。故选B.【思路点拨】先由为定值得到，判断出周期后，再求和即可。【题文】8在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为给出下列命题：(1)若，则的最大值为；(2)若是圆上的任意两点，则的最大值为；(3)若，点为直线上的动点，则的最小值为其中为真命题的是( )A. (1) (2) (3) B. (2)
6、C. (3) D. (2) (3)【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】D 解析：对于（1），的最大值为，故（1）不正确。对于（2），要使最大，必有两点是圆上关于原点对称的两点，可设，则。故（2）正确；对于（3），设，则，去掉绝对值后可知当 时，取得最小值。故（3）正确。故选D.【思路点拨】根据折线距离的定义分别判断3个命题的真假，最后综合讨论结果，可得答案【题文】二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）【题文】（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9某校有名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名
7、奥运火炬手，抽到高一男生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为_【知识点】分层抽样方法 I1【答案】【解析】30 解析：由条件有，而抽样比例为，故高二抽取的学生人数为人。故答案为30.【思路点拨】先求出每个个体被抽到的概率，由抽到高一男生的概率是0.2 求得x的值，可得高二年级的人数再用高二年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得所求【题文】10已知，若，则实数_【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】8 解析：，。故答案为8.【思路点拨】根据题意，求出，由，得，从而求出k的值【题文】11已知复数 ()，若，则实数的值为_【知识点】复数相等的条件.
8、L4【答案】【解析】 解析：，。故答案为.【思路点拨】把复数平方后利用复数相等的条件即可解得a.【题文】12已知，使不等式恒成立，则实数的取值范围是_【知识点】函数恒成立问题E2【答案】【解析】 解析：易知的最小值为4，故实数的取值范围是。故答案为.【思路点拨】根据不等式成立，只需求出的最小值即可【题文】13是平面内不共线的三点，点在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在内，则这粒黄豆落在内的概率为_【知识点】几何概型.K3【答案】【解析】 解析：由,得，设到距离，如图，则，所以，所以所求概率为 .故答案为.【思路点拨】由已知得，设C到AB距离d，求出PBC的面积，利用几何概型的概率公式解答【题文
9、】（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。【题文】14（坐标系与参数方程选做题）已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是_【知识点】圆的参数方程；直线与圆相交的性质N3【答案】【解析】 解析：因为直线的普通方程为，圆C的普通方程为，故圆C的圆心到直线的距离，解得,故答案为.【思路点拨】把参数方程化为普通方程，由直线和圆有交点可得圆心到直线的距离小于或等于半径，解不等式求得实数a的取值范围【题文】15（几何证明选讲选做题）如图1，点都在圆上，过点的切线交的延长线于点，若，则线段的长为_【知识点】与
10、圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角.N1【答案】【解析】 解析：由切割线定理知，又易知，故，故。故答案为.【思路点拨】根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度【题文】三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）【题文】16（本小题满分12分）已知函数，（其中），其部分图像如图2所示（1）求函数的解析式； （2）已知横坐标分别为、的三点都在函数的图像上，求的值【知识点】余弦定理；向量在几何中的应用；由y=Asin（x+
11、）的部分图象确定其解析式C4 C8 F4【答案】【解析】（1）;（2）解析：（1）由图可知， ， 1分最小正周期 所以 3分 又 ，且 所以， 5分所以 6分(2) 解法一: 因为，所以， 8分，从而， 10分由，得. 12分解法二: 因为，所以， 8分, 则. 10分由，得. 12分【思路点拨】（1）根据图象，可得函数的最小正周期T=8，结合周期公式得再根据f（1）=1是函数的最大值，列式可解出的值，得到函数f（x）的解析式；（2）由（1）的解析式，得出M、N、P三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN、PN、PM的长，用余弦定理算出cosMNP的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sinMN
12、P的值【题文】17（本小题满分12分） 惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望； （2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到个新球的概率 参考公式：互斥事件加法公式：（事件与事件互斥）独立事件乘法公式：（事件与事件相互独立）条件概率公式：【知识点】条件概率与独立事件；相互独立事件的概率乘法公式K1 K5【答案】【解析】（1）分布列见解析；（2） 解析：（1）的所有可能取值为0，1，2 1分设
13、“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以， 3分， 5分 7分所以的分布列为012的数学期望为 8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件而事件、互斥，所以由条件概率公式，得，9分，10分11分所以 12分所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为。【思路点拨】（1）的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即=i）”为事件Ai（i=0，1，2），求出相应的概率，可得的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，
14、则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A0B+A1B+A2B而事件A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论【题文】18（本小题满分14分）三棱柱的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值【知识点】用空间向量求平面间的夹角； 直线与平面垂直的判定G10 G11【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：由三视图可知，几何体为直三棱柱，侧面为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，2分（1）直三棱柱中，平面，平面， ，D为AC的中点，又面，面，且，平面，又面，.6分 又，又面，面，且，面，面，在正方形中，又面，面
15、，且，面，又面，.8分由，又面，面，且，面. 9分（2）解法一（空间向量法）以为原点建系，易得设平面的法向量由，得令，得.12分又平面的法向量设二面角的平面角为，所以.14分解法二：所求二面角与二面角互余，取中点，有平面，过作垂线，垂足为，所以二面角的平面角是11分，因为二面角与二面角互余，所以二面角的正切值为；.14分解法三（补形）如图补成正方体，易得为二面角的平面角，.14分【思路点拨】（1）证明A1C平面BDC1，利用线面垂直的判定，只需证明BDA1C，B1CA1C；（2）补成正方体，则O1OS为二面角的平面角，利用正切函数可得结论【题文】19(本小题满分14分)已知数列的前项和，且（1
16、）求数列的通项公式；（2）令，是否存在，使得、成等比数列若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由【知识点】等比关系的确定；等差数列的通项公式D2 D3【答案】【解析】（1）；（2）不存在，使得、成等比数列 解析：（1）解法1：当时，2分即4分所以数列是首项为的常数列5分所以，即 所以数列的通项公式为7分解法2：当时， 2分即 4分5分因为，符合的表达式 6分所以数列的通项公式为 7分（2）假设存在，使得、成等比数列，则8分因为，所以 11分 13分这与矛盾故不存在，使得、成等比数列14分【思路点拨】（1）直接利用an=Sn-Sn-1 （n2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时
17、通项是否成立）（2）先利用（1）的结论求出数列bn的通项，再求出bkbk+2的表达式，利用基本不等式得出不存在，使得、成等比数列【题文】20（本小题满分14分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求的值；（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，若点满足，证明：点在椭圆上【知识点】抛物线与椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系；向量知识的运用。H5 H6【答案】【解析】（1），；（2）见解析；（3）见解析 解析：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，.1分抛物线 .2分同理由椭圆上、下焦点及左、右顶
18、点均在圆上可解得： 4分得椭圆.5分（2）设直线的方程为，则联立方程组，消去得：.6分且 .7分由得：整理得： .8分 .9分（3）设，则由得 .10分 .11分 12分由+得 .13分满足椭圆的方程，命题得证.14分【思路点拨】（1）由抛物线的焦点在圆上得 p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；（2）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合，从而可求1、2的值，即可得证；（3）设P，Q的坐标，先确定S的坐标，利用及P，Q在椭圆上，即可证得结论【题文】21（本小题满分14分）已知函
19、数，过点作曲线的两条切线，切点分别为， （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）设，求函数的表达式； （3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在个数使得不等式成立，求的最大值【知识点】函数的单调性及单调区间B3【答案】【解析】（1）；（2）；（3）6 解析：（1）当时， -1分解得.-2分因为所以函数有单调递增区间为-3分（2）设，两点的横坐标分别为、，所以切线的方程为：-4分所以切线过点，所以有即同理，由切线过点，得 -5分由（1）、（2），可得的两根， -7分-8分把式代入，得因此，函数的表达式为 -9分（3）易知在区间上为增函数，则恒成立，所以不等式恒成立，即恒成立，-12分，由于为正整数，. -13 分又当，存在任意的正整数满足条件因此，的最大值为6. -14分【思路点拨】（1）用导数的符号为正求单调区间，（2）求过切点的切线方程，找出两切点关系，再利用两点间的距离公式求解即可，（3）利用函数的单调性转化为恒成立问题
