1、专题限时集训(四)数列1(2020全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则() A2n1B221nC22n1D21n1B法一：设等比数列an的公比为q，则由解得所以Sn2n1，ana1qn12n1，所以221n，故选B法二：设等比数列an的公比为q，因为2，所以q2，所以221n，故选B2(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10C10D12B法一：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B法二：设等差数列an的公差为d，3S3S
2、2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd.a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B3(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8C设an的公差为d，则由得解得d4.故选C4(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3 C3 D8A由已知条件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.故选A5(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B9
3、9 C98 D97C法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C6(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8 C4 D2C设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(
4、1248)15，所以a11，所以a3a1q24.7(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k()A2 B3 C4 D5C令m1，则由amnaman，得an1a1an，即a12，所以数列an是首项为2、公比为2的等比数列，所以an2n，所以ak1ak2ak10ak(a1a2a10)2k2k1(2101)2152525(2101)，解得k4，故选C8(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84Ba13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a
5、3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B9多选(2020浙江高考改编)已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且1.记b1S2，bn1S2n2S2n，nN*，下列等式可能成立的是()A2a4a2a6B2b4b2b6Caa2a8Dbb2b8ABC由bn1S2n2S2n，得b2a3a42a15d，b4a7a82a113d，b6a11a122a121d，b8a15a162a129d.由等差数列的性质易知A成立；若2b4b2b6，则2(a7a8)a3a4a11a122a72a8，故B成立；若aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，则a1d，故C可能成立；若bb2b8，即(2a1
6、13d)2(2a15d)(2a129d)，则，与已知矛盾，故D不可能成立10(2020北京高考)在等差数列an中，a19，a51.记Tna1a2an(n1，2，)，则数列Tn()A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小值B设等差数列an的公差为d，a19，a51，a594d1，d2，an9(n1)22n11.令an2n110，则n5.5，n5时，an0；n6时，an0.T190，T2(9)(7)630，T3(9)(7)(5)3150，T4(9)(7)(5)(3)9450，T5(9)(7)(5)(3)(1)9450，当n6时，an0，且an1，Tn1Tn0，
7、Tna1a2an(n1，2，)有最大项T4，无最小项，故选B11(2020新高考全国卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_3n22n由题意可知2n1的项是连续的奇数，所以2n1与3n2的公共项即为3n2中的所有奇数项，所以当n为奇数时3n2的项为an，将k2n1代入3k2得6n5，故an6n5.nN*，故Snn3n22n.12(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_.法一：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.法二：设等比数列an的公比为q，因为aa6，
8、所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.13(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a10，a23a1，则_.4设等差数列an的公差为d，由a23a1，即a1d3a1，得d2a1，所以4.14(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.63法一：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632
9、.所以S61248163263.法二：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.15(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.16(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a31
10、0，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n22.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.17(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.设等差数列an的公差为d，则由得Snn11，2.22.18一题两空(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.1121an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，a11，S53434，
11、S5121.1(2020聊城模拟)已知等比数列an的各项均为正数，若log3a1log3a2log3a1212，则a6a7()A1 B3C6D9D因为等比数列an的各项均为正数，所以log3a1log3a2log3a12log3(a1a2a12)log3(a6a7)612，所以(a6a7)631296，所以a6a79，故选D2(2020四省八校联盟高三联考)在等差数列an中，a2a42，a53，则an的前6项和为()A6 B9 C10 D11B设an的公差为d，由等差数列的性质知a2a42a32，则a31.所以d1，a4a5d2，所以S63(a3a4)3(12)9.3(2020洛阳尖子生第一次
12、联考)已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前9项和S9等于()A9 B18 C36 D72B因为数列an是等比数列，所以a2a8a4a5，又an0，所以a54，因为数列bn是等差数列，所以b4b62b5a54，所以b52，则数列bn的前9项和S99b518，故选B4(2020枣庄模拟)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10 C8 D2log35B由等比数列性质知，a5a6a4a72a5a618，所以a5a69，所以log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)lo
13、g39510.5(2020安徽示范高中名校联考)周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为()A1.5尺 B2.5尺 C3.5尺 D4.5尺D设这十二个节气的日影长构成等差数列an，由题意可知，a1a4a731.5，a1a2a985.5，求a10.设等差数列an的公差为d，则a1a4a73a431.5，得a410.5，由a1a2a99a585.5，得a59.5，则da5a41，则a10a55d4.5，
14、故选D6(2020威海模拟)定义为n个正数u1，u2，u3，un的“快乐数”若已知正项数列an的前n项的“快乐数”为，则数列的前2 019项和为()A BC DB设数列an的前n项和为Sn，则根据题意，Sn3n2n，所以anSnSn16n2(n2)，当n1时也适合，所以an6n2，所以，所以的前2 019项和为11.7(2020青岛模拟)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：Fn22n1(n0，1，2，)是质数直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F56416 700 417，不是质数现设anlog2(Fn1)，an的前n项和为Sn，则使不等式成立的正整数
15、n的最大值为()A11 B10 C9 D8D由题意知anlog222n2n，Sn2(2n1)，则，故，即11，所以，可得2n11 024，即n110，n9.故满足条件的正整数n的最大值为8.故选D8多选(2020济宁模拟)已知等差数列an的首项为1，公差d4，前n项和为Sn，则下列结论成立的有()A数列的前10项和为100B若a1，a3，am成等比数列，则m21C若，则n的最小值为6D若amana2a10，则的最小值为AB由已知可得：an4n3，Sn2n2n，2n1，则数列为等差数列，则前10项和为100，故A正确；a1，a3，am成等比数列，则aa1am，am81，即am4m381，解得m2
16、1，故B正确；因为，所以，解得n6，故n的最小值为7，故C错误；等差的性质可知mn12，所以(mn)(1724)，当且仅当时，即n4m时取等号，因为m，nN*，所以n4m不成立故选项D错误故选AB9多选(2020临沂模拟)已知数列an：，(其中第一项是，接下来的221项是，再接下来的231项是，依此类推)，其前n项和为Sn.则下列判断正确的是()A是an的第2 036项B存在常数M，使得SnM恒成立CS2 0361 018D满足不等式Sn1 019的正整数n的最小值是2 100ACD因为2112212101102 036，所以是an的第2 036项，所以A正确；因为Sn随着n的增大而增大，所以
17、不存在常数M，使得SnM恒成立，所以B错误；S2 0361 018，所以C正确；由1，解得n64，又S2 0361 018，所以满足不等式Sn1 019的正整数n的最小值是2 036642 100，所以D正确综上，正确的是ACD10多选(2020枣庄模拟)已知数列an满足2anan1an1(nN*，n2)，则()Aa54a23a1Ba2a7a3a6C3(a7a6)a6a3Da2a3a6a7AC由2anan1an1(n2)，可得anan1an1an，所以有a2a1a3a2an1an，所以a5a4a4a3a3a23(a2a1)，化简得a54a23a1，故选项A正确；由a7a6a3a2可得a7a2a
18、6a3，故选项B错误；由3(a7a6)a6a5a5a4a4a3a6a3，故可知选项C正确；若ann，满足2anan1an1(n2)，但a2a35a6a713，所以选项D错误故选AC11多选(2020淄博模拟)设a，bR，数列an满足a1a，an1ab，nN*，则下列说法不正确的是()A当b时，a1010B当b时，a1010C当b2时，a1010D当b4时，a1010BCD当b时，因为an1a，所以a2，又an1aan，故a9a2()7()74，a10a3210.当b时，an1an2，故a1a时，a10，所以a1010不成立同理b2和b4时，均存在小于10的数x0，只需a1ax0，则a10x01
19、0，故a1010不成立所以选BCD12多选(2020东营模拟)在数列an中，a11，a22，a33，an3(1)nan11(nN*)，数列an的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A数列an为等差数列Ba1810Ca173 DS31146BD依题意得，当n是奇数时，an3an11，即数列an中的偶数项构成以a22为首项、1为公差的等差数列，所以a182(91)110.当n是偶数时，an3an11，所以an5an31，两式相减，得an5an1，即数列an中的奇数项从a3开始，每间隔一项的两项相等，即数列an的奇数项呈周期变化，所以a17a435a5.在an3an11中，令n2，得a5a31，因
20、为a33，所以a52，所以a172.对于数列an的前31项，奇数项满足a3a51，a7a91，a27a291，a31a473a33，偶数项构成以a22为首项、1为公差的等差数列，所以S31173152146.故选BD13多选(2020枣庄模拟)已知在ABC中，A1，B1分别是边BA，CB的中点，A2，B2分别是线段A1A，B1B的中点，An，Bn分别是线段An1A，Bn1B(nN*，n1)的中点，设数列an，bn满足anbn(nN*)，给出下列四个结论，其中正确的是()A数列an是递增数列，数列bn是递减数列B数列anbn是等比数列C数列(nN*，n1)既有最小值，又有最大值D若在ABC中，C
21、90，CACB，则|最小时，anbnABD由()，得，得()，所以an1，bn1，则数列an是递增数列，数列bn是递减数列，故A正确；数列anbn中，anbn，a1b1，即数列anbn是首项为，公比为的等比数列，故B正确；当n1时，数列中，1，所以数列递增，有最小值，无最大值，故C错误；若在ABC中，C90，CACB，则|2(ab)22anbn(ab)2，ab5625，当n1时，ab取得最小值，故当|最小时，anbn，故D正确故选ABD14(2020武汉部分学校质量检测)已知数列an满足an1anan1，a12，则a2 019_.1法一：由已知得，an11，所以an211，an311an，所以
22、数列an的周期为3.由a12，得a2，a31，所以a2 019a3673a31.法二：由an1anan1，得a2a1a11，又a12，所以a2，由a3a2a21，得a31，由a4a3a31，得a42，所以数列an的周期为3.于是，a2 019a3673a31.15(2020四省八校联盟高三联考)已知公比为整数的等比数列an的前n项和为Sn，且a24，S314，若bnlog2an，则数列的前100项和为_设等比数列an的公比为q，由题意知S3a1a2a3a14a314，则a1a310，即a1(1q2)10.又a2a1q4，所以a1，所以(1q2)4q10(q为整数)，所以q2，所以ana2qn2
23、42n22n.所以bnlog22nn，所以，所以数列的前100项和为1.16(2020洛阳尖子生第一次联考)已知数列an的首项a13，前n项和为Sn，an12Sn3，nN*，设bnlog3an，数列的前n项和为Tn，则Tn的取值范围是_an12Sn3，当n2时，an2Sn13，当n2时，得an1an2an，即an13an；又a13，所以当n1时，a22S132a139，即a23a1.所以an13an对所有的n1都成立，所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an3n，bnlog33nn，所以.则Tn123n，所以Tn123n，所以Tn，即Tn，又Tn1Tn0，所以数列Tn是递增数列，
24、且当n时，43n远大于2n3，即n时，0，所以Tn，所以T1Tn，即Tn的取值范围是.17一题两空(2020济宁模拟)设数列an的前n项和为Sn，4Sn(2n1)an1(nN*)定义数列bn如下：对于正整数m，bm是使不等式anm成立的所有n的最小值则bm_，数列bn的前60项的和为_960由4Sn(2n1)an1，得当n2时，4Sn1(2n1)an11，两式相减，得4an(2n1)an(2n1)an1，即(2n3)an(2n1)an1，所以，所以.又4S14a1(21)a11，解得a11，所以an2n1(n2)，又a11也适合，所以an2n1(nN*)由anm，得2n1m，所以n，所以满足条
25、件anm的n的最小值为大于等于的整数，所以bm所以数列bn的前60项和为960.18一题两空(2020聊城模拟)已知数列an的前n项和为Sn，满足Snan2bn(a，b为常数)，且a9，则a1a17_；设函数f (x)2sin 2x2sin2，ynf (an)，则数列yn的前17项和为_17当n2时，anSnSn1an2bna(n1)2b(n1)2naab.又当n1时，a1S1ab，满足an2naab，所以an2naab，所以数列an为等差数列，故a1a172a9.由题意得f (x)sin 2xcos x1，所以y1y17f (a1)f (a17)sin 2a1cos a11sin 2a17c
26、os a171sin 2a1cos a11sin(22a1)cos(a1)12，同理，y2y162，y8y102.又易得y9f (a9)1，所以数列yn的前17项和为28117.19一题两空(2020德州模拟)已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2an1，则an_；若数列(1)nan的前n项和为Tn，则满足对不大于n0的任意正整数n，不等式Tn2 019恒成立的正整数n0的最大值为_2n113在Sn2an1中，令n1，得a11.由Sn2an1，得Sn12an11，两式相减，得an12an.又a10，所以an是首项为1，公比为2的等比数列，所以an2n1.又(1)nan(1)n2n1，2，所
27、以易知数列(1)nan是首项为1，公比为2的等比数列，所以Tn.令Tn2 019，则(2)n6 058.因为(2)124 096，(2)138 192，(2)1416 3846 058，所以满足对不大于n0的任意正整数n，不等式Tn2 019恒成立的正整数n0的最大值为13.20一题两空(2020威海模拟)已知数列an的前n项和为Sn，数列是首项为，公差为的等差数列若x表示不超过x的最大整数，如0.50，lg 4992，则an_；数列lg an的前2 000项的和为_3 782数列是首项为，公差为的等差数列，所以(n1)，得Sn，当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1.又a1也适合上式，
28、所以an(nN*)，所以lg an，数列lg an的前2 000项和为lg a1lg a2lg a3lg a2 000当n1时，1lg an0；当n2，3，4，19时，0lg an1；当n20，21，22，199时，1lg an2；当n200，201，202，1 999时，2lg an3；当n2 000时，lg an3.故数列lg an的前2 000项和为lg a1lg a2lg a3lg a2 00011180118021 80033 782.21一题两空(2020临沂模拟)在数列an中，a14，a26，且当n2时，an14an9，则an_；若Tn是数列bn的前n项和，bn，则当5(an13)为整数时，n_.24当n2时，由an14an9，得an134(an3)，又a233，所以数列an3从第二项起是首项为3，公比为4的等比数列，则an34n23，n2，所以an当n1时，T1b1，5(a23)Z，不符合题意因为n2时，bn，所以当n2时，Tnb1b2b3bn，则534n115.因为是整数，所以4n11是15的因数，所以4n11为1，3，5或15，易知当且仅当n2时，是整数，此时12，n24.
