1、3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程用向量证明两条直线垂直和求两直线夹角利用平面向量证明垂直关系 教学目标 1.掌握利用向量法证明两条直线垂直和求两条异面直线所成角的重要方法；2.通过本节课的学习，体会向量法在处理立体几何问题中的重要作用；3.提高分析与推理能力和空间想象能力.1 12 23 3a ba ba b2.什么是直线的方向向量？bababa,cos|,cosbababa直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。一、复习回顾1 12 23 3222222123123a ba ba baaabbb1向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：（2）
2、两向量夹角公式：),(321aaaa),(321bbbb 已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线m/a,n/b;我们把m与n所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。3、什么是异面直线及其夹角？夹角范围呢？不同在任何平面的直线叫做异面直线异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D设两异面直线 l1、l2的方向向量分别为1v 和2v，问题 1:若这两条直线互相垂直，1v 和2v 有怎样的关系？问题 2：当1v 与2v 的夹角不大于 90时，异面直线 l1、l2所成 的角 与1v 和2v 的夹角的关系？问题 3：1v 与2v 的夹角大于 90时，异面直线 l1、l2所成的角 与1v 和
3、2v 的夹角的关系？二、探究新知21,vvO1v2vO1v2v1v2v1v2v2v2v21,-vv我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空间两条直线垂直(当夹角为90时)设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则 1l2l121212120ll2l121l设两条直线所成角为，则 12cos|cos,|211l2lxyzHGFEABCDA1B1C1D1例 1 在棱长为 1 的正方体中1111DCBAABCD中，E、F 分别为 DD1、BD 的中点，G 在CD 上，且 CGCD/4，H 为 C1G 的中点，求证：EFB1C；求 EF 与 C1G 所成角的余弦值 （1）以 D 点为坐标原点，分
4、别以 DA，DC，DD1 所在直线为 X,Y,Z 轴建立空间直角坐标系，则 E(0，0，12),F(12,12,0),B1(1，1，1),C(0，1，0).所 以111 11()(1,0,1).0.2 22EFB CEFB C，1EFB C三、典例分析xyzHGFEABCDA1B1C1D11111111131(011)(00)(01)441111301224283172451cos,1751.17CGC GEF C GEFC GEF C GEF C GEF C GC G，于是而即EF与所成角的余弦值为（2）坐标法求异面直线所成的角步骤：1.利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系2.准确的标出各
5、相关点坐标，并求出各向量的坐标3.利用向量的数量积公式求出异面直线成角备注：此法相对简单，关键是建系、找点；务必充分利用题设中的垂直条件（线面垂直、面面垂直）和准确理解图形。方法感悟跟踪练习 如图，正三棱柱111CBAABC 的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC 和1CB 所成的角.ACB1AD1B1CxyZ解：如图，以 A 点为坐标原点，过点 A 做面 AB1 的垂线，分别以该垂线，AB，AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)2,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11aaBaaCaaaCA )2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1a
6、aaCB 即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC 1AC 和1CB 所成的角为 3 AyxCB1AD1B1C其他建系方法？例2 已知三棱锥O-ABC(如图)，OA=4，OB=5，OC=3，AOB=BOC=60，COA=90，M，N分别是棱OA，BC的中点，求异面直线MN与AC所成角的余弦。O A B C M N 向量解法解：设，直线MN与AC所成角为，则,OAa OBb OCc111()()222MNONOMbcabca已知三棱锥O-ABC(如图),OA=4,OB=5,OC=3,AOB=BOC=60，COA=90，M，N分别是棱OA，BC的中点，求异面直线MN与AC
7、所成角的余弦。OABCMNACca222222221|()41(|222)4145(45315200)44MNMNMNbcaabcb cabac222222|()|2)(430)25ACACACcaacac向量法求异面直线所成的角步骤：1.用基底来表示两条异面直线上的向量2.找出这些基底的长度及相互之间的夹角3.利用向量数量积公式求出夹角注意：异面直线所成的角与向量的夹角不同方法感悟跟踪练习已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN14CC1.求证：AB1MN.解题过程 证法一：设ABa，ACb，AA1 c，则由已知条
8、件和正三棱柱的性质，得|a|b|c|1，acbc0，AB1 ac，AM 12(ab)，ANb14c，MN ANAM 12a12b14c，AB1 MN(ac)12a12b14c1212cos 60000140.AB1 MN，AB1MN.证法二：设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A 12，0，0，B 12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，M为BC中点，M14，34，0.MN 14，34，14，AB1(1,0,1)，MN AB1 140140.MN AB1，AB1MN.1、在棱长为 2 的正方体1 1 11ABCD ABC
9、 D中，O 是底面 ABCD的中心，,E F 分别1,CC AD 的中点，那么异面直线OE和1FD 所成角的余弦值等于（）A、105 B、155 C、45 D、232在正三棱柱111A B C-ABC中，若1AB=2BB，则1AB 与1C B所成的角的大小为（）A60 B90 C105 D75 四、课堂检测BB参考图形参考图形3、如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值 求异面直线所成的角，可以先建立空间直角坐标系，求出直线AM与NC的方向向量的坐标形式，再利用向量的夹角公式计算即可解题过程 方法一：AM AA1
10、A1M，CN CB BN，AM CN(AA1 A1M)(CBBN)AA1 BN 12，|AM|AA1 A1M 2|AA1|2|A1M|2114 52，同理，|CN|52.设直线 AM 与 CN 所成的角为，则 cos AM CN|AM|CN|125425.直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为25.方法二：如图，把D点视为原点O，分别以DA、DC、DD1 方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系则A(1,0,0)，M1，12，1，C(0,1,0)，N1，1，12.AM 1，12，1(1,0,0)0，12，1.CN 1，1，12(0,1,0)1，0，12.故AM CN 011201121
11、2，|AM|0212212 52，|CN|1202122 52.设直线 AM 与 CN 所成的角为，则 cos AM CN|AM|CN|1252 5225.直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值为25.课堂小结1.用空间向量证明空间的垂直关系及求异面直线所成的角；2.方法：（1）坐标法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明；（2）向量法：用基底表示向量，进行运算收获:1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化.2.用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.练考题、验能力、轻巧夺冠
