1、第 1 课时 函数及其表示1函数与映射函数映射两集合A、B设 A，B 是两个非空数集设 A，B 是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数称对应 f：AB 为从集合 A到集合 B 的一个映射记法yf(x)(xA)对应 f：AB 是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，其中所有 x 组
2、成的集合 A 称为函数 yf(x)的定义域；将所有 y 组成的集合叫做函数 yf(x)的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数4常见函数定义域的求法类型x 满足的条件2n fx，nN*f(x)01fx与 f(x)0f(x)0logaf(x)(a0，a1)f(x)0logf(x)g(x)f(x)0，且 f(
3、x)1，g(x)0tan f(x)f(x)k2，kZ5.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)映射是特殊的函数()(4)若 AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()(6)函数是建立在其定义域到值域的映射()(7)函数 yf(x)的图象与直线 xa 最多有 2 个交点()(8)函数 f(x)x22x 与 g(t)t22t 是同一函数()(9)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集(
4、)(10)y x1x1 x1，其定义域为 1，)()考点一 求函数的定义域命题点1.已知函数具体解析式求定义域2.求抽象函数的定义域3.已知函数定义域求参数例 1(1)(2017山东淄博模拟)函数 f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是()A.13，B.13，1C.13，13D.，13解析：要使函数有意义，需满足1x0，3x10.解得13x1.答案：B(2)若函数 yf(x)的定义域是 0,2，则函数 g(x)f2xx1的定义域为_解析：由x10，02x2，解得 0 x1，即函数定义域是 0,1)答案：0,1)(3)(2016安徽合肥模拟)若函数 f(x)的定义域为 R，则 a 的取值范围
5、为_解析：由题意可得 2x22axa10 对 xR 恒成立x22axa0 恒成立4a24a0，得1a0.答案：1,0方法引航 简单函数定义域的类型及求法1已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式组求解.2抽象函数的定义域应注意：无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；对应f下的范围要一致.3已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式组，进而求范围.1函数 ylnx1x23x4的定义域为_解析：由x10 x23x40，得1x1.答案：(1,1)2已知函数 f(x)的定义域是 0,2，则函数 g(x)fx12 fx12 的定义域是_解析：因为函数 f(x)的
6、定义域是 0,2，所以函数 g(x)fx12 fx12 中的自变量 x 需满足0 x122，0 x122，解得：12x32，所以函数 g(x)的定义域是12，32.答案：12，323若函数 f(x)x2ax1的定义域为实数集 R，则实数 a 的取值范围为()A(2,2)B(，2)(2，)C(，22，)D2,2解析：函数的定义域为 R 等价于对xR，x2ax10，令 f(x)x2ax1，结合二次函数的图象(图略)，只需 a240 即可，解得实数 a 的取值范围为2,2，故选 D.答案：D考点二 求函数解析式命题点1.用待定系数法求解析式2.用换元法求解析式3.用方程组消元法求解析式4.用转化法求
7、解析式例 2(1)已知 f(x)是二次函数且 f(0)2，f(x1)f(x)x1，求 f(x)的解析式解析：设 f(x)ax2bxc(a0)，由 f(0)2，得 c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即 2axabx1，2a1，ab1，即a12，b32.f(x)12x232x2.答案：f(x)12x223x2(2)已知 f(1cos x)sin2x，求 f(x)的解析式解析：f(1cos x)sin2x1cos2x，令 t1cos x，则 cos x1t，t0,2，f(t)1(1t)22tt2，t0,2，即 f(x)2xx2，x0,2答案：f(x)2xx2，x0,2(3
8、)已知 f(x)2f1x x(x0)，求 f(x)的解析式解析：f(x)2f1x x，f1x 2f(x)1x.解方程组fx2f1x x，f1x 2fx1x，得 f(x)23xx3(x0)答案：f(x)23xx3(x0)(4)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则当1x0 时，f(x)_.解析：设1x0，则 0 x11，所以 f(x1)(x1)1(x1)x(x1)又因为 f(x1)2f(x)，所以 f(x)fx12xx12.答案：xx12方法引航 函数解析式的求法1待定系数法：若已知函数的类型如一次函数、二次函数，可用待定系数法；2换元
9、法：已知复合函数 fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；3消去法：已知 fx与 f或 fx之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 fx.4转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式.1若函数 yf(x)为一次函数且 f(f(x)4x3，则 f(x)_.解析：设 f(x)axb(a0)，f(f(x)af(x)ba(axb)ba2xabb.a2xabb4x3.a24，abb3，a2，b1，或a2，b3.f(x)2x1 或 f(x)2x3.答案：2x1 或2x32已知 f
10、x1x x21x2，求 f(x)的解析式解：由于 fx1x x21x2x1x22，所以 f(x)x22，x2 或 x2，故 f(x)的解析式是 f(x)x22(x2 或 x2)3已知函数 f(x)满足条件：2f(x)3f(x)2x，则 f(x)_.解析：2f(x)3f(x)2x，2f(x)3f(x)2x.，得f(x)f(x)0，f(x)f(x)，2f(x)3f(x)2x，f(x)25x.答案：25x考点三 分段函数及应用命题点1.求分段函数的函数值 2.求分段函数的方程 3.求分段函数的不等式例 3 已知函数 f(x)x11x0，x10 x1，则 f(x)f(x)1 的解集为()A(，1)(1
11、，)B.1，12(0,1C(，0)(1，)D.1，12(0,1)解析：当1x0 时，0 x1，此时 f(x)x1，f(x)(x)1x1，f(x)f(x)1 化为2x21，解得 x12，则1x12.当 0 x1 时，1x0，此时，f(x)x1，f(x)(x)1x1，f(x)f(x)1 化为2x21，解得 x32，则 0 x1.故所求不等式的解集为1，12(0,1答案：B方法引航 分段函数的求法 1求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 ffa的形式时，应从内到外依次求值.2求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出
12、相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.1若本例中函数 f(x)不变，求 f(1)ff12 的值解：f(1)110，f12 12 112ff12 12，f(1)ff12 01212.2若本例中 f(x)不变，求实数 a，使 f(a)a.解：当 0a1 时，f(a)a1a1a，即 a12.当1a0 时，f(a)a1a.a12.综上：a12.3若本例中 f(x)不变，解不等式 f(x)1.解：当1x0 时，x11，x01x0当 0 x1 时，x11，x2，0 x1.综上不等式解集为1,0)(0,1思想方法分类讨论思想解决分段函数问题形分而神不分解决分段函数问
13、题的基本思想是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化典例(2017福建福州一模)函数 f(x)2x28ax3，x1，logax，x1在 xR 内单调递减，则 a 的范围是()A.0，12 B.12，1C.12，58D.58，1解析 要求此函数的两段均为减函数，并且 x1 时第一段的函数值在第二段的上方或者相等，即2a1，0a1，28a3loga1，解得a12，0a1，a58，故12a58.答案 C回顾反思 此题易忽略“28a3loga1”，不能从整体上把握分段函数为减函数的概念，即“神不分”高考真题体验
14、1(2016高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y10lg x 的定义域和值域相同的是()Ayx Bylg xCy2xDy 1x解析：选 D.函数 y10lg x 的定义域、值域均为(0，)，而 yx，y2x 的定义域均为 R，排除 A，C；ylg x 的值域为 R，排除 B，函数 y 1x的定义域、值域均为(0，)故选 D.2(2014高考上海卷)设 f(x)xa2，x0，x1xa，x0.若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围为()A1,2 B1,0C1,2 D0,2解析：选 D.当 x0 时，f(x)(xa)2，又 f(0)是 f(x)的最小值，a0.当 x0
15、 时，f(x)x1xa2a，当且仅当 x1 时取“”要满足 f(0)是 f(x)的最小值，需 2af(0)a2，即 a2a20，解得1a2，a 的取值范围是 0a2.3(2016高考江苏卷)函数 y 32xx2的定义域是_解析：要使函数 y 32xx2有意义，则 32xx20，解得3x1，则函数y 32xx2的定义域是3,1答案：3,14(2016高考江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上，f(x)xa，1x0，25x，0 x1，其中 aR 若 f52 f92，则 f(5a)的值是_解析：由题意可得 f52 f12 12a，f92 f12 2512 110，
16、则12a 110，a35，故 f(5a)f(3)f(1)13525.答案：255(2016高考浙江卷)设函数 f(x)x33x21.已知 a0，且 f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数 a_，b_.解析：因为 f(x)f(a)x33x2a33a2，(xb)(xa)2(xb)(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2b，所以32aba22ab0a33a2a2b，解得 a2，b1.答案：2 16(2016高考天津卷)已知函数 f(x)x24a3x3a，x0，logax11，x0(a0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2x3恰有两个不相等的实数解
17、，则 a 的取值范围是_解析：先根据函数 f(x)的单调性确定 a 的一个取值范围，作出函数 y|f(x)|，y2x3的图象，观察图象确定交点的个数，求出 a 的取值范围因为函数 f(x)在 R 上单调递减，所以024a303af0，34a20，0a1.解得13a34.作出函数 y|f(x)|，y2x3的图象如图由图象可知，在 0，)上，|f(x)|2x3有且仅有一个解；在(，0)上|f(x)|2x3同样有且仅有一个解，所以 3a2，即 a23.综上可得13a23，所以 a 的取值范围是13，23.答案：13，23 课时规范训练A 组 基础演练1函数 f(x)log2(x1)的定义域为()A(
18、0，)B1，)C(1，)D(1，)解析：选 C.由 x10 知 x1，故选 C.2f(x)与 g(x)表示同一函数的是()Af(x)x21与 g(x)x1x1Bf(x)x 与 g(x)x3xx21Cyx 与 y(x)2Df(x)x2与 g(x)3 x3解析：选 B.选项 A，C 中的函数定义域不同，选项 D 的函数解析式不同，只有选项B 中的函数表示同一函数3若函数 f(x)则 f(f(2)()A1 B2C1 D0解析：选 B.由已知条件可知，f(2)21，所以 f(f(2)f(1)(1)212，故选 B.4设 f(x)1 x，x0，2x，x0，则 f(f(2)()A1 B.14C.12D.3
19、2解析：选 C.由 f(2)2214，f(f(2)f14 11412.5若点 A(a，1)在函数 f(x)lg x，0 x1，x，x1的图象上，则 a()A1 B10C.10D.110解析：选 D.当 x1 时，y x1，因此点 A(a，1)在函数 ylg x(0 x1)的图象上，故1lg a，a 110.6函数 yf(x)的定义域为1,5，在同一坐标系下，yf(x)与直线 x1 的交点个数是_解析：由函数定义的唯一性及 x1,5，知函数 f(x)与 x1 只有唯一一个交点答案：17若函数 f(x)lg x，x01x，x0，则 f(f(99)_.解析：f(99)199100，所以 f(f(99
20、)f(100)lg 1002.答案：28函数 yf(x)的定义域为2,4，则函数 g(x)f(x)f(x)的定义域为_解析：由题意知2x4，2x4，解得2x2.答案：2,29已知 f(x)x21，g(x)x1，x0，2x，x0.(1)求 f(g(2)和 g(f(2)的值；(2)求 f(g(x)的解析式解：(1)由已知，g(2)1，f(2)3，f(g(2)f(1)0，g(f(2)g(3)2.(2)当 x0 时，g(x)x1，故 f(g(x)(x1)21x22x；当 x0 时，g(x)2x，故 f(g(x)(2x)21x24x3；f(g(x)x22x，x0，x24x3，x0.10行驶中的汽车在刹车
21、时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y x2200mxn(m，n 是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离 y(米)与汽车的车速 x(千米/时)的关系图(1)求出 y 关于 x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过 25.2 米，求行驶的最大速度解：(1)由题意及函数图象，得40220040mn8.460220060mn18.6，解得 m 1100，n0，所以 y x2200 x100(x0)(2)令 x2200 x10025.2，得72x70.x0，0 x70.故行
22、驶的最大速度是 70 千米/时B 组 能力突破1已知函数 f(x)满足 f2x|x|log2x|x|2，则 f(x)的解析式是()Af(x)log2x Bf(x)log2xCf(x)2xDf(x)x2解析：选 B.根据题意知 x0，所以 f1x log2x，则 f(x)log21xlog2x.2设函数 f(x)x2x，x0 x2，x0，若 f(f(a)2，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意得fa0，f2afa2 或fa0，f2a2，解得 f(a)2.由a0，a2a2 或a0，a22，解得 a 2.答案：(，23已知函数 f(x)5|x|，g(x)ax2x(aR)若 fg(1)1，则 a()
23、A1 B2C3 D1解析：选 A.g(x)ax2x，g(1)a1.f(x)5|x|，f(g(1)f(a1)5|a1|1，|a1|0，a1.4具有性质：f1x f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数下列函数：yx1x；yx1x；yx，0 x1，0，x1，1x，x1.其中满足“倒负”变换的函数是_解析：对于，f(x)x1x，f1x 1xxf(x)，满足题意；对于，f1x 1x11xf(x)f(x)，不满足题意；对于，f1x 1x，01x1，0，1x1，x，1x1，即 f1x 1x，x1，0，x1，x，0 x1.故 f1x f(x)，满足题意答案：5已知函数 f(x)x21x2，xR.(1)
24、求 f(x)f1x 的值；(2)计算：f(1)f(2)f(3)f(4)f12 f13 f14.解：(1)由 f(x)f1x x21x21x211x2 x21x211x21x21x21.(2)原式f(1)f2f12 f3f13 f4f14 12372.第 2 课时 函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量 x1，x2当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间
25、 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 xI，都有 f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(3)对于任意 xI，都有 f(x)M；(4)存在 x0I，使得 f(x0)M结论M 为最大值M 为最小值3.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(2
26、)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性()(3)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数()(4)函数 yf(x)在 1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是 1，)()(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数()(6)所有的单调函数都有最值()(7)对于函数 f(x)，xD，若 x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在 D上是增函数()(8)函数 y|x|是 R 上的增函数()(9)函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，)()(10)函数
27、y1x21x2的最大值为 1.()考点一 求函数的单调性(区间)命题点 1.求具体解析式的函数的单调性(区间)2.求解析式含参数的函数的单调性(区间)例 1(1)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayx1 By(x1)2Cy2xDylog0.5(x1)解析：利用函数的单调性或函数的图象逐项验证A 项，函数 yx1在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故 A 正确；B 项，函数 y(x1)2 在(，1)上为减函数，在 1，)上为增函数，故 B 错误；C 项，函数 y2x12x 在 R 上为减函数，故 C 错误；D 项，函数 ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故 D
28、 错误答案：A(2)函数 f(x)lg x2 的单调递减区间是_解析：函数 f(x)是定义域为x|x0的偶函数，且 f(x)lg x22lg x，x0，2lgx，x0.函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(，0)答案：(，0)(3)判断并证明函数 f(x)axx21(其中 a0)在 x(1,1)上的单调性解：法一：(定义法)设1x1x21，则 f(x1)f(x2)ax1x211 ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x211x221ax2x1x1x21x211x221.1x1x21，x2x10，x1x210，(x211)(x221)0.因此当 a0 时，f(x1)f(x2
29、)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(1,1)上为减函数法二：(导数法)f(x)ax212ax2x212ax21x212.又 a0，所以 f(x)0，所以函数 f(x)在(1,1)上为减函数方法引航 判断函数单调性的方法1定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.2利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.3图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.1下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是()Ayex
30、ByxCyln xDy|x|解析：选 B.因为定义域是 R，排除 C，又是增函数，排除 A、D，所以选 B.2(2016安徽合肥检测)函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 是()A(，0)B.0，12C0，)D.12，解析：选 B.(数形结合法)y|x|(1x)x1x，x0，x1x，x0 x2x，x0，x2x，x0 x12214，x0，x12214，x0.画出函数的图象，如图所示由图象可知原函数在0，12 上单调递增，故选 B.3已知 a0，函数 f(x)xax(x0)，证明：函数 f(x)在(0，a上是减函数，在 a，)上是增函数证明：设 x1，x2 是任意两个正数，且
31、 0 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1ax1 x2ax2 x1x2x1x2(x1x2a)当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在(0，a上是减函数；当 ax1x2 时，x1x2a，又 x1x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在 a，)上是增函数考点二 利用函数的单调性求最值命题点1.求单调函数的最值 2.求函数的值域例 2(1)函数 f(x)2xx1在 1,2上的最大值和最小值分别是_解析：f(x)2xx12x12x12 2x1在 1,2上是增函数，f
32、(x)maxf(2)43，f(x)minf(1)1.答案：43，1(2)已知函数 f(x)1a1x(a0，x0)，若 f(x)在12，2 上的值域为12，2，则 a_.解析：由反比例函数的性质知函数 f(x)1a1x(a0，x0)在12，2 上单调递增，所以f12 12，f22，即1a212，1a122，解得 a25.答案：25错误!4导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；5mfx恒成立mfxmax；6mfx恒成立mfxmin.1(2017湖南株洲一模)定义新运算：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函数 f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值
33、等于()A1 B1C6 D12解析：选 C.由已知得当2x1 时，f(x)x2；当 1x2 时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32 在定义域内都为增函数f(x)的最大值为 f(2)2326.2下列四个函数：y3x；y1x21；yx22x10；yx x0，1x x0.其中值域为 R 的函数有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：选 B.依题意，注意到 y3x 与函数yx x0，1x x0的值域均是 R，函数 y1x21的值域是(0,1，函数 yx22x10(x1)211 的值域是11，)，因此选 B.考点三 函数单调性的应用命题点1.比较函数值的大小2.求字母参数3.解不等式例 3
34、(1)已知 f(x)x2cos x，则 f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小关系是()Af(0.6)f(0)f(0.5)Bf(0)f(0.5)f(0.6)Cf(0.6)f(0.5)f(0)Df(0.5)f(0)f(0.6)解析：f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，f(x)是偶函数f(0.5)f(0.5)又f(x)2xsin x，当 x(0,1)时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数，f(0)f(0.5)f(0.6)，即 f(0)f(0.5)f(0.6)故选 B.答案：B(2)已知 f(x)2ax1，x1，ax，x1，满足对任意 x1x2，都有fx1fx2x1x20
35、 成立，那么 a 的取值范围是_解析：由已知条件得 f(x)为增函数，2a0a12a11a，解得32a2，a 的取值范围是32，2.答案：32，2方法引航 1利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.2已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：若函数在区间 a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.1若本例(1)中函数变为 f(x)12xsin x，比较 f(0.6)，f(0)，f(0.5)的大小解：f(x)12xsin x，f(x)12cos x当3x3，
36、f(x)0.f(x)在3，3 上，为减函数，故有 f(0.5)f(0)f(0.6)2在本例(2)中，若 f(x)不变且 a32，2.解不等式 f(4a22a5)f(a2)解：由题意可知，当 a32，2 时，f(x)在 R 上为增函数4a22a5a2即 4a23a70，(4a7)(a1)0，1a74.故32a74.f(4a22a5)f(a2)的解集为32，74.易错警示定义域的请求求函数单调区间先求我1函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则典例 1 函数 f(x)x2x6的单调增区间为_正解 设 ux2x6x122254.令 ux2x60，得 f(x)的定义域
37、为(，32，)，ux2x6x122254 是对称轴为 x12，开口向上的抛物线，故 u 在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而 y u在(0，)上是增函数，所以 f(x)的单调减区间为(，3，单调增区间为 2，)答案 2，)易误 解题时不先求 f(x)的定义域，误认为ux2x6的增区间就是f(x)的增区间警示 求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结2利用函数单调性解不等式时也要先求定义域典例 2 已知，定义在2,3上的函数 f(x)是减函数，则满足 f(x)f(2x3)的 x 的取值范围是_正解 由题意
38、得2x3，22x33，x2x3.即2x3，12x3，x3.12x3.答案 12，3易误 此类不等式，只考虑单调性直接去掉“f”符号得到一个不等式，如本题只得到“x2x3”是错误的没注意定义域 x2,3警示 这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组高考真题体验1(2016高考北京卷)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()Ay 11x Bycos xCyln(x1)Dy2x解析：选 D.选项 A 中，y 11x 1x1的图象是将 y1x的图象向右平移 1 个单位得到的，故 y 11x在(1,1)上为增函数，不符合题意；选项 B 中，ycos x 在(1,0)上为增函数，在(0,1)
39、上为减函数，不符合题意；选项 C 中，yln(x1)的图象是将 yln x 的图象向左平移 1 个单位得到的，故 yln(x1)在(1,1)上为增函数，不符合题意；选项 D 符合题意2(2015高考湖南卷)设函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，则 f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：选 A.函数 yf(x)的定义域为(1,1)，又 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，yf(x)为奇函数，且函数 f(x)在(0,1)上是增函数故选 A.3(2014高考湖南卷)下列函数
40、中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x)1x2Bf(x)x21Cf(x)x3Df(x)2x解析：选 A.f(x)1x2是偶函数，且在(，0)上单调递增，A 正确；f(x)x21 是偶函数，但在(，0)上单调递减，B 错；f(x)x3 是奇函数，C 错；f(x)2x 是非奇非偶函数，D 错故选 A.4(2016高考北京卷)函数 f(x)xx1(x2)的最大值为_解析：法一：f(x)1x12，x2 时，f(x)0 恒成立，f(x)在 2，)上单调递减，f(x)在 2，)上的最大值为 f(2)2.法二：f(x)xx1x11x1 1 1x1，f(x)的图象是将 y1x的图象向右平移
41、1 个单位，再向上平移 1 个单位得到的y1x在 2，)上单调递减，f(x)在 2，)上单调递减，故 f(x)在 2，)上的最大值为 f(2)2.法三：由题意可得 f(x)1 1x1.x2，x11，0 1x11，11 1x12，即 1 xx12.故 f(x)在 2，)上的最大值为 2.答案：25(2016高考北京卷)设函数 f(x)x33x，xa，2x，xa.若 a0，则 f(x)的最大值为_；若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_解析：代入 a 值直接求分段函数的最值；结合图象分类讨论求解由当 xa 时，f(x)3x230，得 x1.如图是函数 yx33x 与 y2x 在没有限制条
42、件时的图象若 a0，则 f(x)maxf(1)2.当 a1 时，f(x)有最大值；当 a1 时，y2x 在 xa 时无最大值，且2a(x33x)max，所以 a1.答案：2 a16(2016高考天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数 a 满足 f(2|a1|)f(2)，则 a 的取值范围是_解析：f(x)在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减f(2|a1|)f(2)f(2)，2|a1|2212，|a1|12，12a112，12a32.答案：12，32 课时规范训练A 组 基础演练1函数 yx26x10 在区间(2,4)上是()A递减函数 B
43、递增函数C先递减再递增D先递增再递减解析：选 C.作出函数 yx26x10 的图象如图所示，观察图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增2已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1x f(1)的实数 x 的取值范围是()A(，1)B(1，)C(，0)(0,1)D(，0)(1，)解析：选 D.依题意得1x1，即x1x 0，所以 x 的取值范围是 x1 或 x0.3函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x2(0，)，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)”的是()Af(x)1xBf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)解析：选 A.由题意知 f(x)在(0，)上是减函数A
44、中，f(x)1x满足要求；B 中，f(x)(x1)2 在 0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；C 中，f(x)ex 是增函数；D 中，f(x)ln(x1)是增函数4如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()Aa14Ba14C14a0 D14a0解析：选 D.当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且1a4，解得 0a14.综上所述得14a0.5函数 y x5xa2在(1，)上单调递增，则 a 的取值范
45、围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3解析：选 C.y x5xa21a3xa2，由函数在(1，)上单调递增，有a30a21，解得 a3.6已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f1xf(1)的实数 x 的取值范围是_解析：由 f1xf(1)，得1x 1，1x1 或1x1，0 x1 或1x0.答案：(1,0)(0,1)7yx22|x|3 的单调增区间为_解析：由题意知，当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0 时，yx22x3(x1)24，画出二次函数的图象如图所示由图象可知，函数 yx22|x|3 在(，1，0,1上是增函数答案：(，1，0,18已知函数 f(x)|xa|在(，1)上
46、是单调函数，则 a 的取值范围是_解析：因为函数 f(x)在(，a)上是单调函数，所以a1，解得 a1.答案：(，19函数 f(x)x24x4 在闭区间 t，t1(tR)上的最小值记为 g(t)(1)试写出 g(t)的函数表达式；(2)求 g(t)的最小值解：(1)f(x)x24x4(x2)28.当 t2 时，f(x)在 t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当 t2t1，即 1t2 时，g(t)f(2)8；当 t12，即 t1 时，f(x)在 t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而 g(t)t22t7 t1，8 1t2，t24t4 t2.(2)画出 g(t)的图象如
47、图所示，由图象易知 g(t)的最小值为8.10已知 f(x)xxa(xa)(1)若 a2，试证 f(x)在(，2)上单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围解：(1)证明：任取 x1x22，则 f(x1)f(x2)x1x12 x2x222x1x2x12x22.(x12)(x22)0，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)f(x)xxaxaaxa 1 axa，当 a0 时，f(x)在(，a)，(a，)上是减函数，又 f(x)在(1，)上单调递减，0a1，故实数 a 的取值范围为(0,1B 组 能力突破1设函数 f(x)loga|
48、x|在(，0)上单调递增，则 f(a1)与 f(2)的大小关系是()Af(a1)f(2)Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2)D不能确定解析：选 A.由已知得 0a1，所以 1a12，根据函数 f(x)为偶函数，可以判断 f(x)在(0，)上单调递减，所以 f(a1)f(2)2函数 y12x2ln x 的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，)D(0，)解析：选 B.y12x2ln x，yx1xx21xx1x1x(x0)令 y0，得 0 x1，函数的递减区间为(0,1故选 B.3已知 f(x)x24x3，x0 x22x3，x0，不等式 f(xa)f(2ax)在 a，a1上恒成立，则实
49、数 a 的取值范围是()A(，2)B(，0)C(0,2)D(2,0)解析：选 A.作出函数 f(x)的图象如图所示，易知函数 f(x)在 R 上为单调递减函数，所以不等式 f(xa)f(2ax)在 a，a1上恒成立等价于 xa2ax，即 xa2在 a，a1上恒成立，所以只需 a1a2，即 a2.故选 A.4函数 f(x)log5(2x1)的单调递增区间是_解析：要使 ylog5(2x1)有意义，则 2x10，即 x12，设 u2x1，则 ylog5u 为(0，)上的增函数，当 x12时，u2x1 也为增函数，故原函数的单调增区间是12，.答案：12，5已知定义在区间(0，)上的函数 f(x)满
50、足 fx1x2 f(x1)f(x2)，且当 x1 时，f(x)0.(1)求 f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若 f(3)1，求 f(x)在 2,9上的最小值解：(1)令 x1x20，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.(2)证明：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时，f(x)0，所以 fx1x2 0，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以 f(x)在(0，)上是单调递减函数(3)2,9(0，)，f(x)在 2,9上为减函数 f(x)minf(9)由题意可知 f(x1)fx1x2 f(x2)，f(
51、9)f93 f(3)2f(3)2.f(x)在 2,9上的最小值为2.第 3 课时 函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于 y 轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么
52、这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期()(6)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数()(7)函数 f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函
53、数()(8)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(9)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称()(10)若某函数的图象关于 y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数()考点一 判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断例 1(1)下列函数为奇函数的是()Ay x ByexCycos xDyexex解析：对于 A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于 B，f(x)f(x)，故不符合要求；对于 C，满足 f(x)f(x)，故不符合要求；对于 D，f(x)exex(exex)f(x)，y
54、exex 为奇函数，故选 D.答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()Ay1xBylg|x|Cy(x1)2Dy2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得 A 是奇函数，B 是偶函数，C，D 为非奇非偶函数答案：B(3)函数 f(x)3x2 x23，则()A不具有奇偶性B只是奇函数C只是偶函数D既是奇函数又是偶函数解析：由3x20，x230，得 x 3或 x 3.函数 f(x)的定义域为 3，3对任意的 x 3，3，x 3，3，且 f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数答案：D方法引航 判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象
55、关于原点(y 轴)对称(3)性质法：“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；“奇偶”是奇，“奇偶”是奇判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1)1x1x；(2)f(x)lg1x1x.解：(1)要使函数有意义，则1x1x0，解得1x1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由1x1x01x1，定义域关于原点对称又 f(x)lg1x1xlg1x1x1lg1x1xf(x)，f(x)f(x)故原函数是奇函数考点二 函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值例 2(1)
56、下列函数不是周期函数的是()Aysin x By|sin x|Cysin|x|Dysin(x1)解析：ysin x 与 ysin(x1)的周期 T2，B 的周期 T，C 项 ysin|x|是偶函数，x(0，)与 x(，0)图象不重复，无周期答案：C(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)1fx，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则求 f(2 017)f(2 019)的值为_解析：当 x0 时，f(x2)1fx，f(x4)f(x)，即 4 是 f(x)(x0)的一个周期f(2 017)f(2 017)f(1)log221，f(2 019)f(3)
57、1f11，f(2 017)f(2 019)0.答案：0方法引航(1)利用周期 f(xT)f(x)将不在解析式范围之内的 x 通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值(2)判断函数周期性的几个常用结论f(xa)f(x)，则 f(x)为周期函数，周期 T2|a|.f(xa)1fx(a0)，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(xa)1fx，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期1若将本例(2)中“f(x2)1fx”变为“f(x2)f(x)”，则 f(2 017)f(2 019)_.解析：由 f(x2)f(x)可知 T4f(2 017)1，f(2 01
58、9)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：02若本例(2)条件变为 f(x)对于 xR，都有 f(x2)f(x)且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，求 f(2 017)f(2 019)的值解：由 f(x2)f(x)，T2f(2 019)f(1)log221f(2 017)f(2 017)f(1)1，f(2 017)f(2 019)2.考点三 函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数 2.利用奇偶性、单调性求解不等式 3.利用奇偶性求解析式或函数值例 3(1)若函数 f(x)2x12xa是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为()A(，1)B(1,0)C(0,
59、1)D(1，)解析：因为函数 yf(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，即2x12xa2x12xa.化简可得 a1，则2x12x13，即2x12x130，即2x132x12x10，故不等式可化为2x22x10，即 12x2，解得 0 x1，故选 C.答案：C(2)函数 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f12 25.确定函数 f(x)的解析式；用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；解不等式 f(t1)f(t)0.解：在 x(1,1)上 f(x)为奇函数，f(0)0，即 b0，f(x)ax1x2.又f12 25，a211425.解得，a1.f(x)x1x2，经检验适合
60、题意证明：由 f(x)1x22x21x22 1x21x22.x(1,1)时，1x20，f(x)0f(x)在(1,1)上为增函数由 f(t1)f(t)0，得 f(t1)f(t)，即 f(t1)f(t)1t111t1t1t得 0t12.(3)已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)解析：当 x0 时，x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)答案：C方法引航 1根据奇偶性求解析式
61、中的参数，是利用 fxfx或 fxfx在定义域内恒成立，建立参数关系.2根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1已知 f(x)ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是_解析：a12a0，a13.f(x)ax2bx 为偶函数，则 b0，ab13.答案：132定义在 R 上的偶函数 yf(x)在 0，)上递减，且 f12 0，则满足 f(x)0的 x 的集合为()A.，12(2，)B.12，1(1,2)C.0，12(2，)D.12，1(2，)解析：选 C.由题意可得 ff0f12，又 f(x)在 0，)上递减，所以12，即x12或x12，解得 0 x12或
62、x2，所以满足不等式 f0 的 x 的集合为0，12(2，)3已知函数 f(x)xlog21x1x1，则 f12 f12 的值为()A2 B2C0 D2log213解析：选 A.由题意知，f(x)1xlog21x1x，f(x)1xlog21x1xxlog21x1x(f(x)1)，所以 f(x)1 为奇函数，则 f12 1f12 10，所以 f12 f122.方法探究“多法并举”解决抽象函数性质问题典例(2017山东泰安模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列四个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于
63、x1 对称；f(x)在 1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)分析关系 f(xy)f(x)f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？f(x2)f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究若 f(x)的图象关于 x1 对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？f(x)在1,0上的图象与 1,2上的图象有什么关系？依据什么指导？f(2)，f(0)从何处计算解析 第一步：f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立(赋值法)：令 xy0，f(0)0.令 xy0，yx，f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇函数第二步：f(x)在
64、x1,0上为增函数，又 f(x)为奇函数，f(x)在 0,1上为增函数第三步：由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，(代换法)周期 T4，即 f(x)为周期函数第四步：f(x2)f(x)f(x2)f(x)(代换法)又f(x)为奇函数，f(2x)f(x)，关于 x1 对称第五步：由 f(x)在 0,1上为增函数，又关于 x1 对称，1,2上为减函数(对称法)第六步：由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0)(赋值法)答案 回顾反思 此题用图象法更直观高考真题体验1(2014高考课标全国卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数
65、，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选 C.由题意可知 f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项 A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项 C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D，|f(x)g(x)|f(x)g(
66、x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选 C.2(2016高考山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当 x12时，fx12 fx12.则 f(6)()A2 B1C0 D2解析：选 D.由题意可知，当1x1 时，f(x)为奇函数，且当 x12时，f(x1)f(x)，所以 f(6)f(511)f(1)而 f(1)f(1)(1)312，所以 f(6)2.故选D.3(2016高考四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1时，f(x)4x，则 f52 f(1)_.解析：综合运
67、用函数的奇偶性和周期性进行变换求值f(x)为奇函数，周期为 2，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0.f(x)4x，x(0,1)，f52 f522 f12 f124122.f52 f(1)2.答案：24(2015高考课标全国卷)若函数 f(x)xln(xax2)为偶函数，则 a_.解析：由题意得 f(x)xln(xax2)f(x)xln(ax2x)，所以ax2x1ax2x，解得 a1.答案：15(2014高考四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _.解析：由已知易得 f12 412221，又由函
68、数的周期为 2，可得 f32 f12 1.答案：1课时规范训练A 组 基础演练1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin x Byx2cos xCy|ln x|Dy2x解析：选 B.因为 yx2 是偶函数，ysin x 是奇函数，ycos x 是偶函数，所以 A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数 yln x 的图象在 x轴下方部分翻折到 x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数 y12x，是非奇非偶函数2下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()Ay2|x|Bylg(xx21)Cy2x2xDylg 1x1解析：选 D.选项 D 中函
69、数定义域为(1，)，不关于原点对称，故 ylg 1x1不是奇函数也不是偶函数，选项 A 为偶函数，选项 B 为奇函数，选项 C 为偶函数3若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)等于()A1 B1C2 D2解析：选 A.由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知 f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1，故选 A.4已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)()A2 B0C1 D2解析：选 A.当 x0 时，f(x)x21x，f(1)12112.f(x)为奇函数，f(1)
70、f(1)2.5设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x2,1)时，f(x)4x22，2x0 x，0 x1，则 f52()A0 B1C.12D1解析：选 D.因为 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以 f52 f123 f12 412221，故选 D.6函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x2)1fx，若 f(1)5，则 f(f(5)_.解析：f(x2)1fx，f(x4)1fx2f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3)1f115.答案：157已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(2)1，且对任意的 xR，都有 f(x3)f(x)，则 f(2 0
71、17)_.解析：由 f(x3)f(x)得函数 f(x)的周期 T3，则 f(2 017)f(1)f(2)，又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(2 017)f(2)1.答案：18函数 f(x)exx(xR)可表示为奇函数 h(x)与偶函数 g(x)的和，则 g(0)_.解析：由题意可知 h(x)g(x)exx，用x 代替 x 得 h(x)g(x)exx，因为 h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以h(x)g(x)exx.由()2 得 g(x)exex2，所以 g(0)e0e021.答案：19已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x(，0)时，f(x)xlg(2x)，求 f(x)的
72、解析式解：设 x(0，)，x(，0)，f(x)xlg(2x)，f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)xlg(2x)，f(x)xlg(2x)又当 x0 时，f(0)0，适合 f(x)xlg(2x)f(x)xlg2x x0，xlg2x x，010已知函数 f(x)x2ax(x0，常数 aR)(1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数 f(x)在 2，)上为增函数，求实数 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为x|x0，当 a0 时，f(x)x2(x0)，显然为偶函数；当 a0 时，f(1)1a，f(1)1a，因此 f(1)f(1)，且 f(1)f(1)，所以函数 f
73、(x)x2ax(x0)既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(x)2xax22x3ax2，当 a0 时，f(x)0，则 f(x)在 2，)上是增函数；当 a0 时，令 f(x)2x3ax20，解得 x3 a2，由 f(x)在 2，)上是增函数，可知3 a22，解得 0a16.综上，实数 a 的取值范围是(，16B 组 能力突破1若 f(x)是定义在 R 上的函数，则“f(0)0”是“函数 f(x)为奇函数”的()A必要不充分条件B充要条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.f(x)在 R 上为奇函数f(0)0；f(0)0f(x)在 R 上为奇函数，如 f(x)x2，故选 A.2已知
74、定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若 g(2)a，则 f(2)等于()A2 B.154C.174Da2解析：选 B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立，g(2)a2，f(2)a2a2154.3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间 0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)
75、解析：选 D.由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在 0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又 f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故 f(25)f(80)f(11)4定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 x 均有 f(x)f(x2)f(x2)且 f(2 016)2 016，则 f(2 028)_.解析：xR，f(x)f(x2)f(x2)，f(x4)f(x2)f(x)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x12)f(x)，则函数 f(x)是以 12 为
76、周期的函数又f(2 016)2 016，f(2 028)f(2 02812)f(2 016)2 016.答案：2 0165函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解：(1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1)12f(1)0.令 x11，
77、x2x，有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解得15x17 且 x1.x 的取值范围是x|15x17 且 x1第 4 课时 二次函数与幂函数1幂函数(1)幂函数的定义形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质 yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增
78、x(，0时，减增增x(0，)时，减 x(，0)时，减2.二次函数(1)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域R值域4acb24a，4acb24a单调性在，b2a 上单调递减，在 b2a，上单调递增在，b2a 上单调递增，在 b2a，上单调递减奇偶性b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数图象特点对称轴：x b2a；顶点：b2a，4acb24a(2)二次函数表达式的三种形式一般式：yax2bxc(a0)顶点式：ya(xh)2k(其中 a0，顶点坐标为(h，k)两根式：ya(xx1)(xx2)(其中 a0，x1、x2 是二次函数的图象与 x 轴
79、的两个交点的横坐标)3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 f(x)x2 与函数 f(x)2x2 都是幂函数()(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)()(3)幂函数的图象不经过第四象限()(4)当 0 时，幂函数 yx 是定义域上的减函数()(5)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()(6)二次函数 yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(7)在 yax2bxc(a0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小()(8)当 n0 时，幂函数 yxn 是定义域上的增函数()(9)若函数 f(x)(k21)x22x3 在
80、(，2)上单调递增，则 k 22.()(10)已知 f(x)x24x5，x0,3)，则 f(x)maxf(0)5，f(x)minf(3)2.()考点一 二次函数解析式命题点1.一般式：yax2bxc(a0)2.顶点式：ya(xm)2n(a0)3.零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)例 1(1)已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和2，且它有最小值1，则 f(x)_.解析：由于 f(x)有两个零点 0 和2，所以可设 f(x)ax(x2)(a0)，这时 f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于 f(x)有最小值1，所以必有a0，a1.解得 a1.因此 f(x)的解析式是 f(x)x(x2)
81、x22x.答案：x22x(2)已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式解：法一：(利用一般式)设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得a4，b4，c7.所求二次函数为 f(x)4x24x7.法二：(利用顶点式)设 f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，拋物线的对称轴为 x21212.m12.又根据题意函数有最大值 8，n8.yf(x)ax1228.f(2)1，a212281，解得 a4，f(x)4x12284x24x7.法三：(利用零点式)由已知 f(x)10 两根为 x12
82、，x21，故可设 f(x)1a(x2)(x1)，即 f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值 ymax8，即4a2a1a24a8.解得 a4 或 a0(舍)所求函数的解析式为 f(x)4x24x7.方法引航 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x2，最小值为1，则它的解析式是_解析：设 ya(x2)21，当 x0 时，4a11，a12，y12(x2)21.答案：y12(x2)212若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_.解析：f(x)bx2(ab2a)x2
83、a2 是偶函数，ab2a0(a0)，b2，当 x0 时，2a24，a22，f(x)2x24.答案：2x24考点二 二次函数图象和性质命题点1.二次函数的最值2.二次函数的单调性3.二次方程及函数、不等式恒成立问题例 2 已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4,6上是单调函数；解：(1)当 a2 时，f(x)x24x3(x2)21，由于 x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在 2,6上单调递增，f(x)的最小值是 f(2)1，又 f(4)35，f(6)15，故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数
84、 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4,6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.方法引航 1二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；2二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；3对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1若本例已知条件不变，求 f(x)的最小值解：f(x)(xa)23a2，关于 xa 对称，x4,6当a4，即 a4 时，f(x)在4,
85、6上为增函数，f(x)minf(4)168a3198a当4a6，即6a4 时，只有当 xa 时，f(x)min3a2，当a6 时，即 a6 时，f(x)在4,6上为减函数，f(x)minf(6)3612a33912a.综上，当 a4 时，f(x)min198a.当6a4 时，f(x)min3a2.当 a6 时，f(x)min3912a.2若本例已知条件不变，f(x)0 在4,6上有两个不相等实根，求 a 的取值范围解：要使 f(x)0，在4,6上有两个不等实根，需fa04a6f40f60即3a20，6a4，198a0，3612a0.解得，134 a 3或 3a198.3若本例中 f(x)0 在
86、 x(0,6上恒成立，求 a 的取值范围解：x22ax30，在 x(0,6上恒成立，即 2ax3x 在 x(0,6上恒成立，只需求 ux3x，x(0,6的最大值x3x2 3，当且仅当 x 3时，取等号umax2 3，2a2 3，a 3.考点三 幂函数图象与性质命题点1.幂函数图象2.幂函数性质例 3(1)幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的图象是()解析：幂函数 yf(x)的图象过点(4,2)，f(x).答案：C(2)已知函数 f(x)(m2m1)xm2m3 是幂函数，且 x(0，)时，f(x)是增函数，则 m 的值为()A1 B2C1 或 2 D3解析：函数 f(x
87、)(m2m1)xm2m3 是幂函数，m2m11，解得 m1 或 m2.又函数 f(x)在(0，)上为增函数，m2m30，m2.答案：B(3)已知 f(x)，若 0ab1，则下列各式正确的是()Af(a)f(b)f1a f1bBf1a f1b f(b)f(a)Cf(a)f(b)f1b f1aDf1a f(a)f1b f(b)解析：0ab1，0ab1b1a，又 f(x)为增函数，f(a)f(b)f1b f1a.答案：C方法引航 1若幂函数 yxR是偶函数，则 必为偶数.当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断.2若幂函数 yx 在0，上单调递增，则 0，若在0，上单调递减，则 0.,3在比较幂值的
88、大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1若四个幂函数 yxa，yxb，yxc，yxd 在同一坐标系中的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是()Adcba BabcdCdcabDabdc解析：选 B.幂函数 a2，b12，c13，d1 的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以 abcd.故选 B.2若，则实数 a 的取值范围是_解析：不等式等价于 a132a0 或 32aa10 或 a1032a.解得 a1 或23a32.答案：(，1)23，32规范答题“三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程
89、、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决典例(本题满分 12 分)已知 f(x)ax22x(0 x1)(1)求 f(x)的最小值；(2)若 f(x)1 恒成立，求 a 的范围；(3)若 f(x)0 的两根都在 0,1内，求 a 的范围规范解答(1)当 a0 时，f(x)2x 在 0,1上递减，f(x)minf(1)2.当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向上，且对称轴为 x1a.2 分.当 01，即 0a1 时，f(x)a
90、x22x 的图象的对称轴在 0,1的右侧，f(x)在 0,1上递减f(x)minf(1)a2.6 分当 a0 时，f(x)ax22x 的图象的开口方向向下，且对称轴 x1a0，在 y 轴的左侧，f(x)ax22x 在 0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)mina2，a1，1a，a1.8 分(2)只需 f(x)min1，即可由(1)知，当 a1 时，a21，a1(舍去)；当 a1 时，1a1 恒成立，a1.10 分(3)由题意知 f(x)0 时，x0，x2a(a0)，00,1，00 和 a0.第三层：对称轴 x1a与区间 0,1的位置关系，左、内、右(2)讨论后要有总结答案
91、高考真题体验1(2016高考全国丙卷)已知则()Abac BabcCbcaDcab解析：选 A.而函数 y在(0，)上单调递增，所以，即 bac，故选 A.2(2015高考山东卷)设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBacbCbacDbca解析：选 C.由指数函数 y0.6x 在(0，)上单调递减，可知 0.61.50.60.6，由幂函数 yx0.6 在(0，)上单调递增，可知 0.60.61.50.6，所以 bac，故选 C.3(2013高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay1xByexCyx21 Dy
92、lg|x|解析：选 C.A 中 y1x是奇函数，A 不正确；B 中 yex1ex 是非奇非偶函数，B不正确；C 中 yx21 是偶函数且在(0，)上是单调递减的，C 正确；D 中 ylg|x|在(0，)上是增函数，D 不正确故选 C.4(2014高考课标卷)设函数则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_解析：f(x)2x1，ex12 或x1，xln 21 或x1，x8x1 或 1x8x8，故填(，8答案：(，85(2015高考天津卷)已知 a0，b0，ab8，则当 a 的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值解析：由已知条件得 b8a，令 f(a)log2alog2(2b)，则
93、f(a)log2alog216a log2a(log216log2a)log2a(4log2a)(log2a)24log2a(log2a2)24，当 log2a2，即 a4 时，f(a)取得最大值答案：4课时规范训练A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是()Ayx22x1Byx22x1Cyx22x1Dyx22x1解析：选 C.设二次函数的解析式为 f(x)ax2bxc(a0)，由题图象得：a0，b0，c0.选 C.2若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)3f(2)，则 f12 的值为()A.13B.12C.23D.43解析：选 A.设 f(x)xa,又 f
94、(4)3f(2)，4a32a，解得 alog23，f12 12log2313.3一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是()解析：选 C.若 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc 的开口向上，故可排除 A；若 a0，一次函数 yaxb 为减函数，二次函数 yax2bxc 开口向下，故可排除 D；对于选项 B，看直线可知 a0，b0，从而 b2a0，而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故应排除 B，因此选 C.4如果函数 f(x)x2bxc 对任意的实数 x，都有 f(1x)f(x)，那么()Af(2)f(0)f(2)Bf(0)f(2)
95、f(2)Cf(2)f(0)f(2)Df(0)f(2)f(2)解析：选 D.由 f(1x)f(x)知 f(x)的图象关于 x12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知 f(0)f(2)f(2)5若 f(x)x2ax1 有负值，则实数 a 的取值范围是()Aa2 B2a2Ca2 或 a2 D1a3解析：选 C.f(x)x2ax1 有负值，a240，则 a2 或 a2.6若方程 x211x30a0 的两根均大于 5，则实数 a 的取值范围是_解析：令 f(x)x211x30a.结合图象有0f50，0a14.答案：0a147若二次函数 f(x)ax24xc 的值域为 0，)，则 a，c 满足的条
96、件是_解析：由已知得a0，4ac164a0，a0，ac40.答案：a0，ac48已知 f(x)4x2mx5 在 2，)上是增函数，则实数 m 的取值范围是_解析：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为m8，所以m82，即m16.答案：(，169已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1时有最大值 2，求 a 的值解：函数 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为 xa.(1)当 a0 时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.(2)当 0a1 时，f(x)maxa2a1，a2a12，a2a10，a1 52(舍)(3)当 a1 时，f(x)maxf(1)a，a2.综上
97、可知，a1 或 a2.10已知函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数，a0，xR)(1)若函数 f(x)的图象过点(2,1)，且方程 f(x)0 有且只有一个根，求 f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当 x1,2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围解：(1)因为 f(2)1，即 4a2b11，所以 b2a.因为方程 f(x)0 有且只有一个根，所以 b24a0.所以 4a24a0，所以 a1，所以 b2.所以 f(x)(x1)2.(2)g(x)f(x)kxx22x1kxx2(k2)x1xk2221k224.由 g(x)的图象知：要满足题意，则k22 2 或k
98、22 1，即 k6 或 k0，所求实数 k 的取值范围为(，06，)B 组 能力突破1若幂函数 y(m23m3)xm2m2 的图象不过原点，则 m 的取值是()A1m2 Bm1 或 m2Cm2 Dm1解析：选 B.由幂函数性质可知 m23m31，m2 或 m1.又幂函数图象不过原点，m2m20，即1m2，m2 或 m1.2已知函数 f(x)x2xc.若 f(0)0，f(p)0，则必有()Af(p1)0 Bf(p1)0Cf(p1)0 Df(p1)的符号不能确定解析：选 A.函数 f(x)x2xc 的图象的对称轴为直线 x12，又f(0)0，f(p)0，1p0，p10，f(p1)0.3如图是二次函
99、数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A(3,0)，对称轴为 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()ABCD解析：选 B.由函数图象知，a0，与 x 轴有两个交点，b24ac0，即 b24ac.对称轴 x b2a1，2ab0.当 x1 时，对应最大值，f(1)abc0.b2a，a0，5a2a，即 5ab.4已知幂函数 f(x)，若 f(a1)f(102a)，则 a 的取值范围是_解析：f(x)1x(x0)，易知 x(0，)时为减函数，又 f(a1)f(102a)，a10，102a0，a1102a，解得a1，a5，a3，3a5.答案：(3,5)5已
100、知函数 f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1，F(x)fx，x0，fx，x0，求 F(2)F(2)的值；(2)若 a1，c0，且|f(x)|1 在区间(0,1上恒成立，试求 b 的取值范围解：(1)由已知 c1，abc0，且 b2a1，解得 a1，b2.f(x)(x1)2.F(x)x12，x0，x12，x0.F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1 在(0,1上恒成立，即 b1xx 且 b1xx 在(0,1上恒成立又1xx 的最小值为 0，1xx 的最大值为2.2b0.故 b 的取值范围是
101、2,0第 5 课时 指数与指数函数1根式(1)根式的概念若 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nN*，式子n a叫做根式，这里 n叫做根指数，a 叫做被开方数(2)a 的 n 次方根的表示xnaxn a当n为奇数且nN*时，xn a当n为偶数且nN*时.2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：n am(a0，m，nN*，且 n1)；负分数指数幂：(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数
102、函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当 x0 时，y1；x0时，0y1当 x0 时，0y1；x0 时，y1在 R 上是增函数在 R 上是减函数4.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)n an与(n a)n 都等于 a(nN*)()(2)当 nN*时，(n 3)n 都有意义()(3)分数指数幂可以理解为mn个 a 相乘()(4)函数 y32x 与 y2x1 都不是指数函数()(5)若 aman(a0 且 a1)，则 mn.()(6)1.()(7)函数 yax 是 R 上的增函数()(8)函数 yax21(a1)的值域是(0，)()(9)当
103、 x0 时，yax1.()(10)函数 y2x11，过定点(0,1)()考点一 指数幂的运算命题点 1.具体实数的根式与指数幂的运算 2.含字母的根式与指数幂的运算 解：解：方法引航 指数幂的化简方法 1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1化简(1)0 的结果为()A9 B7C10 D9解析：选 B.(1)01817.2化简4 16x8y4(x0，y0)的正确结果是()A2x2yB2
104、xyC4x2yD2x2y解析：选 D.4 16x8y44 24x24y42x2|y|2x2y.考点二 指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用例 2(1)函数 f(x)axb 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0解析：由 f(x)axb 的图象可以观察出函数 f(x)axb 在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(x)axb 的图象是在 f(x)ax 的基础上向左平移得到的，所以 b0.答案：D(2)k 为何值时，方程|3x1|k 无解？有一解？有两解？解：函数 y|3x1|的图象是由函
105、数 y3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示当 k0 时，直线yk 与函数 y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当 k0 或 k1 时，直线 yk与函数 y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当 0k1 时，直线 yk 与函数 y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解方法引航 1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1(2017河南三市一模)函数 f(x)2|x1|的图象是(
106、)解析：选 B.f(x)2|x1|的图象是由 y2|x|的图象向右平移一个单位得到，故选 B.2(2017河北衡水模拟)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_解析：曲线|y|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1答案：1,1考点三 指数函数的性质命题点1.比较指数式的大小 2.解指数方程或指数不等式 3.与指数函数复合的函数性质例 3(1)(2017天津模拟)设 y140.9，y280.48，y3121.5，则()Ay3y1y2 By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2解析：
107、y140.921.8，y280.4821.44，y3121.521.5，y2x 是增函数，21.4421.521.8，即 y2y3y1.答案：D(2)(2017安徽合肥八中测试)不等式 2x22x12x4 的解集为_解析：原不等式可化为 2x22x2x4，即x22xx4，x23x40，(x4)(x1)0，1x4.答案：x|1x4(3)已知函数 f(x)13ax24x3若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值解：令 g(x)ax24x3，f(x)13g(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有a0，3a4a1，解得 a1，即
108、当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.由指数函数的性质知，要使 y13g(x)的值域为(0，)应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能 a0.(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)故 a 的值为 0.方法引航 1比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.2解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.3与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域最值、单调性、奇偶性的求解方法，与前面
109、所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1若本例(1)中的三个数变为 y1，y2，y3，则大小关系如何解析：构造指数函数 y25x(xR)，由该函数在定义域内单调递减可得 y2y3，又y25x(xR)与 y35x(xR)之间有如下结论：当 x0 时，有35x25x，故，即 y1y3，y1y3y2.答案：D2在本例(3)中，若 a1，求 f(x)的单调区间解：当 a1 时，f(x)13x24x3，令 g(x)x24x3，由于 g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y13t 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x
110、)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)3在本例(3)中，若 a1，求使 f(x)1 的 x 的解解析：当 a1 时，f(x)13x24x31x24x30，x1 或 x3.答案：1 或 3方法探究整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法一、根据整体化为同指数典例 1 计算(3 2)2 018(3 2)2 019 的值为_解析 原式(3 2)2 018(3 2)2 018(3 2)(3 2)(3 2)2 018(3 2)3 2.答案 3 2二、根据整体化为同底数典例 2 若 67x27,603y81，则3x4y_.解析 67x27
111、,603y81，答案 2三、根据整体构造代数式典例 3 已知 a23a10，则_.解析 a23a10，a0，a1a3.答案 5四、根据整体构造常数 axax1典例 4 化简 4x4x2 41x41x2_.解析 法一：原式 4x4x241x4x41x4x24x 4x4x24424x 4x4x2224x4x24x21.法二：原式 4x4x244x44x24x4x 4x4x24424x1.答案 1五、根据整体换元典例 5 函数 y14x12x1 在区间3,2上的值域是_解析 因为 x3,2，所以若令 t12x，则 t14，8，故 yt2t1t12234.当 t12时，ymin34；当 t8 时，ym
112、ax57.故所求函数值域为34，57.答案 34，57高考真题体验1(2016高考全国丙卷)已知则()Abac BabcCbcaDcab解析：选 A.因为且幂函数 y在 R 上单调递增，指数函数 y16x 在 R 上单调递增，所以 bac.2(2016高考浙江卷)已知函数 f(x)满足：f(x)|x|且 f(x)2x，xR.()A若 f(a)|b|，则 abB若 f(a)2b，则 abC若 f(a)|b|，则 abD若 f(a)2b，则 ab解析：选 B.依题意得 f(a)2a，若 f(a)2b，则 2af(a)2b，2a2b，又 y2x 是 R 上的增函数，ab.故选 B.3(2015高考天
113、津卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBcabCacbDcba解析：选 B.因为 f(x)是偶函数，所以 m0，所以 f(x)2|x|1，且 f(x)在 0，)上为增函数，由题意得 af(log0.53)f(log23)f(log23)，因为 log25log230，所以 f(log25)f(log23)f(0)，即 bac，故选 B.4(2014高考陕西卷)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3Bf(x)3xCf(x
114、)Df(x)12x解析：选 B.对于选项 A，f(xy)(xy)3f(x)f(y)x3y3，排除 A；对于选项 B，f(xy)3xy3x3yf(x)f(y)，且 f(x)3x 在其定义域内是单调增函数，B 正确；对于选项 C，f(xy)xyf(x)f(y)xy，排除 C；对于选项 D，f(xy)12xy12x12yf(x)f(y)，但 f(x)12x 在其定义域内是减函数，排除 D.故选 B.5(2015高考山东卷)已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_.解析：当 0a1 时，函数 f(x)在1,0上单调递减，由题意可得f10f01，即a1b0a0b1，解得
115、a12b2，此时 ab32.当 a1 时，函数 f(x)在1,0上单调递增，由题意可得f11f00，即a1b1a0b0，显然无解所以 ab32.答案：326(2015高考福建卷)若函数 f(x)2|xa|(aR)满足 f(1x)f(1x)，且 f(x)在 m，)上单调递增，则实数 m 的最小值等于_解析：因为 f(1x)f(1x)，所以函数 f(x)关于直线 x1 对称，所以 a1，做出函数 f(x)2|x1|的图象如图所示，因为函数 f(x)在 m，)上单调递增，所以 m1，故实数 m 的最小值为 1.答案：1课时规范训练A 组 基础演练1化简(a0，b0)的结果是()Aa BabCa2bD
116、.1a解析：选 D.原式a11a，故选D.2函数 yaxa(a0，且 a1)的图象可能是()解析：选 C.当 x1 时，ya1a0，所以函数 yaxa 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选 C.3在同一坐标系中，函数 y2x 与 y12x 的图象之间的关系是()A关于 y 轴对称B关于 x 轴对称C关于原点对称D关于直线 yx 对称解析：选 A.y12x2x，它与函数 y2x 的图象关于 y 轴对称4函数 y2x2x 是()A奇函数，在区间(0，)上单调递增B奇函数，在区间(0，)上单调递减C偶函数，在区间(，0)上单调递增D偶函数，在区间(，0)上单调递减解析：选 A.根据奇偶性的定义判断
117、函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性令 f(x)2x2x，则 f(x)2x2xf(x)，所以函数是奇函数，排除C，D.又函数 y2x，y2x 都是 R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知 f(x)2x2x 是 R 上的增函数，故选 A.5设函数 f(x)1xx0，exx0，若 F(x)f(x)x，xR，则 F(x)的值域为()A(，1 B2，)C(，12，)D(，1)(2，)解析：选 C.当 x0 时，F(x)1xx2；当 x0 时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)F(0)1，所以 F(x)的值域为(，12，)6指数函
118、数 y(2a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是_解析：由题意知 02a1，解得 1a2.答案：(1,2)7计算：_.解析：原式2.答案：28若函数 f(x)axxa(a0，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_解析：令 axxa0 即 axxa，若 0a1，显然 yax 与 yxa 的图象只有一个公共点；若 a1，yax 与 yxa 的图象如图所示有两个公共点答案：(1，)9设 a0 且 a1，函数 ya2x2ax1 在1,1上的最大值是 14，求 a 的值解：令 tax(a0 且 a1)，则原函数化为 y(t1)22(t0)当 0a1 时，x1,1，taxa，1a，此时
119、 f(t)在a，1a 上为增函数所以 f(t)maxf1a 1a1 2214.所以1a1 216，所以 a15或 a13.又因为 a0，所以 a13.当 a1 时，x1,1，tax1a，a，此时 f(t)在1a，a 上为增函数所以 f(t)maxf(a)(a1)2214，解得 a3(a5 舍去)综上得 a13或 3.10已知函数 f(x)bax(其中 a，b 为常量且 a0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)(1)试确定 f(x)；(2)若不等式1ax1bxm0 在 x(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)f(x)bax 的图象过点 A(1,6)，B(3,24)，ba6
120、，ba324，得 a24，又 a0 且 a1，a2，b3，f(x)32x.(2)由(1)知1ax1bxm0 在(，1上恒成立化为 m12x13x 在(，1上恒成立令 g(x)12x13x，则 g(x)在(，1上单调递减，mg(x)ming(1)121356，故所求实数 m 的取值范围是，56.B 组 能力突破1已知实数 a，b 满足等式 2a3b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab0.其中有可能成立的关系式有()A1 个 B2 个C3 个D4 个解析：选 C.依题意，在同一坐标系内画出函数 y2x，y3x 的图象与直线 yt，平移直线 yt，通过观察可知，直线 yt 分别与函
121、数 y2x，y3x 的图象的交点的横坐标 a，b 的大小关系可能是 ab0；ab0；0ba，因此其中有可能成立的关系式共有 3 个，故选 C.2偶函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，且在 x0,1时，f(x)x，则关于 x 的方程 f(x)110 x 在 x0,4上解的个数是()A1 B2C3 D4解析：选 D.由 f(x1)f(x1)可知 T2.x0,1时，f(x)x，又f(x)是偶函数，可得函数图象如图所示f(x)110 x 在 x0,4上解的个数是 4 个故选 D.3已知函数 f(x)13ax10a，x7，ax7，x7是定义域上的递减函数，则实数 a 的取值范围是()A.13，12
122、B.13，611C.12，23D.12，611解析：选 B.函数 f(x)13ax10a，x7，ax7，x7是定义域上的递减函数，13a0，0a1，13a710aa0，即13a0，0a1，711a1，解得13a 611.4已知 f(x)9x13x 1，且 f(a)3，则 f(a)的值为_解析：f(x)9x13x 132x13x13x3x1，函数 f(x)的定义域为 R，对任意 xR，f(x)3x3(x)13x3x1，f(x)f(x)(3x3x1)(3x3x1)2，由于 f(a)f(a)2，所以 f(a)2f(a)231.答案：15设函数 f(x)aa21(axax)(a0，a1)(1)讨论 f
123、(x)的单调性；(2)若 mR 满足 f(m)f(m22m2)，求 m 的范围解：(1)当 a1 时，a210，yax 为增函数，yax 为减函数，从而 yaxax为增函数所以 f(x)为增函数当 0a1 时，a210，yax 为减函数，yax 为增函数，从而 yaxax 为减函数所以 f(x)为增函数故当 a0 且 a1 时，f(x)在定义域内单调递增(2)由(1)知函数 f(x)在 R 上单调递增由 f(m)f(m22m2)得 mm22m2，即 m2m20，(m2)(m1)0，2m1.故 m 的范围为(2,1)第 6 课时 对数与对数函数1对数的概念如果 axN(a0 且 a1)，那么数
124、x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logmaMnnmlogaM.(2)对数的性质：alogaNN；logaaNN(a0 且 a1)(3)对数的重要公式：换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于 1)；logab 1logba，推广 logablogbclogcdlogad.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域：(
125、0，)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即 x1 时，y0(4)当 x1 时，y0 当 0 x1时，y0(5)当 x1 时，y0 当 0 x1 时，y0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4.反函数指数函数 yax 与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称5判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)(2)38 可化为 log(2)(8)3.()(2)若 MN0，则 loga(MN)logaMlogaN.()(3)logaxlogayloga(xy)()(4)函数 ylog2x 及 ylog133x 都是对数函数()(5)对数函数 yl
126、ogax(a0，且 a1)在(0，)上是增函数()(6)函数 yln1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(7)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)()(8)log2x22log2x.()(9)当 x1 时，logax0.()(10)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 ab.()考点一 对数式的运算命题点1.指数式与对数式的互化2.计算对数值例 1(1)若 xlog43，则(2x2x)2 等于()A.94 B.54C.103D.43解析：由 xlog43，得 4x3，即 2x 3，2x 33，所以(2x2x)22 33243.答案：D(2)(2
127、017山东日照质检)2lg 2lg 125的值为()A1 B2C3 D4解析：2lg 2lg 125lg 4lg 25lg 1002.答案：B方法引航 1首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.2将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1已知 4a2，lg xa，则 x_.解析：4a2，alog4212log4412.又lg xa，lg x12，x 10.答案：102已知函数 f(x)log2x，x0，3x1，x0，则 f(f(1)flog312 的值是()A5 B
128、3C1 D.72解析：选 A.因为 f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因为 log3120，所以 f(log312)3log31213log321213.所以 f(f(1)f(log312)235.考点二 对数函数的图象及应用命题点1.对数函数的图象变换与识别2.应用对数函数的图象求参数3.应用对数函数图象解不等式例 2(1)函数 y2log4(1x)的图象大致是()解析：函数 y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除 A、B；又函数 y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除 D.选 C.答案：C(2)已知 0m12m2，a0，且 a1，若 logam1m11，loga
129、m2m21，则实数 a 的取值范围是()A2a3 B0a1C1a2 D3a4解析：依题意，知方程式 logaxx1 有两个不等实根 m1，m2，在同一直角坐标系下，作出函数 ylogax 与 yx1 的图象，显然 a1，由图可知 m11，要使 m22，需满足 loga221，即 a2.综上知：实数 a 的取值范围是 1a2，选 C.答案：C(3)已知函数 f(x)为奇函数，当 x0 时，f(x)log2x，则满足不等式 f(x)0 的 x 的取值范围是_解析：由题意知 yf(x)的图象如图所示：所以满足 f(x)0 的 x 的取值范围是(1,0)(1，)答案：(1,0)(1，)方法引航 1对一
130、些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时，常利用数形结合思想.2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.1(2017福建福州模拟)函数 ylg|x1|的图象是()解析：选 A.因为 ylg|x1|lgx1，x1，lg1x，x1.当 x1 时，函数无意义，故排除 B、D.又当 x2 或 0 时，y0，所以 A 项符合题意2当 0 x12时，4xloga x，则 a 的取值范围是()A.0，22B.22，1C(1，2)D(2，2)解析：选 B.法一：构造函数 f(x)4x 和 g(x)logax，当 a1 时不满足条件
131、，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知，f12 g12，即 2loga12，则 a22，所以 a 的取值范围为22，1.法二：0 x12，14x2，logax4x1，0a1，排除选项 C，D；取 a12，x12，则有，显然 4xlogax 不成立，排除选项 A.3如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析：选 C.在平面直角坐标系中作出函数 ylog2(x1)的图象如图所示所以 f(x)log2(x1)的解集是x|1x1，所以选 C.考点三 对数函数性质及应用命题点1.对数函数的
132、定义域2.利用单调性比较对数值的大小3.与对数函数复合的函数的性质例 3(1)函数 f(x)1log2x1的定义域为()A(0,2)B(0,2C(2，)D2，)解析：要使函数 f(x)1log2x1有意义，需使x0，log2x10，解得 x2，即函数f(x)的定义域为(2，)答案：C(2)(2017天津一模)已知 alog25，blog5(log25)，c120.52，则 a，b，c 的大小关系为()AabcBbcaCcbaDbac解析：alog252，blog5(log25)(0,1)，c120.52(1,2)，可得 bca.故选B.答案：B(3)已知函数 f(x)loga(x1)loga(
133、1x)，a0 且 a1.求 f(x)的定义域；判断 f(x)的奇偶性并予以证明；当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集解：(1)要使函数 f(x)有意义，则x10，1x0，解得1x1.故所求函数 f(x)的定义域为(1,1)(2)由(1)知 f(x)的定义域为(1,1)，且 f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故 f(x)为奇函数(3)因为当 a1 时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，所以 f(x)0 x11x1，解得 0 x1.所以使 f(x)0 的 x 的解集是(0,1)方法引航 1对于多个对数值大小比较，首先利用对数性质分开正、
134、负数与 0 比较再分开0，1与1，与 1 比较 2解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.3对数函数的单调性和底数 a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 0a1 和 a1 进行分类讨论.1在本例(3)中，将函数变为 f(x)loga(x1)loga(1x)，a0 且 a1.判断函数的单调性解：f(x)的定义域为x101x0 即 x(1,1)f(x)loga(1x2)，设 g(x)1x2当 a1 时，x(1,0)，g(x)为增函数，f(x)loga(1x2)为增函数，x(0,1)，g(x)为减函数，f(x)loga(1x
135、2)为减函数当 0a1 时，x(1,0)，g(x)为增函数，f(x)loga(1x2)为减函数，x(0,1)，g(x)为减，f(x)loga(1x2)为增函数2在本例(3)中，当 0a1 时，求解 f(x)0 的解集解：f(x)0，loga(1x)loga(1x)1x01x01x1x，1x0.f(x)的解集为(1,0)易错警示忽视对数底数的分类讨论典例(2017甘肃兰州模拟)已知函数 ylogax(2x4)的最大值比最小值大 1，则a 的值为_正解 当 a1 时，ylogax(2x4)为增函数，ymaxloga4，yminloga2.loga4loga21，即 loga21，a2.当 0a1
136、时，ylogax(2x4)为减函数，ymaxloga2，yminloga4.loga2loga41，即loga21，a12.答案 2 或12易误 对数函数的底数含有参数 a，易忽视讨论 a 与 1 的大小关系而直接按 a1解题，只得一解 2.警示 当应用对数函数 ylogax 的单调性，而底数 a 不确定时，要分 a1 或 0a1 进行讨论高考真题体验1(2016高考全国乙卷)若 ab0,0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCacbcDcacb解析：选 B.0c1，当 ab1 时，logaclogbc，A 项错误；0c1，ylogcx 在(0，)上单调递减，又 ab0，
137、logcalogcb，B 项正确；0c1，函数 yxc 在(0，)上单调递增，又ab0，acbc，C 项错误；0c1，ycx 在(0，)上单调递减，又ab0，cacb，D 项错误故选 B.2(2016高考全国乙卷)若 ab1,0c1，则()AacbcBabcbacCalogbcblogacDlogaclogbc解析：选 C.对于选项 A，考虑幂函数 yxc，因为 c0，所以 yxc 为增函数，又 ab1，所以 acbc，A 错对于选项 B，abcbacbacba，又 ybax 是减函数，所以 B 错对于选项 D，由对数函数的性质可知 D 错，故选 C.3(2015高考课标全国卷)已知函数 f(
138、x)2x12，x1，log2x1，x1，且 f(a)3，则 f(6a)()A74B54C34D14解析：选 A.当 a1 时，2a123，无解；当 a1 时，log2(a1)3，得a7，所以 f(6a)f(1)22274，故选 A.4(2015高考全国卷)设函数 f(x)ln(1|x|)11x2，则使得 f(x)f(2x1)成立的x 的取值范围是()A.13，1B.，13(1，)C.13，13D.，13 13，解析：选 A.函数 f(x)ln(1|x|)11x2，f(x)f(x)，故 f(x)为偶函数，又当 x(0，)时，f(x)ln(1x)11x2，f(x)是单调递增的，故 f(x)f(2x
139、1)f(|x|)f(|2x1|)，|x|2x1|，解得13x1，故选 A.5(2013高考课标卷)设 alog32，blog52，clog23，则()AacbBbcaCcbaDcab解析：选 D.323,12 5，32，log3 3log32log33，log51log52log5 5，log23log22，12a1,0b12，c1，cab.故选 D.6(2016高考浙江卷)已知 a，b0 且 a1，b1.若 logab1，则()A(a1)(b1)0 B(a1)(ab)0C(b1)(ba)0 D(b1)(ba)0解析：选 D.法一：logab1logaa，当 a1 时，ba1；当 0a1 时，
140、0ba1.只有 D 正确法二：取 a2，b3，排除 A、B、C，故选 D.课时规范训练A 组 基础演练1函数 f(x)1lnx14x2的定义域为()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2解析：选 B.由x10lnx104x20，得1x2，且 x0.2已知 a0，a1，函数 yax 与 yloga(x)的图象可能是()解析：选 B.函数 yloga(x)的图象与 ylogax 的图象关于 y 轴对称，又 yax 的图象与 ylogax 图象关于 yx 对称，符合条件的只有 B.3设 a30.5，b0.53，clog0.53，则 a，b，c 的大小关系为()AbcaBbacC
141、cbaDcab解析：选 C.因为 a30.5301,0b0.530.501，clog0.53log0.510，所以c0b1a，故选 C.4已知 xln，ylog52，z，则()AxyzBzxyCzyxDyzx解析：选 D.xln ln e，x1.ylog52log5 5，0y12.z 1e 1412，12z1.综上可知，yzx.5设函数 f(x)若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解析：选 C.f(a)f(a)或a0，a1或a0，1a0 a1 或1a0.6若 alog43，则 2a2a_.解析：原式
142、3 134 33.答案：4 337函数 f(x)2xlog2x(x1,2)的值域为_解析：因为函数 y2x，ylog2x 在 1,2上都单调递增，所以 f(x)2xlog2x 在 1,2上也单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取得最小值 2，当 x2 时，函数 f(x)取得最大值 5，即函数值域是 2,5答案：2,58已知函数 f(x)3x1，x0，log2x，x0，则使函数 f(x)的图象位于直线 y1 上方的 x的取值范围是_解析：当 x0 时，3x11x10，1x0；当 x0 时，log2x1x2，x2.综上所述，x 的取值范围为1x0 或 x2.答案：x|1x0 或 x29设 f
143、(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间0，32 上的最大值解：(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由1x0，3x0，得 x(1,3)，函数 f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当 x(1,1时，f(x)是增函数；当 x(1,3)时，f(x)是减函数，函数 f(x)在0，32 上的最大值是 f(1)log242.10已知 f(x)logax(a0 且 a1)，如果对于任意的 x13，2 都有|f(x)|
144、1 成立，求 a 的取值范围解：由已知 f(x)logax，当 0a1 时，f13|f(2)|loga13loga2loga230，当 a1 时，f13|f(2)|loga13loga2loga230，故f13|f(2)|总成立则 y|f(x)|的图象如图要使 x13，2 时恒有|f(x)|1，只需f131，即1loga131，即 logaa1loga13logaa，当 a1 时，得 a113a，即 a3；当 0a1 时，得 a113a，即 0a13.综上所述，a 的取值范围是0，13 3，)B 组 能力突破1若正数 a，b 满足 2log2a3log3blog6(ab)，则1a1b的值为()
145、A36 B72C108 D.172解析：选 C.设 2log2a3log3blog6(ab)k，可得 a2k2，b3k3，ab6k，所以1a1babab 6k2k23 k3108.所以选 C.2函数 f(x)loga(ax3)(a0 且 a1)在 1,3上单调递增，则 a 的取值范围是()A(1，)B(0,1)C.0，13D(3，)解析：选 D.由于 a0，且 a1，uax3 为增函数，若函数 f(x)为增函数，则 f(x)logau 必为增函数，因此 a1.又 yax3 在 1,3上恒为正，a30，即 a3，故选 D.3已知函数 f(x)|lg x|，0 x10，12x6，x10，若 a，b
146、，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是()A(1,10)B(5,6)C(10,12)D(20,24)解析：选 C.作出 f(x)的大致图象，不妨设 abc，因为 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，由函数的图象可知 10c12，且|lg a|lg b|，因为 ab，所以 lg alg b，可得 ab1，所以 abcc(10,12)4若函数 f(x)x6，x2，3logax，x2(a0，且 a1)的值域是 4，)，则实数 a 的取值范围是_解析：当 x2 时，yx64.f(x)的值域为 4，)，当 a1 时，3logax3loga24，loga21
147、，1a2；当 0a1 时，3logax3loga2，不合题意故 a(1,2答案：(1,25已知函数 f(x)ln x1x，若 f(a)f(b)0，且 0ab1.(1)求 ab 的取值范围(2)求 yf(x)关于(0,0)对称的函数解析式解：(1)由题意可知 ln a1aln b1b0，即 lna1a b1b 0，从而 a1a b1b1，化简得 ab1，故 aba(1a)a2aa12214，又 0ab1，0a12，故 0a1221414.(2)设所求解析式上一点 P(x，y)，关于(0,0)对称点为 P(x，y)在 yln x1x上，yln x1x，yln1xx.关于(0,0)对称的解析式为 f
148、(x)ln 1xx.第 7 课时 函数的图象1描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：yf(x)a0，右移a个单位a0，左移|a|个单位 yf(xa)；yf(x)b0，上移b个单位b0，下移|b|个单位 yf(x)b.(2)伸缩变换：yf(x)yf(x)；yf(x)A1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍0A1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍yAf(x)(3)对称变换：yf(x)关于x轴对称yf(x)；yf(x)关于y轴对
149、称 yf(x)；yf(x)关于原点对称 yf(x)(4)翻折变换：yf(x)去掉y轴左边图，保留y轴右边图将y轴右边的图象翻折到左边去 yf(|x|)；yf(x)保留x轴上方图将x轴下方的图象翻折到上方去 y|f(x)|.3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同()(2)函数 yaf(x)与 yf(ax)(a0 且 a1)的图象相同()(3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称()(4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称()(5)将函数 yf(x)
150、的图象向右平移 1 个单位得到函数 yf(x1)的图象()(6)将函数 yf(x)的图象向上平移 c 个单位，得到 ycf(x)(c0)()(7)yx 与 y x2的图象是相同的()(8)函数 yx1 1x的图象是一个点()(9)函数 yx2 与 y1x2的图象是关于 y 轴对称的抛物线()(10)函数 y 1x1的图象关于(1,0)点对称()考点一 作函数图象命题点1.利用基本函数和性质作图2.利用基本函数和变换作图例 1 作出下列函数的图象，并标明与 x 轴、y 轴的交点(1)yx22|x|1；解：yx22|x|1x22x1 x0 x22x1 x0关于 y 轴对称，先作出 x0 时的图象再
151、作关于 y 轴对称部分，如图(2)y|log2(x1)|.解：由 ylog2x 向左平移 1 个单位，然后保留 x 轴上方的图象，并把 x 轴下方图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方，如图方法引航 1常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 yxm0的函数是图象变换的基础；,2掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程.1作函数 ysin|x|的图象解：当 x0 时，ysin|x|与 ysin x 的图象完全相同，又 ysin|x|为偶函数，其图象关于 y 轴对称，其图象如图2作函数 yx2x1的图象解：因 y1 3x1，先作出 y3
152、x的图象，将其图象向右平移 1 个单位，再向上平移1 个单位，即得 yx2x1的图象，如图考点二 识图与辨图命题点1.已知具体的函数解析式，识别图象2.已知含参数的两个函数解析式识别图象3.无函数解析式用函数关系识别图象例 2(1)函数 f(x)x1x cos x(x 且 x0)的图象可能为()解析：因为函数 f(x)x1x cos x(x 且 x0)为奇函数，所以排除选项 A，B；当 x 时，f(x)1 cos 10，排除选项 C，故选 D.答案：D(2)(2017福建三明调研)函数 yax2bx 与函数 yxab(a0)在同一坐标系中的图象可能为()解析：yax2bxax b2a2b24a
153、，对于 A，由二次函数图象可知，a0，b2a0，所以 b0，函数 yxab 不符合要求，同理 B 不符合要求；对于 C，D，由二次函数图象可知，a0，b2a0，所以 b0，比较选项 C，D 可知 C 符合要求答案：C(3)如图，在一个盛满水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速地将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是()解析：球拉出水面开始时球上半部较小，因而水递减较缓慢球中部拉出水面时水递增的速度较快，最后球中的水全部放回，水面基本持平(因为球是薄壁的)，故选B.答案：B方法引航 函数图象的识辨可从以下
154、几方面入手：1从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；2从函数的单调性，判断图象的变化趋势；3从函数的奇偶性，判断图象的对称性；4从函数的周期性，判断图象的循环往复；5从函数的特征点，排除不合要求的图象.1函数 y x33x1的图象大致是()解析：选 C.由 3x10 得 x0，函数 y x33x1的定义域为x|x0，可排除选项A；当 x1 时，y13131320，可排除选项 B；当 x2 时，y1，当 x4 时，y6480，但从选项 D 的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项 D.故选 C.2函数 yxa 与 ylogax 的图象
155、在同一坐标系中的图象可能为()解析：选 D.函数 yxa(x0)与 ylogax(x0)，选项 A 中没有幂函数图象，不符合；对于选项 B，yxa(x0)中 a1，ylogax(x0)中 0a1，不符合；对于选项 C，yxa(x0)中，0a1，ylogax(x0)中 a1，不符合，对于选项 D，yxa(x0)中 0a1，ylogax(x0)中，0a1，符合，故选 D.3(2017安徽合肥调研)某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是()解析：选 A.前 3 年
156、年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，故选 A.考点三 函数图象的应用命题点1.用图象研究函数性质2.用图象研究方程的根3.用图象求解不等式4.用图象求函数解析式例 3(1)已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析：将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得f(x)x22x，x0，x22x，x0，画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于
157、原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减答案：C(2)已知函数 y|x21|x1 的图象与函数 ykx 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是_解析：将函数 y|x21|x1 化成分段函数，并作出其图象如图所示利用图象可得实数k 的取值范围为(0,1)(1,2)答案：(0,1)(1,2)(3)设奇函数 f(x)在(0，)上为增函数且 f(1)0，则不等式fxfxx0 的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)解析：f(x)为奇函数，所以不等式fxfxx0 化为fxx 0，即 xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示所以
158、 xf(x)0 的解集为(1,0)(0,1)答案：D(4)如图，定义在1，)上的函数 f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则 f(x)的解析式为_解析：当1x0 时，设解析式为 ykxb，则kb0，b1，得k1，b1.yx1.当 x0 时，设解析式为 ya(x2)21，图象过点(4,0)，0a(42)21，得 a14.答案：f(x)x1，1x0，14x221，x0方法引航 1根据图象的左右上下的取值可看出函数的定义域、值域、最值.根据图象的对称性可看出奇偶性，根据图象的上升、下降可看出单调性.2利用函数的图象研究方程根的个数,当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方
159、程 fx0 的根就是函数 fx的图象与 x 轴交点的横坐标，方程 fxgx的根就是函数 fx与 gx图象交点的横坐标.3利用函数的图象研究不等式,当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.,4根据图象反映的性质或特殊点用待定系数法求解析式.1已知函数 f(x)x21，x0，cos x，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为1，)解析：选 D.根据所给分段函数解析式，画出函数图象解答画函数 f(x)x21，x0，cos x，x0的图象如图所示，由图象知只有
160、D 正确2函数 f(x)3x1 的零点个数为()A0 B1C4 D2解析：选 D.令 f(x)0，得13x，在同一坐标系内作出函数 y与y13x 的大致图象，结合图象可知它们共有两个不同的交点，因此函数 f(x)的零点个数是 2，故选 D.3不等式 logax(x1)2 恰有三个整数解，则 a 的取值范围为()A16 5，9 4 B16 5，9 4C(1，16 5 D(1，9 4解析：选 B.不等式 logax(x1)2 恰有三个整数解，画出示意图可知 a1，其整数解集为2,3,4，则应满足loga4412，loga5512，得16 5a9 4，故选 B.4(2017贵州七校联考)已知函数 f
161、(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是()Af(x)ln|x|xBf(x)exxCf(x)1x21Df(x)x1x解析：选 A.由图象知函数为奇函数，排除 B、C；当 x时，f(x)0；D 选项中f(x)，排除 D，故选 A.思想方法数形结合思想柳暗花明有些数学问题，如果只从代数的角度难以入手或者太麻烦，可考虑借助函数图象，用数形结合思想“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化典例 a 为实数，函数 f(x)|x2ax|在区间 0,1上的最大值记为 g(a)当 a_时，g(a)的值最小解析 对 a 分类画出函数 f(x)的图象，由图象确定函数的单调性，由单调性确定最大
162、值 g(a)，求出函数 g(a)的解析式后，再确定 g(a)最小时对应的 a 的值(1)当 a0 时，f(x)x2,函数 f(x)在区间 0,1上单调递增，故 g(a)f(1)1.(2)当 a0 时，函数 f(x)的图象如图(1)所示，函数 f(x)在区间 0,1上单调递增，故 g(a)f(1)1a.(3)当 0a1 时，函数 f(x)的图象如图(2)所示，fa2 a24，f(1)1a，fa2 f(1)a24(1a)a2284.当 0a2 22 时，因为 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，所以 g(a)f(1)1a；当 2 22a1 时，因为 fa2 f(1)0，即 fa2 f(1)，
163、所以 g(a)fa2 a24.(4)当 1a2 时，函数 f(x)的图象如图(3)所示，因为函数 f(x)在区间0，a2 上单调递增，在区间a2，1 上单调递减，故 g(a)fa2 a24.(5)当 a2 时，函数 f(x)的图象如图(4)所示，因为函数 f(x)在区间 0,1上单调递增，故 g(a)f(1)a1.综上，g(a)1a，a2 22，a24，2 22a2，a1，a2，当 a2 22 时，g(a)g(2 22)32 2；当 2 22a2 时，g(a)g(2 22)32 2；当 a2 时，g(a)g(2)132 2.综上，当 a2 22 时，g(a)min32 2.答案 2 22高考真
164、题体验1(2013高考福建卷)函数 f(x)ln(x21)的图象大致是()解析：选 A.函数 f(x)ln(x21)的定义域为(，)，又因为 f(x)f(x)，故 f(x)为偶函数且 f(0)ln 10，综上选 A.2(2016高考全国乙卷)函数 y2x2e|x|在2,2的图象大致为()解析：选 D.当 x2 时，y8e2(0,1)，排除 A，B；易知函数 y2x2e|x|为偶函数，当 x0,2时，y2x2ex，求导得 y4xex，当 x0 时，y0，当 x2时，y0，所以 y2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C，故选 D.3(2015高考课标卷)设函数 yf(x)的图象与
165、 y2xa 的图象关于直线 yx 对称，且 f(2)f(4)1，则 a()A1 B1C2 D4解析：选 C.在 yf(x)的图象上任取一点 P(x0，y0)，则 P(x0，y0)关于直线 yx 对称的点为 P(y0，x0)，所以 P必在 y2xa 的图象上，即x02y0a，所以y0alog2(x0)，即 y0alog2(x0)，所以 f(x)alog2(x)，又 f(2)f(4)1，所以 2alog22log241，即 2a121，解得 a2，故选 C.4(2015高考课标卷)如图，长方形 ABCD 的边 AB2，BC1，O 是 AB 的中点点P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOPx
166、.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为x 的函数 f(x)，则 yf(x)的图象大致为()解析：选 B.当 x0，4 时，f(x)tan x4tan2x，图象不会是直线段，从而排除A，C.当 x4，34 时，f4 f34 1 5，f2 2 2.2 21 5，f2 f4 f34，从而排除 D，故选 B.5(2013高考课标卷)函数 f(x)(1cos x)sin x 在，的图象大致为()解析：选 C.因为 f(x)1cos(x)sin(x)(1cos x)sin xf(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项 B；当 x(0，)时，1cos x0，sin x0，所以 f(
167、x)0，排除选项 A；又函数 f(x)的导函数f(x)sin xsin x(1cos x)cos x，所以 f(0)0，排除 D.故选 C.6(2016高考浙江卷)函数 ysin x2 的图象是()解析：选 D.排除法由 ysin x2 为偶函数判断函数图象的对称性，排除 A，C；当x2时，ysin22sin24 1，排除 B，故选 D.课时规范训练A 组 基础演练1函数 y1 1x1的图象是()解析：选 B.将 y1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数 y1 1x1的图象2函数 f(x)1log2x 与 g(x)21x 在同一坐标系中的图象大致是()解析：选 C.因
168、为函数 f(x)1log2x 的零点是12，排除 A；g(x)21x 是减函数，且与 y 轴的交点为(0,2)，排除 B 和 D，故选 C.3函数 yxcos xsin x 的图象大致为()解析：选 D.函数 yxcos xsin x 为奇函数，排除 B.取 x2，排除 C；取 x，排除 A，故选 D.4已知图中的图象对应的函数为 yf(x)，则图中的图象对应的函数为()Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)解析：选 C.yf(|x|)fx，x0fx，x0.5若函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x1)的图象大致为()解析：选 C.要想由 yf(x)的图象得
169、到 yf(x1)的图象，需要先将 yf(x)的图象关于 x 轴对称得到 yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到 yf(x1)的图象，根据上述步骤可知 C 正确6若 loga20(a0，且 a1)，则函数 f(x)loga(x1)的图象大致是()解析：选 B.loga20，0a1，由 f(x)loga(x1)的单调性可知 A、D 选项错误，再由定义域知 B 选项正确7使 log2(x)x1 成立的 x 的取值范围是()A(1,0)B1,0)C(2,0)D2,0)解析：选 A.在同一坐标系内作出 ylog2(x)，yx1 的图象，知满足条件的 x(1,0)，故选 A.8现有四个函数：yxsi
170、n x，yxcos x，yx|cos x|，yx2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是()ABCD解析：选 D.由于函数 yxsin x 是偶函数，由图象知，函数对应第一个图象；函数 yxcos x 为奇函数，且当 x 时，y0，故函数对应第三个图象；函数yx|cos x|为奇函数，故函数与第四个图象对应；函数 yx2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应综上可知，选 D.9函数 f(x)axm(1x)2 在区间 0,1上的图象如图所示，则 m 的值可能是()A1 B2C3 D4解析：选 A.f(x)maxm1(1x)22axm(1x)axm1
171、(1x)m(m2)x，令 f(x)0，可得 x1 或 x mm2，由图象可得 0 mm20.5，解得 0m2，故选 A.10函数 f(x)axbxc2的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0解析：选 C.f(x)axbxc2的图象与 x，y 轴分别交于 N，M，且点 M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，xba0，ybc20，故 a0，b0，又函数图象间断点的横坐标为正，c0，故 c0，故选 C.B 组 能力突破1如图，直线 l 和圆 C，当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90)时，
172、它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，这个函数的大致图象是()解析：选 C.随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选 C.2已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)cos x，x0，12，2x1，x12，则不等式 f(x1)12的解集为()A.14，23 43，74B.34，13 14，23C.13，34 43，74D.34，13 13，34解析：选 A.作出 yf(x)与 y12的图象如图所示，由图象易知 f(x)12的解集为34，1
173、3 13，34，f(x1)12的解集为14，23 43，74，故选 A.3已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)log2f(x)的定义域是_解析：当 f(x)0 时，函数 g(x)log2f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0的 x(2,8答案：(2,84直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则 a 的取值范围是_解析：yx2|x|a 是偶函数，图象如图所示，由图象可知 y1 与 yx2|x|a有四个交点，需满足 a141a，即 1a54.答案：1a545如图所示，函数 yf(x)的图象由两条射线和三条线段组成若xR，f(x)f(x1)，则正实数 a 的
174、取值范围为_解析：xR，f(x)f(x1)由题图象易知 a0，且 6a1，0a16.答案：0，166设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：如图作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，)答案：1，)第 8 课时 函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)(xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x
175、)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)一般地，如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根2二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2103.二分法(1)定义：对于在区间 a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的
176、零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间 a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点 c；计算 f(c)；()若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；()若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；()若 f(c)f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复.4判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点(
177、)(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.()(3)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)函数 y2sin x1 的零点有无数多个()(6)函数 f(x)kx1 在 1,2上有零点，则1k12.()(7)若函数 yf(x)在区间(a，b)内，有 f(a)f(b)0 成立，那么 yf(x)在(a，b)内存在唯一的零点()(8)已知函数 f(x)x2xa 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是(2,0)()(9)函数 F(x)f(x)g(x)的
178、零点就是 yf(x)与 yg(x)的交点()(10)若函数 f(x)在 a，b上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则 f(a)f(b)0函数 f(x)在 a，b上只有一个零点()考点一 函数零点的判断和求解命题点1.判断函数零点所在区间2.判断函数零点个数3.求函数零点例 1(1)已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D(4，)解析：因为 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)32log24120，所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4)答案：C(2)函数 f(x)xcos x2
179、在区间 0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：当 x0 时，f(x)0.又因为 x0,4，所以 0 x216.因为 516112，所以函数 ycos x2 在 x2 取2，32，52，72，92 时为 0，此时 f(x)0，所以 f(x)xcos x2 在区间 0,4上的零点个数为 6.答案：C(3)若 f(x)x2x1，x2或x1，1，1x2，则函数 g(x)f(x)x 的零点为_解析：求函数 g(x)f(x)x 的零点，即求 f(x)x 的根，x2或x1，x2x1x或1x2，x1.解得 x1 2或 x1.g(x)的零点为 1 2，1.答案：1 2，1方法引航 1直接求零点：令
180、fx0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.2零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间 a，b上是连续不断的曲线，且fafb0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点.3利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.1(2017浙江温州十校联考)设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：选 B.法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)f(2)0，函数 f(x)ln xx2 的图象是连续的，函数 f(x)的零
181、点所在的区间是(1,2)法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)2函数 y|log2x|12x 的零点个数是()A0 B1C2 D4解析：选 C.令 y|log2x|12x0，即|log2x|12x，在同一坐标系下作出 y|log2x|和 y12x 的图象(图略)，易知两图象有 2 个交点，即函数有 2 个零点3已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2 7，1,3 D
182、2 7，1,3解析：选 D.法一：求出当 x0 时 f(x)的解析式，分类讨论解方程即可令 x0，则x0，所以 f(x)(x)23xx23x.因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)所以当 x0 时，f(x)x23x.所以当 x0 时，g(x)x24x3.令 g(x)0，即 x24x30，解得 x1 或 x3.当 x0 时，g(x)x24x3.令 g(x)0，即 x24x30，解得 x2 70(舍去)或 x2 7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为2 7，1,3法二：令 g(x)0，即 f(x)x30，f(x)x3，作 yf(x)与 yx3 的图象，由图象可知有 3
183、个交点y 轴右侧有 2 个交点，其零点为 1 或 3.y 轴左侧一个零点 x3，故选 D.考点二 二次函数零点问题命题点1.判断二次函数零点问题2.已知二次函数零点求参数例 2(1)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内解析：本题考查零点的存在性定理依题意得 f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知 f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选 A.答案：A(
184、2)是否存在这样的实数 a，使函数 f(x)x2(3a2)xa1 在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由解：令 f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a89a892890，即 f(x)0 有两个不相等的实数根，若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a15或a1.检验：(1)当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x2x.令 f(x)0，即 x2x0，得 x0 或 x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a1.(2)当 f(3)0 时，a1
185、5，此时 f(x)x2135 x65.令 f(x)0，即 x2135 x650，解得 x25或 x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a15.综上所述，a15或 a1.方法引航 解决二次函数的零点问题的方法1可利用一元二次方程的求根公式；2可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；3利用二次函数的图象列不等式组.1在本例(2)中，若 a0，求 f(x)在1,3上的零点解析：当 a0 时，f(x)x22x10，(x1)22，x1 21,3，x1 21,3故 f(x)在1,3上的零点为 1 2.2在本例(2)中，条件不变，若 f(x)在1,3内有两个不同零点，求 a 的范围解析：由题
186、意得13a223 f113 a2a10 f3933 a2a10 0 即43a43，a1，a15.解得15a1.思想方法唇齿相依的函数与方程函数与方程思想函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决典例 设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1 B.0，1
187、C.23，D1，)解析 利用分段函数求值的基本方法分段求解由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a1.当 a1 时，有 2a1，a0，a1.综上，a23，故选 C.答案 C回顾反思 首先用函数思想处理 f(f(a)的表达式：结合分段函数，讨论自变量 a 的取值，求函数值 f(a)的取值进而确定 f(f(a)表达式，其次，再将方程 f(f(a)2f(a)转化为函数 h(a)f(f(a)2f(a)，研究函数零点，确定方程根高考真题体验1(2016高考全国甲卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 yx1x 与yf(x)图象的交点为(
188、x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1m(xiyi)()A0 BmC2mD4m解析：选 B.因为 f(x)f(x)2，yx1x 11x，所以函数 yf(x)与 yx1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以i1mxi0，i1myim22m，所以i1m(xiyi)m，故选 B.2(2015高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21解析：选 A.ycos x 是偶函数且有无数多个零点，ysin x 为奇函数，yln x 既不是奇函数也不是偶函数，yx21 是偶函数但没有零点，故选 A.3(2014高考山东卷)已知函数 f(x)
189、|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A.0，12B.12，1C(1,2)D(2，)解析：选 B.在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示，方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 ykx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 yx1 的斜率时符合题意，故12k1.4(2015高考湖南卷)若函数 f(x)|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_解析：令|2x2|b0，得|2x2|b，由题意可知函数 y|2x2|与 yb 的图象有两
190、个交点，结合函数图象(图略)可知，0b2.答案：(0,2)5(2016高考浙江卷)已知 ab1.若 logablogba52，abba，则 a_，b_.解析：由于 ab1，则 logab(0,1)，因为 logablogba52，即 logab1logab52，所以 logab12或 logab2(舍去)，所以 a12b，即 ab2，所以 ab(b2)bb2bba，所以 a2b，b22b，所以 b2(b0 舍去)，a4.答案：4 26(2016高考山东卷)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m
191、的取值范围是_解析：f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，当 xm 时，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其顶点为(m,4mm2)；当 xm 时，函数 f(x)的图象与直线 xm 的交点为Q(m，m)当m0，4mm2m，即 0m3 时，函数 f(x)的图象如图 1 所示，易得直线 yb 与函数 f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；当4mm2m，m0，即 m3 时，函数 f(x)的图象如图 2 所示，则存在实数 b 满足 4mm2bm，使得直线 yb 与函数 f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意综上，m 的取值范围为(3，)答案：(3，)课时规范训练A 组 基础演
192、练1方程 log3xx30 的解所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：选 C.设 f(x)log3xx3，则f(2)log3210，f(3)log333310，f(x)0 在(2,3)有零点，又 f(x)为增函数，f(x)0 的零点在(2,3)内2若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是()A(1,1)B(2,2)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解析：选 C.方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，m240，m2 或 m2.3若函数 f(x)ax1 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是()A(1，
193、)B(，1)C(，1)(1，)D(1,1)解析：选 C.由题意知 f(1)f(1)0，即(1a)(1a)0，解得 a1 或 a1.4方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()A1 B2C3 D4解析：选 B.(数形结合法)a0，a211.而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与 ya21 的图象总有两个交点5f(x)是 R 上的偶函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x2，则函数 yf(x)|log5x|的零点个数为()A4 B5C8 D10解析：选 B.由零点的定义可得 f(x)|log5x|，两个函数图象如图所示，总共有 5 个交点，所以共有 5 个零点6用二
194、分法求方程 x32x50 在区间 2,3内的实根，取区间中点为 x02.5，那么下一个有根的区间为_解析：令 f(x)x32x5，则 f(2)10，f(2.5)2.53100.从而下一个有根的区间为(2,2.5)答案：(2,2.5)7已知函数 f(x)2x1，x0，x22x，x0，若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m的取值范围是_解析：画出 f(x)2x1，x0 x22x，x0 的图象，如图由于函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，结合图象得：0m1，即 m(0,1)答案：(0,1)8若函数 f(x)x2axb 的两个零点是2 和 3，则不等式 af(2x)0 的解集是_
195、解析：f(x)x2axb 的两个零点是2,3.2,3 是方程 x2axb0 的两根，由根与系数的关系知23a23b，a1b6，f(x)x2x6.不等式 af(2x)0，即(4x22x6)02x2x3032x1.答案：x|32x19已知函数 f(x)x3x2x214.证明：存在 x00，12，使 f(x0)x0.证明：令 g(x)f(x)x.g(0)14，g12 f12 1218，g(0)g12 0.又函数 g(x)在 0，12上连续，存在 x00，12，使 g(x0)0.即 f(x0)x0.10已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a的取值范围
196、解：法一：设方程 x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即 a2a20，2a1.法二：函数图象大致如图，则有 f(1)0，即 1(a21)a20，2a1.B 组 能力突破1已知三个函数 f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx 的零点依次为 a，b，c，则()Aabc BacbCbacDcab解析：选 B.由于 f(1)121120，f(0)10，且 f(x)为单调递增函数故 f(x)2xx 的零点 a(1,0)g(2)0，g(x)的零点 b2；h12 1121
197、20，h(1)10，且 h(x)为单调递增函数，h(x)的零点 c12，1，因此 acb.2设函数 f(x)ex2x4，g(x)ln x2x25，若实数 a，b 分别是 f(x)，g(x)的零点，则()Ag(a)0f(b)Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b)Df(b)g(a)0解析：选 A.依题意，f(0)30，f(1)e20，且函数 f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即 0a1.g(1)30，g(2)ln 230，函数 g(x)的零点在区间(1,2)内，即 1b2，于是有 f(b)f(1)0.又函数 g(x)在(0,1)内是增函数，因此有 g(a)g(1)0，g
198、(a)0f(b)3(2016山东临沂一模)若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是()A.12，14B.14，12C.14，12D.14，12解析：选 C.依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足m2，f1f00，f1f20，即m2，m2m2m12m10，m2m2m14m22m2m10解得14m0，b1)，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定 b 的取值范围规范解答(1)预测：f(x)在 1，)上单调递增；预测：f(x)0，故 f(x)在 1，)上单调递增，符合预测.又当 x4 时，f(x)40 x 14013
199、0，所以此时 f(x)不符合预测.4 分(3)由100abc，120ab2c，解得a20bb1，c100 20b1.5 分因为 f(x)abxln b，要想符合预测，则 f(x)0，即 aln b0，从而a0，b1或a0，0b1 时，a20bb10，此时符合预测.但由 f(x)130，解得 xlogb32b2b2，即当 xlogb32b2b2 时，f(x)130，所以此时 f(x)不符合预测.9 分当 0b1 时，a20bb10，此时符合预测，又由 x1，知 bx(0，b，所以 abxab,0)，从而 f(x)abc，c)欲使 f(x)也符合预测，则 c130，即 100 20b1130，又
200、0b1，解得 01 和 0b1，验证是否具备预测.高考真题体验1(2016高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018 年 B2019 年C2020 年D2021 年解析：选 B.设第 n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元根据题意得 130(112%)n1200，则 lg130(112%)n1lg 200，lg 1
201、30(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得 n245，又nN*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019 年故选 B.2(2015高考四川卷)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是()A16 小时B20 小时C24 小时D28 小时解析：选 C.通过已知条件建立方程进行求解由已知条件，
202、得 192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k12.设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则 te33kln 192192 e33k192(e11k)319212324(小时)3(2015高考北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2015 年 5 月 1 日1235 0002015 年 5 月 15 日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为()A6 升B8 升C10 升D12 升解
203、析：选 B.因为第一次(即 5 月 1 日)把油加满，而第二次把油加满加了 48 升，即汽车行驶 35 60035 000600 千米耗油 48 升，所以每 100 千米的耗油量为 8 升，选B.4(2014高考福建卷)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元B120 元C160 元D240 元解析：选 C.设底面矩形的长和宽分别为 a m、b m，则 ab4.容器的总造价为 20ab2(ab)108020(ab)8040 ab160(元)(当且仅当 ab 时等号成立)
204、5(2014高考湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.pq2B.p1q112C.pqD.p1q11解析：选 D.设年平均增长率为 x，则(1x)2(1p)(1q)，x1p1q1.6(2013高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()解析：选 C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B.故选 C.课时规范训
205、练A 组 基础演练1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是()解析：选 A.汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在 s 与 t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的2某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118 元 B105 元C106 元D108 元解析：选 D.设进货价为 a 元，由题意知 132(110%)a10%a，解得 a108，故选 D.3利民工厂某产品
206、的年产量在 150 吨至 250 吨之间，年生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的关系可近似地表示为 yx21030 x4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为()A240 B200C180 D160解析：选 B.依题意，得每吨的成本为yx x104 000 x30，则yx2x104 000 x3010，当且仅当 x104 000 x，即 x200 时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为 200 吨，故选 B.4某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是 a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为()Aa121 B(1a)121CaDa1解析：选 B.
207、不妨设第一年 8 月份的产值为 b，则 9 月份的产值为 b(1a)，10 月份的产值为 b(1a)2，依次类推，到第二年 8 月份是第一年 8 月份后的第 12 个月，即一个时间间隔是 1 个月，这里跨过了 12 个月，故第二年 8 月份产值是 b(1a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b1a12bb(1a)121.5往外埠投寄平信，每封信不超过 20 g，付邮费 0.80 元，超过 20 g 而不超过 40 g，付邮费 1.60 元，依此类推，每增加 20 g需增加邮费 0.80 元(信的质量在 100 g 以内)如果某人所寄一封信的质量为
208、72.5 g，则他应付邮费()A3.20 元B2.90 元C2.80 元D2.40 元解析：选 A.由题意得 20372.5204，则应付邮费 0.8043.20(元)故选A.6一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为 yaebt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析：依题意有 aeb812a，bln 28，ya.若容器中只有开始时的八分之一，则有 a18a.解得 t24，经过的时间为 24816 min.答案：167某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步
209、里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km.解析：设出租车行驶 x km 时，付费 y 元，则 y9，0 x382.15x31，3x882.1552.85x81，x8，由 y22.6，解得 x9.答案：98A、B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出A 从甲地自东向西行驶B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是 40 km/h，B 的速度是 1
210、6 km/h，经过_小时，AB 间的距离最短解析：设经过 x h，A、B 相距为 y km，则 y 14540 x216x2(0 x298)，求得函数取最小值时 x 的值为258.答案：2589某地上年度电价为 0.8 元，年用电量为 1 亿千瓦时本年度计划将电价调至 0.55元0.75 元之间，经测算，若电价调至 x 元，则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x0.4)元成反比例又当 x0.65 时，y0.8.(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%？收益用电量(实际电价成本价)解：(1)y
211、 与(x0.4)成反比例，设 ykx0.4(k0)把 x0.65，y0.8 代入上式，得 0.8k0.650.4，k0.2.y 0.2x0.415x2，即 y 与 x 之间的函数关系式为 y15x2.(2)根据题意，得115x2(x0.3)1(0.80.3)(120%)整理，得 x21.1x0.30，解得 x10.5，x20.6.经检验 x10.5，x20.6 都是所列方程的根x 的取值范围是 0.550.75，故 x0.5 不符合题意，应舍去x0.6.当电价调至 0.6 元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%.10某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收
212、益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元、0.5 万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为 f(x)k1x，g(x)k2 x.由已知得 f(1)18k1，g(1)12k2，所以 f(x)18x(x0)，g(x)12 x(x0)(2)设投资债券产品为 x 万元，则投资股票类产品为(20 x)万元依题意得 yf(x)g(20 x)x812 20
213、x(0 x20)令 t 20 x(0t2 5)，则 y20t2812t18(t2)23，所以当 t2，即 x16 时，收益最大，ymax3 万元B 组 能力突破1放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单位：年)满足函数关系：M(t)，其中 M0 为 t0 时铯 137的含量已知 t30 时，铯 137 含量的变化率是10 ln 2(太贝克/年)，则 M(60)等于()A5 太贝克B75ln 2 太贝克C150 ln 2 太贝克D150 太贝克解析：选 D.M(t)13
214、0ln 2，M(30)13012M0ln 210ln 2，M0600.M(t)600，M(60)60022150(太贝克)2某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的奖励公式为 f(n)k(n)(n10)，n10(其中 n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)0 n10，100 10n15，200 15n20，300 20n25，400 n25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分，而乙所教的学生高考数
215、学平均分超出省平均分 21分则乙所得奖励比甲所得奖励多()A600 元B900 元C1 600 元D1 700 元解析：选 D.k(18)200(元)，f(18)200(1810)1 600(元)又k(21)300(元)，f(21)300(2110)3 300(元)，f(21)f(18)3 3001 6001 700(元)故选 D.3国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税 420 元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A2
216、800 元B3 000 元C3 800 元D3 818 元解析：选 C.由题意知，纳税额 y 与稿费 x 之间的函数关系式为y0，x800，0.14x800，800 x4 000，0.112x，x4 000.令(x800)0.14420，解得 x3 800，令 0.112x420，得 x3 750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为 3 800 元故选 C.4已知一容器中有 A，B 两种菌，且在任何时刻 A，B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PAlg nA 来记录 A 菌个数的资料，其中 nA 为 A 菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的 PA 值比昨天的
217、 PA 值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多 10；假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万，则此时 5PA5.5(注：lg 20.3)其中正确的说法为_(写出所有正确说法的序号)解析：当 nA1 时，PA0，故错误；若 PA1，则 nA10，若 PA2，则 nA100，故错误；B 菌的个数为 nB5104，nA 101051042105，PAlg nAlg 25.又lg 20.3，5PA5.5，故正确答案：5“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：
218、尾/立方米)的函数当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2千克/年；4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年(1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数表达式；(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值解：(1)由题意得当 0 x4 时，v2；当 4x20 时，设 vaxb，由已知得20ab0，4ab2，解得a18，b52，所以 v18x52，故函数 v2，0 x418x52，4x20.(2)设鱼的年生长量为 f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x
219、)2x，0 x4，18x252x，4x20，当 0 x4 时，f(x)为增函数，故 f(x)maxf(4)428；当 4x20 时，f(x)18x252x18(x220 x)18(x10)21008，f(x)maxf(10)12.5.所以当 0 x20 时，f(x)的最大值为 12.5.即当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米第 10 课时 导数的概念及运算、几何意义1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f
220、(x0).(2)导数的几何意义函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0)(3)函数 f(x)的导函数称函数 f(x)为 f(x)的导函数2导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1xln a
221、f(x)ln xf(x)1x(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)特殊情况 cf(x)cf(x)(3)复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与 f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是导函数 f(x)在 xx0 处的函数值()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(
222、4)sin 3 cos 3.()(5)若(ln x)1x，则1x ln x()(6)函数 f(x)sin(x)的导数为 f(x)cos x()(7)函数 f(x)，由于 f(0)无意义，则说明 f(x)在 x0 处无切线()(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(9)若 f(a)x22axa3，则 f(a)2x3a2.()(10)过点 P 作 yf(x)的切线，且 P 在 yf(x)上，则 P 一定为切点()考点一 导数的运算命题点1.求已知函数的导函数2.求导函数的值例 1(1)函数 y(1 x)1 1x，则 y_.解析：y(1 x)1 1x 1x x，答案：(2)函数 yln
223、 xx，则 y_.解析：yln xxln xxxln xx21xxln xx21ln xx2.答案：1ln xx2(3)yln(2x5)，则 y_.解析：设 yln u，u2x5，则 yxyuux，因此 y12x5(2x5)22x5.答案：22x5(4)已知函数 f(x)的导函数 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)_.解析：f(x)2f(1)1x令 x1，得 f(1)2f(1)1，f(1)1.答案：1方法引航 1总原则：先化简解析式，再求导.2具体方法：连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.根式形式：先化为分数指数幂，再求导.复杂分式：化为简单分式的和、差，再求
224、导.3区分fx与fx0fx表示导函数，fx0是导函数值.1若函数 ytan x，则 y_.解析：ysin xcos x sin xcos xsin xcos xcos2xcos xcos xsin xsin xcos2x1cos2x.答案：1cos2x2设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0 的值为()Ae2 BeC.ln 22Dln 2解析：选 B.由 f(x)xln x 得 f(x)ln x1.根据题意知 ln x012，所以 ln x01，因此 x0e.考点二 导数的几何意义命题点1.已知切点求切线斜率或切线方程2.已知切线方程或斜率求切点3.过点求切线方程例 2 已知函数
225、f(x)x34x25x4.(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程解：f(x)3x28x5，f(2)1，又 f(2)2，曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(2)x2，即 xy40.(2)设切点坐标为(x0，x304x205x04)，f(x0)3x208x05，切线方程为 y(2)(3x208x05)(x2)，又切线过点(x0，x304x205x04)，x304x205x02(3x208x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得 x02 或 x01，经过 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 x
226、y40，或 y20.方法引航 导数几何意义的应用，需注意以下两点：1当曲线 yfx在点x0，fx0处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 xx0；2注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 yfx在点 Px0，fx0处的切线方程是 yfx0fx0 xx0；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1在本例中，若 f(x)在 P 点处的切线平行 x 轴，求 P 点坐标解：f(x)3x28x5，令 3x28x50得 x1 或 x53，f(1)14542，f(53)5827，P(1，2)或 P53，5827.2在本例中，若 f(x)不变，求 f
227、(x)过点(1，2)的切线方程解：设过点 P(1，2)的直线与 yf(x)切于点 M(x0，y0)，其切线斜率 kf(x0)3x208x05，y0 x304x205x04，其切线方程为 y(x304x205x04)(3x208x05)(xx0)过点(1，2)，即2(x304x205x04)(3x208x05)(1x0)，即(x01)2(2x03)0 x01 或 x032.切点为(1，2)或32，178，k10 或 k214.所求切线方程分别为 y2.或 y178 14x32，即 y14x74.易错警示借问“切点”何处有求曲线的切线方程时切点易错典例(2017浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的
228、直线与曲线 yx3 和 yax2154 x9都相切，则 a 等于()A1 或2564 B1 或214C74或2564D74或 7正解 设过点(1,0)的直线与曲线 yx3 相切于点(x0，x30)，所以切线方程为 yx303x20(xx0)，即 y3x20 x2x30，又点(1,0)在切线上，则 x00 或 x032，当 x00 时，由 y0 与 yax2154 x9 相切可得 a2564；当 x032时，由 y274 x274 与 yax2154 x9 相切可得 a1，所以选 A.答案 A易误(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，
229、无法与导数的几何意义联系警示“曲线 yf(x)在 P 点处的切线”与“曲线过 P 点的切线”不同，前者 P为切点，后者 P 不一定为切点此类题首先确定点是否为曲线的切点当不是切点时应先设出切点高考真题体验1(2016高考全国丙卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：当 x0 时，x0，f(x)ex1x，而 f(x)f(x)，所以 f(x)ex1x(x0)，点(1,2)在曲线 yf(x)上，易知 f(1)2，故曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是 y2f(1)(x1)，即 y2x.答案：y2x2(2015高考课标卷
230、)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析：由题意可得 f(x)3ax21，f(1)3a1，又 f(1)a2，f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)，又此切线过点(2,7)，7(a2)(3a1)(21)，解得 a1.答案：13(2012高考课标全国卷)曲线 yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析：y3ln x1x3x3ln x4，ky|x14，切线方程为 y14(x1)，即 y4x3.答案：y4x34(2016高考天津卷)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)的
231、导函数，则 f(0)的值为_解析：f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，f(0)3.答案：35(2015高考天津卷)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_解析：f(x)aln xa，f(1)aln 1a3，解得 a3.答案：36(2016高考山东卷)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是()Aysin xByln xCyexDyx3解析：选 A.对于 A，ycos x，存在 x1，x2，若 cos x1cos
232、x21，如 x1，x22，可满足，对于 B，其导数为 f(x)1x，f(x1)f(x2)1x1x20，故 B 不满足；yf(x)ex 的导函数为 f(x)ex，f(x1)f(x2)ex1x20，故 C 不满足；yf(x)x3 的导函数为 f(x)3x2，f(x1)f(x2)9x21x220，故 D 不满足故选 A.课时规范训练A 组 基础演练1若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于()A1 B2C2 D0解析：选 B.f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且 f(1)2，f(1)2.2若曲线 yx4 的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为()A
233、4xy30Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析：选 A.切线 l 的斜率 k4，设 yx4 的切点的坐标为(x0，y0)，则 k4x304，x01，切点为(1,1)，即 y14(x1)，整理得 l 的方程为 4xy30.3直线 y12xb 是曲线 ylnx(x0)的一条切线，则实数 b 的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选 C.yln x 的导数为 y1x，1x12，解得 x2，切点为(2，ln 2)将其代入直线 y12xb，得 bln 21.4曲线 y3ln xx2 在点 P0处的切线方程为 4xy10，则点 P0的坐标是()A(0,1)B(1，1)C(1,3)
234、D(1,0)解析：选 C.y3x1，令 y4，解得 x1，此时 41y10，解得 y3，点 P0 的坐标是(1,3)5直线 ykxb 与曲线 yax22ln x 相切于点 P(1,4)，则 b 的值为()A3 B1C1 D3解析：选 C.由点 P(1,4)在曲线上可得 a122ln 14，解得 a2，故 y2x22ln x，所以 y4x1x，所以曲线在点 P 处切线的斜率141115.所以直线的方程为 y5xb.由点 P 在直线上得 451b，解得 b1，故选C.6曲线 yxex1 在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e BeC2 D1解析：选 C.yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点
235、(1,1)处的切线斜率为2.7若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点(0，m)处有公切线，则 ab()A1 B0C1 D2解析：选 C.依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有 f(0)g(0)，即asin 020b，b0，mf(0)g(0)，即 ma1，因此 ab1.8在函数 yx39x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A0 B1C2 D3解析：选 A.依题意得，y3x29，令 0y1 得 3x2103，显然满足该不等式的整数 x 不存在，因此在函数 yx39x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于4
236、，且横、纵坐标都为整数的点的个数是 0，选 A.9等比数列an中，a12，a84，函数 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则 f(0)()A26B29C212D215解析：选 C.依题意，记 g(x)(xa1)(xa2)(xa8)，则 f(x)xg(x)，f(x)g(x)xg(x)，f(0)g(0)a1a2a8(a1a8)4212，故选 C.10已知 f1(x)sin xcos x，fn1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则 f2 019(x)等于()Asin xcos xBsin xcos xCsin xco
237、s xDsin xcos x解析：选 A.f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以 4 为周期的函数，f2 019(x)f3(x)sin xcos x，故选 A.B 组 能力突破1已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2x)2x27x6，则曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3解析：选 C.法一：令 x1 得 f(1)1，令 2xt，可得 x2t，代入 f(2x)2x27
238、x6 得 f(t)2(2t)27(2t)6，化简整理得 f(t)2t2t，即 f(x)2x2x，f(x)4x1，f(1)3.所求切线方程为 y13(x1)，即 y3x2.法二：令 x1 得 f(1)1,由 f(2x)2x27x6，两边求导可得 f(2x)(2x)4x7，令 x1 可得f(1)3，即 f(1)3.所求切线方程为 y13(x1)，即 y3x2.2已知函数 f(x)asin xbx34(aR，bR)，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(2 017)f(2 017)f(2 018)f(2 018)()A0 B2 017C2 018 D8解析：选 D.设 g(x)asin xbx3，f
239、(x)g(x)4，且 g(x)g(x)，所以 f(2 017)f(2 017)g(2 017)4g(2 017)48，又因为 f(x)acos x3bx2，所以f(x)为 R 上的偶函数，则 f(2 018)f(2 018)0，所以 f(2 017)f(2 017)f(2 018)f(2 018)8，故选 D.3已知函数 yf(x)及其导函数 yf(x)的图象如图所示，则曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程是_解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线 yf(x)在点P处的切线的斜率 kf(2)1，又过点 P(2,0)，所以切线方程为 xy20.答案：xy204已知函数 f(x)的导函数为 f
240、(x)，且满足 f(x)3x22xf(2)，则 f(5)_.解析：对 f(x)3x22xf(2)求导，得 f(x)6x2f(2)令 x2，得 f(2)12.再令 x5，得 f(5)652f(2)6.答案：65设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.解析：设 ext，则 xln t(t0)，f(t)ln tt，f(t)1t1，f(1)2.答案：26若函数 f(x)12x2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)12x2axln x，f(x)xa1x.f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点，x1xa0，ax1x2.
241、答案：2，)第 11 课时 导数与函数的单调性、极值、最值1函数的单调性与导数在(a，b)内的可导函数 f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值与导数(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(
242、b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值3函数的最值与导数(1)在闭区间 a，b上连续的函数 f(x)在 a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在 a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在 a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数 f(x)在 a，b上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在 a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)
243、在(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件()(5)函数的极大值一定是函数的最大值()(6)开区间上的单调连续函数无最值()(7)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(8)闭区间上的连续函数一定有最大值，也有最小值()(9)函数 f(x)3xb
244、，在 m，n上的极大值点为 m.()(10)函数 f(x)x21，其极值点为12，0.()考点一 利用导数研究函数的单调性命题点1.判断函数的单调性2.求函数的单调区间3.利用导数与单调性的关系求参数例 1(1)函数 f(x)1xsin x 在(0,2)上是()A增函数B减函数C在(0，)上增，在(，2)上减D在(0，)上减，在(，2)上增解析：f(x)1cos x0 恒成立，f(x)在 R 上递增，在(0,2)上为增函数答案：A(2)设函数 f(x)13x3(1a)x24ax24a，其中常数 a1，则 f(x)的单调减区间为_解析：f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由 a1 知
245、，当 x2 时，f(x)0，故 f(x)在区间(，2)上是增函数；当 2x2a 时，f(x)0，故 f(x)在区间(2,2a)上是减函数；当 x2a 时，f(x)0，故 f(x)在区间(2a，)上是增函数综上，当 a1 时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数答案：(2,2a)(3)函数 f(x)x3ax 为 R 上增函数的一个充分不必要条件是()Aa0 Ba0Ca0 Da0解析：函数 f(x)x3ax 为 R 上增函数的一个充分不必要条件是 f(x)3x2a0在 R 上恒成立，所以 a(3x2)min.因为(3x2)min0，所以 a0.故选 B.答案：
246、B方法引航 1利用导数的符号来判断函数的单调性；2已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；3fx为增函数的充要条件是对任意的 xa，b都有 fx0 且在a，b内的任一非空子区间上 fx0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.1若将本例(2)改为已知函数 f(x)13x3(1a)x24ax24a.(aR)，求 f(x)的单调区间解：xR，f(x)x22(1a)x4a(x2a)(x2)，令 f(x)0，得 x12a，x22，当 2a2，即 a1 时由 f(x)0 得 x2a 或 x2；由 f(x)0 得 2x2a.当 2a2，即 a1 时，f(x)0 恒成立；当 2a2，即 a
247、1 时，由 f(x)0 得 x2 或 x2a；由 f(x)0 得 2ax2.综上所述，当 a1 时，增区间为(2a，)，(，2)；减区间为(2,2a)当 a1 时，增区间为(，)，无减区间当 a1 时，增区间为(，2a)，(2，)，减区间为(2a,2)2若函数 f(x)13x332x2ax4 恰在1,4上单调递减，则实数 a 的值为_解析：f(x)13x332x2ax4，f(x)x23xa，又函数 f(x)恰在1,4上单调递减，1,4 是 f(x)0 的两根，a(1)44.答案：4考点二 利用导数求函数的极值命题点1.求函数的极值2.已知极值求参数例 2(1)求函数 f(x)x22mln x(
248、m0)的极值解：由条件知函数 f(x)的定义域为(0，)因为 m0，则 f(x)2xmxmx.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，m)m(m，)f(x)0f(x)极小值由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是(0，m)，单调递增区间是(m，)当 x m时，f(x)极小值(m)22mln mmmln(m)(2)已知 a，b 是实数，1 和1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点求 a 和 b 的值；设函数 g(x)的导函数 g(x)f(x)2，求 g(x)的极值点解：由题设知 f(x)3x22axb，且 f(1)32ab0，f(1)32ab0.解得 a0，b3.
249、由(1)知 f(x)x33x.因为 f(x)2(x1)2(x2)，所以 g(x)0 的根为 x1x21，x32，于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或2.当 x2 时，g(x)0；当2x1 时，g(x)0，故2 是 g(x)的极值点当2x1 或 x1 时，g(x)0，故 1 不是 g(x)的极值点所以 g(x)的极值点为2.方法引航 1.求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导函数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)用函数的导数值为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检查在方程根的左右 f(x)的值的符号，如果左正右负，那么 f
250、(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点2已知极值求参数时，要注意检验所求是否有极值的条件1若本例(1)中函数不变，m 变为“m0”，其极值如何解：当 m0 时，f(x)x2，在(，0)，f(x)为减函数，(0，)为增函数，当 x0 时，f(x)极小值为 0，无极大值当 m0 时，f(x)2x2mx 0 恒成立f(x)在(0，)上为增函数，无极值2若本例(2)改为已知函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极值 10，则 f(2)等于()A
251、11 或 18 B11C18 D17 或 18解析：选 C.函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极值 10，f(1)10，且 f(1)0，即1aba210，32ab0，解得a3，b3，或a4，b11.而当a3，b3时，函数在 x1 处无极值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.考点三 利用导数求函数的最值命题点1.求函数的最值2.利用最值求参数例 3(1)已知函数 f(x)ex，g(x)ln x1，对aR，b(0，)，使得 f(a)g(b)，则 ba 的最小值为()A1 B2C2 e1 De21解析：设 f(a)g(b)t，即 ealn b1t(t0)，所以 aln
252、t，bet1，则 baet1ln th(t)，h(t)ete 1tet11t，令 h(t)0，得 t1，可判断 t1 为函数 h(t)的极小值点，所以所求的最小值为 h(1)1.答案：A(2)设函数 f(x)xexxa2x1 2.若 a1，求 f(x)的单调区间；当 x0 时，f(x)x2x2 恒成立，求 a 的取值范围解：a1，f(x)xexx12x1 2xex12x2x2，f(x)(ex1)(x1)，当1x0 时，f(x)0；当 x1 或 x0 时，f(x)0，f(x)在1,0上单调递减，在(，1，0，)上单调递增由 f(x)x2x2，得 xexa22 x 0，即要满足exa22 x，当
253、x0 时，显然成立；当 x0 时，即exxa22，记 g(x)exx，则 g(x)exx1x2，易知 g(x)的最小值为 g(1)e，a22 e，得a2(e1)方法引航 设函数 fx在 a，b上连续，在a，b内可导，则求 fx在 a，b上的最大值与最小值的步骤如下：1求 fx在a，b内的极值，若函数 fx中含有参数，则需要讨论参数的范围，从而决定极值存在的位置；2将 fx的各极值与 fa、fb比较，得出函数 fx在 a，b上的最值.1函数 f(x)x33x23x4 在 0,2上的最小值是()A173 B103C4 D643解析：选 A.f(x)x22x3，令 f(x)0 得 x1(x3 舍去)
254、，又 f(0)4，f(1)173，f(2)103.故 f(x)在 0,2上的最小值是 f(1)173.2设函数 f(x)x3x222x5，若对任意的 x1,2，都有 f(x)a，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)3x2x2，令 f(x)0，得 3x2x20，解得 x1 或 x23，又 f(1)72，f23 15727，f(1)112，f(2)7，故 f(x)min72，a72.答案：，72 规范答题用导数研究函数单调性和极值典例(2017山东济南模拟)(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)exaxa(aR 且a0)(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值，求实数 a 的值；并求此时
255、 f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围解(1)函数 f(x)的定义域为 R，f(x)exa，1 分f(0)e0a0，a1.2 分f(x)ex1，在(，0)上 f(x)0，f(x)单调递减，在(0，)上 f(x)0，f(x)单调递增，当 x0 时，f(x)取极小值a1.3 分易知 f(x)在2,0上单调递减，在(0,1上 f(x)单调递增，且 f(2)1e23，f(1)e，f(2)f(1).4 分f(x)在2,1的最大值为1e23.5 分(2)f(x)exa，由于 ex0.当 a0 时，f(x)0，f(x)是增函数，7 分且当 x1 时，f(x)e
256、xa(x1)0.8 分当 x0 时，取 x1a，则 f1a 1a1a1 a0，函数 f(x)存在零点，不满足题意.9 分当 a0 时，令 f(x)exa0，xln(a)在(，ln(a)上 f(x)0，f(x)单调递减，在(ln(a)，)上 f(x)0，f(x)单调递增，xln(a)时，f(x)取最小值.11 分函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求的实数 a 的取值范围是e2a0.13 分规范建议(1)正确求导和 f(0)(2)通过极值并检验 a 的值(3)利用单调变化求最大值(4)讨论 a，确定单调变化与最值
257、，构建关于 a 的不等式(5)注意(1)与(2)两问无关系高考真题体验1(2016高考全国乙卷)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)单调递增，则 a 的取值范围是()A1,1 B.1，13C.13，13D.1，13解析：选 C.f(x)123cos 2xacos x123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x53f(x)在 R 上单调递增，则 f(x)0 在 R 上恒成立，令 cos xt，t1,1，则43t2at530 在1,1上恒成立，即 4t23at50 在1,1上恒成立，令 g(t)4t23at5，则g143a50，g143a50，解得13a13，
258、故选 C.2(2014高考课标卷)设函数 f(x)aln x1a2 x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范围解：(1)f(x)ax(1a)xb.由题设知 f(1)0，解得 b1.(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)aln x1a2 x2x，f(x)ax(1a)x11ax x a1a(x1)()若 a12，则 a1a1，故当 x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 f(1)aa1，即1a2 1 aa1
259、，解得 21a 21.()若12a1，则 a1a1，故当 x1，a1a 时，f(x)0；当 xa1a，时，f(x)0.f(x)在1，a1a 上单调递减，在a1a，上单调递增所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 fa1a aa1.而 fa1a aln a1aa221a aa1 aa1，所以不合题意()若 a1，则 f(1)1a2 1a12 aa1.综上，a 的取值范围是(21，21)(1，)3(2013高考课标卷)已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(
260、x)的极大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得 f(0)4，f(0)4，故 b4，ab8.从而 a4，b4.(2)由(1)知 f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2)ex12.令 f(x)0，得 xln 2 或 x2.从而当 x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当 x(2，ln 2)时，f(x)0.故 f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4(1e2)课时规范训练A 组 基础演练1函数 f(x)x22ln x 的单调减区间是()A(0,1)B(1，)C
261、(，1)D(1,1)解析：选 A.f(x)2x2x2x1x1x(x0)当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数2函数 f(x)x33x22 在区间1,1上的最大值是()A2 B0C2 D4解析：选 C.f(x)3x26x，令 f(x)0，得 x0 或 x2.f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数f(x)maxf(x)极大值f(0)2.3若函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(x)的图象可能为()解析：选 C.根据 f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除 A，D；从适合 f
262、(x)0 的点可以排除 B.4下面为函数 yxsin xcos x 的递增区间的是()A.2，32B(，2)C.32，52D(2，3)解析：选 C.y(xsin xcos x)sin xxcos xsin xxcos x，当 x32，52 时，恒有 xcos x0.故选 C.5设函数 f(x)12x29ln x 在区间 a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值范围是()A1a2 Ba4Ca2 D0a3解析：选 A.f(x)12x29ln x，f(x)x9x(x0)，当 x9x0 时，有 0 x3，即在(0,3上原函数是减函数，a10 且 a13，解得 1a2.6函数 f(x)x9x的单调减区间
263、为_解析：f(x)19x2x29x2，令 f(x)0，解得3x0 或 0 x3，故单调减区间为(3,0)和(0,3)答案：(3,0)和(0,3)7函数 f(x)x3ax2 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_解析：f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则 f(x)3x2a0 在(1，)上恒成立，即 a3x2 在(1，)上恒成立a3.答案：a38若 f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是_解析：转化为 f(x)x bx20 在1，)上恒成立，即 bx(x2)在1，)上恒成立，令 g(x)x(x2)(x1)21，所以 g(x)min1，则
264、 b 的取值范围是(，1答案：(，19已知函数 f(x)1ln xkx(k0)求函数 f(x)的极值解：f(x)1ln xkx，其定义域为(0，)，则f(x)ln xkx2.令 f(x)0，得 x1，当 k0 时，若 0 x1，则 f(x)0；若 x1，则 f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当 x1 时，函数 f(x)取得极大值1k.当 k0 时，若 0 x1，则 f(x)0；若 x1，则 f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即当 x1 时，函数 f(x)取得极小值1k.10已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲
265、线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解：(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2，令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(0,5)内为减函数；当 x(5，)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数由此知函数 f(x)在 x5
266、时取得极小值 f(5)ln 5.B 组 能力突破1已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a()A4 B2C4 D2解析：选 D.由题意可得 f(x)3x2123(x2)(x2)，令 f(x)0，得 x2或 x2，则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则 a2.故选 D.2已知函数 f(x)exx2k2xln x，若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k的取值范围为()A(，e B0，eC(，e)D0，e)解析：选 A.f(x)x2ex2xexx4k2x2
267、1x x2exxkx2(x0)设 g(x)exx，则 g(x)x1exx2，则 g(x)在(0,1)内单调减，在(1，)内单调增g(x)在(0，)上有最小值，为 g(1)e，结合 g(x)exx与 yk 的图象可知，要满足题意，只需 ke，选 A.3已知函数 f(x)2x1x22，则下列选项正确的是()A函数 f(x)有极小值 f(2)12，极大值 f(1)1B函数 f(x)有极大值 f(2)12，极小值 f(1)1C函数 f(x)有极小值 f(2)12，无极大值D函数 f(x)有极大值 f(1)1，无极小值解析：选 A.由 f(x)2x1x22 2x2x1x2220，得 x2 或 x1，当
268、x2 时，f(x)0，当2x1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，故 x2是函数 f(x)的极小值点，且 f(2)12，x1 是函数 f(x)的极大值点，且 f(1)1.4已知函数 f(x)12x24x3ln x 在 t，t1上不单调，则 t 的取值范围是_解析：由题意知 f(x)x43xx24x3xx1x3x，由 f(x)0 得函数 f(x)的两个极值点为 1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数 f(x)在区间 t，t1上就不单调，由 t1t1 或 t3t1，得 0t1 或 2t3.答案：(0,1)(2,3)5已知函数 f(x)exax1.(1)求 f(x)的单调
269、增区间；(2)是否存在 a，使 f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由解：f(x)exa，(1)若 a0，则 f(x)exa0，即 f(x)在 R 上单调递增，若 a0，exa0，exa，xln a.因此当 a0 时，f(x)的单调增区间为 R，当 a0 时，f(x)的单调增区间是 ln a，)(2)f(x)exa0 在(2,3)上恒成立aex 在 x(2,3)上恒成立又2x3，e2exe3，只需 ae3.当 ae3 时，f(x)exe3 在 x(2,3)上，f(x)0，即 f(x)在(2,3)上为减函数，ae3.故存在实数 ae3，使 f(x)在(
270、2,3)上为减函数 第 12 课时 导数的综合应用与定积分考点一 利用导数研究函数的零点(方程根)命题点1.证明、判断函数零点(个数)2.已知函数零点(个数)求参数例 1 已知函数 f(x)x33x2ax2，曲线 yf(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k1 时，曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点解：(1)f(x)3x26xa，f(0)a.由题设得2a2，所以 a1.(2)证明：由(1)知，f(x)x33x2x2.设 g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由题设知 1k0.当 x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调
271、递增，g(1)k10，g(0)4，所以 g(x)0 在(，0上有唯一实根当 x0 时，令 h(x)x33x24，则 g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以 g(x)h(x)h(2)0.所以 g(x)0 在(0，)上没有实根综上，g(x)在 R 上有唯一实根，即曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点例 2 已知 x1 是函数 f(x)13ax332x2(a1)x5 的一个极值点(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若曲线 yf(x)与直线 y2xm 有三个交点，求实数 m 的取值范围解：(1)f(x)a
272、x23xa10，由 f(1)0，得 a1，y13x332x22x5.(2)曲线 yf(x)与直线 y2xm 有三个交点，即 g(x)13x332x22x52xm0 有三个根，即有 3 个零点由 g(x)x23x0 得 x0 或 x3.由 g(x)0 得 x0 或 x3，由 g(x)0 得 0 x3.函数 g(x)在(，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，)上为增函数，要使 g(x)有三个零点，只需g00，g30，解得：12m5.即实数 m 的取值范围为12，5.方法引航 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图
273、象的交点问题，利用数形结合来解决.1已知函数 f(x)x3ax2bxc 有两个极值点 x1，x2，若 f(x1)x1x2，则关于 x的方程 3(f(x)22af(x)b0 的不同实根个数为()A3 B4C5 D6解析：选 A.f(x)3x22axb，令 f(x)0，得 xx1 或 xx2，令 tf(x)，则方程为 3t22atb0，由题意知 tx1 或 tx2，f(x)x1 有两解，f(x)x2 有一解，方程 3f(x)22af(x)b0 有不同实根共 3 个2若函数 f(x)x33xa 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_解析：由 f(x)x33xa0，得 f(x)3x23，由 f(
274、x)3x230，得 x1，f 极大值(1)2a，f 极小值(1)a2，要使函数 f(x)x33xa 有三个不同的零点，则有 f 极大值(1)2a0，f 极小值(1)a20，即2a2，所以实数 a 的取值范围是(2,2)答案：(2,2)考点二 利用导数与函数的关系解决不等式问题命题点1.比较函数值大小2.解不等式3.证明不等式4.不等式恒成立求参数例 3(1)函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)f(2x)，且当 x(，1)时，(x1)f(x)0，设 af(0)，bf12，cf(3)，则()Aabc BcbaCcabDbca解析：依题意得，当 x1 时，f(x)0，f(x)为增函数；又
275、 f(3)f(1)，且10121，因此有 f(1)f(0)f12，即有 f(3)f(0)f12，cab.答案：C(2)函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)解析：设 F(x)f(x)(2x4)，则 F(1)f(1)(24)220，F(x)f(x)2，对任意 xR，有 F(x)f(x)20，即函数 F(x)在 R 上单调递增，则 F(x)0 的解集为(1，)，即 f(x)2x4 的解集为(1，)答案：B例 4 已知函数 f(x)aexaxln x，aR.(1)若 a1，求函数 f(x)在 1，e
276、上的最大值；(2)当 a 1e1时，求证：x(0，)，f(x)1xln x2a2.解：(1)依题意，知 f(x)ex1xln x.则 f(x)ex1x21xx2exx1x2，易知在 1，e上，f(x)0，f(x)单调递增，故 f(x)maxf(e)ee1e1.(2)证明：要证 f(x)1xln x2a2，x(0，)，即证 aexax1x(2a2)0，x(0，)，令 g(x)aexax1x(2a2)，x(0，)，下面证明当 a 1e1，且 x0 时，g(x)0 恒成立，g(x)aexa1x2，令 h(x)aexx2(a1)，易知 h(x)在(0，)上单调递增注意到 h(1)aea1 ee1 1e
277、110，故当 x(0,1)时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)单调递减；当 x(1，)时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)单调递增故 g(x)ming(1)ee1 1e11 2e120，故当 a 1e1时，x(0，)，g(x)0 恒成立，即 f(x)1xln x2a2 恒成立例 5 设函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cx2)若曲线 yf(x)在点 P(0,2)处的切线为y4x2，且 g(0)4.(1)求实数 a，b，c 的值(2)若当 x2 时，f(x)kg(x)恒成立，求实数 k 的取值范围解：(1)yf(x)在点 P(0,2)处的切线为 y4x2.f(0)b2.又 f(x)
278、2xa，从而 f(0)a4.由于 g(x)ex(cxc2)，且 g(0)4.e0(c2)4.则 c2.综上可知 a4，bc2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数 F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则 F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得 F(0)0，即 k1.令 F(x)0 得 x1ln k，x22.当 1ke2，则2x10.当 x(2，x1)时，F(x)0；当 x(x1，)时，F(x)0.故 F(x)在(2，x1)上是减函数，在(x1，)上是增函数因此 F(x)在区间2，)上的最小值为F(x1)x1(x12)由于2
279、x10，F(x1)x1(x12)0.从而当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立当 ke2 时，x1ln k2，kexe2e21此时，F(x)2(x2)(kex1)0 在 x2，)上恒成立F(x)在2，)上是增函数，F(x)minF(2)22ke2.依题意，22ke20，ke2.因此 ke2，此时 F(x)0 即 f(x)kg(x)恒成立综合知，实数 k 的取值范围为 1，e2方法引航 1.利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然
280、后根据图象判断函数的零点个数2已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值3利用导数方法证明不等式 f(x)g(x)在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数 h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口1已知 f(x)1xsin x，则 f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是()Af(2)f(3)f()Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3)Df()
281、f(3)f(2)解析：选 D.因为 f(x)1xsin x，所以 f(x)1cos x，当 x(0，时，f(x)0.所以 f(x)在(0，上是增函数，所以 f()f(3)f(2)2已知 f(x)sin x2x，xR，且 f(1a)f(2a)0，则 a 的取值范围是_解析：由 f(x)sin x2x，xR，得 f(x)cos x20，f(x)在(，)上递增且是奇函数，由 f(1a)f(2a)0，即 f(2a)f(a1)，2aa1，a1.答案：(，1)3当 0 x2时，求证：tan xxx33.证明：设 f(x)tan xxx33.则 f(x)1cos2x1x2tan2xx2(tan xx)(ta
282、n xx)因为 0 x2，所以 xtan x(简单进行证明亦可)，所以 f(x)0，即 x0，2 时，f(x)为增函数所以 x0，2 时，f(x)f(0)而 f(0)0，所以 f(x)0，即 tan xxx33 0.故 tan xxx33.4设函数 f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求所有的实数 a，使 e1f(x)e2 对 x1，e恒成立(注：e 为自然对数的底数)解：(1)因为 f(x)a2ln xx2ax，其中 x0，所以 f(x)a2x 2xaxa2xax.由于 a0，所以 f(x)的递增区间为(0，a)，递减区间为(a，)(2)要使 e1f(x)
283、e2 对 x1，e恒成立，则 f(1)e1，得 a1e1，ae，由(1)知 f(x)在 1，e内递增，只要f1a1e1，fea2e2aee2，解得 ae.考点三 利用导数研究生活中的优化问题命题点利用导数解决实际问题中的最值例 6 某种产品每件成本为 6 元，每件售价为 x 元(x6)，年销售为 u 万件，若已知5858 u 与x2142 成正比，且售价为 10 元时，年销量为 28 万件(1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解：(1)设5858 ukx2142.售价为 10 元时，年销量为 28 万件，5858 28k10214
284、2，解得 k2，u2x21425858 2x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(x6)(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)令 y0，得 x2(x6，舍去)或 x9，显然，当 x(6,9)时，y0；当 x(9，)时，y0，函数 y2x333x2108x108 在(6,9)上是增加的；在(9，)上是减少的，当 x9 时，y 取最大值，且 ymax135，售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为 135 万元方法引航 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤.1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间
285、的函数关系 yfx，根据实际意义确定定义域；2求函数 yfx的导数 fx，解方程 fx0 得出定义域内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大小值；4还原到原实际问题中作答.电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y13x3392 x240 x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析：由 yx239x400，得 x1 或 x40，由于 0 x40 时，y0；当 x40 时，y0.所以当 x40 时，y 有最小值答案：40考点四 微积分基本定理与定积分命题点1.求已知函数的定积分2.求封闭图形的面积例 7(1)01 x22xdx_.解析：01 x
286、22xdx 表示 yx22x与 x0，x1 及 y0 所围成的图形的面积由 y x22x得(x1)2y21(y0)，又0 x1，yx22x与 x0，x1 及 y0 所围成的图形为14个圆，其面积为4.01 x22xdx4.答案：4(2)用 mina，b表示 a，b 两个数中的较小的数，设 f(x)minx2，x，那么由函数 yf(x)的图象、x 轴、直线 x12和直线 x4 所围成的封闭图形的面积为_解析：如图所示，所求图形的面积为如图阴影部分的面积，即所求的面积 Sx2dx14 xdx11924.答案：11924方法引航 1.求定积分的方法(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指
287、数函数与常数的积的和或差，用积分性质求积分(2)根据定积分的几何意义，转化为求封闭图形的面积2求曲边梯形面积或用曲边梯形面积求积分的方法(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和1若把本例(1)变为：01(x22x)dx，其结果为多少？解析：01(x22x)dx13x3x2131023.2若把本例(2)改为求 f(x)x2 与 y x围成的封闭图形的面积解析：如图，令 x2 x，x1.yx2 与 y x的交点 A(1,1)其封闭图形面积为S01(xx2)dx231
288、313.思想方法数学思想方法的应用函数与方程思想，转化与化归思想典例 已知函数 f(x)12x2aln x.(1)若 a1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若 a1，求函数 f(x)在 1，e上的最大值和最小值；(3)若 a1，求证：在区间 1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x)23x3 的图象的下方审题路线图求 f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求 f(x)0 的解，即 f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入 f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求 f(x)在 1，e上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定
289、最大、最小值(构造函数进行转化)F(x)f(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证 F(x)0 在 1，)上恒成立研究函数 F(x)在 1，)上的单调性解(1)由于函数 f(x)的定义域为(0，)，当 a1 时，f(x)x1xx1x1x，令 f(x)0 得 x1 或 x1(舍去)，当 x(0,1)时，函数 f(x)单调递减，当 x(1，)时，函数 f(x)单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值为12.(2)当 a1 时，易知函数 f(x)在 1，e上为增函数，f(x)minf(1)12，f(x)maxf(e)12e21.(3)证明：设 F(x)f(x)g(x)12x2ln
290、 x23x3，则 F(x)x1x2x21x1x2x2x，当 x1 时，F(x)0，故 f(x)在区间 1，)上是减函数，又 F(1)160，在区间 1，)上，F(x)0 恒成立即 f(x)g(x)恒成立因此，当 a1 时，在区间 1，)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x)图象的下方高考真题体验1(2014高考课标卷)已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且x00，则 a 的取值范围是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)解析：选 C.a0 时，不符合题意a0 时，f(x)3ax26x，令 f(x)0，得 x10，x22a.若 a0，则由图象知 f(x)有
291、负数零点，不符合题意则 a0，由图象结合 f(0)10 知，此时必有 f2a 0，即 a 8a33 4a210，化简得 a24，又 a0，所以 a2，故选 C.2(2016高考全国甲卷)已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时，f(x)0，求 a 的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x1x3，f(1)2，f(1)0.曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 2xy20.(2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln x
292、ax1x1 0.设 g(x)ln xax1x1，则g(x)1x2ax12x221ax1xx12，g(1)0.()当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此 g(x)0；()当 a2 时，令 g(x)0 得x1a1 a121，x2a1 a121.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此 g(x)0.综上，a 的取值范围是(，23(2016高考全国丙卷)设函数 f(x)ln xx1.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明当 x(1，)时，1x1ln x x；(
293、3)设 c1，证明当 x(0,1)时，1(c1)xcx.解：(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x1，令 f(x)0，解得 x1.当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知 f(x)在 x1 处取得最大值，最大值为 f(1)0.所以当 x1 时，ln xx1.故当 x(1，)时，ln xx1，ln1x1x1，即 1x1ln x x.(3)证明：由题设 c1，设 g(x)1(c1)xcx，则 g(x)c1cxln c，令 g(x)0，解得 x0lnc1ln cln c.当 xx0 时，g(x)0，g(x)单调
294、递增；当 xx0 时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知 1c1ln c c，故 0 x01.又 g(0)g(1)0，故当 0 x1 时，g(x)0.所以当 x(0,1)时，1(c1)xcx.4(2013高考课标全国卷)已知函数 f(x)exln(xm)(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明：f(x)0.解：(1)由题意，得 f(x)ex1xm.由 x0 是 f(x)的极值点，得 f(0)0，m1.f(x)exln(x1)，定义域为(1，)令 g(x)f(x)ex 1x1，则 g(x)ex1x120，f(x)ex 1x1在(1，)上
295、单调递增，且 f(0)0.因此，当 x(1,0)时，f(x)0；当 x(0，)时，f(x)0.f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明：当 m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当 m2 时，f(x)0.当 m2 时，函数 f(x)ex 1x2在(2，)上单调递增又 f(1)0，f(0)0，故 f(x)0 在(2，)上有唯一实根 x0，且 x0(1,0)当 x(2，x0)时，f(x)0；当 x(x0，)时，f(x)0，从而当 xx0 时，f(x)取得最小值由 f(x0)0，得 ex01x02，ln(x02)x0，故 f(x)f(x0)1x02x0 x01
296、2x02 0.综上，当 m2 时，f(x)0.课时规范训练A 组 基础演练1定积分01(2xex)dx 的值为()Ae2 Be1Ce De1解析：选 C.求出原函数，利用定积分公式求解01(2xex)dx(x2ex)e.2某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总营业收入 R 与年产量 x 的年关系是 RR(x)400 x12x2 0 x400，80 000 x400，则总利润最大时，年产量是()A100 B150C200 D300解析：选 D.由题意得，总成本函数为 CC(x)20 000100 x，总利润 P(x)300 xx2220 0
297、00 0 x400，60 000100 x x400，又 P(x)300 x 0 x400，100 x400，令 P(x)0，得 x300，易知 x300 时，总利润 P(x)最大3已知函数 f(x)exx2，若对任意的 x1,2，不等式mf(x)m24 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，1e B1e，eCe，e1 De，)解析：选 D.由题意得 f(x)ex2x，又对任意的 xR，f(x)0 恒成立，所以函数 f(x)在 1,2上单调递增，所以 e1f(x)e24，又不等式mf(x)m24 恒成立，所以e1m，mm24，e24m24，解得 me，所以选 D.4对于 R 上可导的任意函
298、数 f(x)，若满足 1xfx0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)解析：选 A.当 x1 时，f(x)0，此时函数 f(x)递减；当 x1 时，f(x)0，此时函数 f(x)递增，即当 x1 时，函数 f(x)取得极小值同时也取得最小值 f(1)，所以f(0)f(1)，f(2)f(1)，则 f(0)f(2)2f(1)，故选 A.5若 0 x1x21，则()解析：选 C.令 f(x)exx，则 f(x)xexexx2exx1x2.当 0 x1 时，f(x)0，即 f(x)在(0,1)上单调递减，0 x1x2
299、1，f(x2)f(x1)，6图中阴影部分的面积等于_解析：所求面积为013x2dxx31.答案：17已知函数 yx33xc 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c_.解析：设 f(x)x33xc，对 f(x)求导可得，f(x)3x23，令 f(x)0，可得 x1，易知 f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若 f(1)13c0，可得 c2；若 f(1)13c0，可得 c2.答案：c28设函数 f(x)kx33x1(xR)，若对于任意 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数 k 的值为_解析：若 x0，则不论 k 取何值，f(x)0 都成立；当 x0，即 x(0,1时，
300、f(x)kx33x10 可化为 k3x21x3.设 g(x)3x21x3，则 g(x)312xx4，所以 g(x)在区间0，12 上单调递增，在区间12，1 上单调递减，因此 g(x)maxg12 4，从而 k4；当 x0 即1,0)时，f(x)kx33x10 可化为 k3x21x3，g(x)3x21x3在区间1,0)上单调递增，因此 g(x)ming(1)4，从而 k4，综上 k4.答案：49已知函数 f(x)x2aln x 的图象在点 P(1，f(1)处的切线斜率为 10.(1)求实数 a 的值；(2)判断方程 f(x)2x 根的个数，并证明你的结论解：(1)因为 f(x)x2aln x，
301、所以 f(x)2xax，函数 f(x)的图象在点 P(1，f(1)处的切线斜率 kf(1)2a.由 2a10 得：a8.(2)由(1)知，f(x)x28ln x，令 F(x)f(x)2xx22x8ln x.因为 F(1)10，f(2)8ln 20，所以 F(x)0 在(0，)至少有一个根又因为 F(x)2x28x2 16260，所以 F(x)在(0，)上递增，所以函数 F(x)在(0，)上有且只有一个零点，即方程 f(x)2x 有且只有一个实根10已知函数 f(x)ax2ex(aR，e 为自然对数的底数)，f(x)是 f(x)的导函数(1)解关于 x 的不等式；f(x)f(x)；(2)若 f(
302、x)有两个极值点 x1，x2，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)2axex，f(x)f(x)ax(x2)0.当 a0 时，无解；当 a0 时，解集为x|x0 或 x2；当 a0 时，解集为x|0 x2(2)设 g(x)f(x)2axex，则 x1，x2 是方程 g(x)0 的两个根g(x)2aex，当 a0 时，g(x)0 恒成立，g(x)单调递减，方程 g(x)0 不可能有两个根；当 a0 时，由 g(x)0，得 xln 2a，当 x(，ln 2a)时，g(x)0，g(x)单调递增，当 x(ln 2a，)时，g(x)0，g(x)单调递减当 g(x)max0 时，方程 g(x)0 有两个
303、根，g(x)maxg(ln 2a)2a ln 2a2a0，得 ae2.B 组 能力突破1函数 f(x)的定义域是 R，f(0)2，对任意 xR，f(x)f(x)1，则不等式 exf(x)ex1 的解集为()Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 或 x1 Dx|x1 或 0 x1解析：选 A.构造函数 g(x)exf(x)ex，因为 g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以 g(x)exf(x)ex 为 R 上的增函数又因为 g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为 g(x)g(0)，解得 x0.2直线 y4x 与曲线 yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面
304、积为()A2 2B4 2C2 D4解析：选 D.首先求出两曲线的交点，画出图形，确定出被积函数，再用积分求出面积，令 4xx3，解得 x0 或 x2，S02(4xx3)2x2x44 844.3已知函数 f(x)mx1x 2ln x(mR)，g(x)mx，若至少存在一个 x01，e，使得 f(x0)g(x0)成立，则实数 m 的取值范围是()A.，2eB.，2eC(，0 D(，0)解析：选 B.由题意，不等式 f(x)g(x)在 1，e上有解，mx2ln x，即m2ln xx 在 1，e上有解，令 h(x)ln xx，则 h(x)1ln xx2，当 1xe 时，h(x)0，在 1，e上，h(x)
305、maxh(e)1e，m21e，m2e.m 的取值范围是，2e.故选 B.4已知函数 yf(x)的导函数为 f(x)5cos x，且 f(0)0，如果 f(1x)f(1x2)0，则实数 x 的取值范围是_解析：根据题意知 f(x)5xsin xc，由 f(0)0，得 c0，则函数 yf(x)为奇函数，且在 R 上为增函数，f(1x)f(1x2)0，得 f(1x)f(x21)，则1xx21，即 x2x20，解得 x2 或 x1.答案：x2 或 x15已知定义在正实数集上的函数 f(x)12x22ax，g(x)3a2ln xb，其中 a0.设两曲线 yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相
306、同(1)用 a 表示 b，并求 b 的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)解：(1)设两曲线的公共点为(x0，y0)，f(x)x2a，g(x)3a2x，由题意知 f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即12x202ax03a2ln x0b，x02a3a2x0.由 x02a3a2x0，得 x0a 或 x03a(舍去)即有 b12a22a23a2ln a52a23a2ln a.令 h(t)52t23t2ln t(t0)，则 h(t)2t(13ln t)于是当 t(13ln t)0，即 0t时，h(t)0；当 t(13ln t)0，即 t时，h(t)0.故 h(t)在(0，)上为增函数
307、，在(，)上为减函数，于是 h(t)在(0，)上的最大值为 h()32，即 b 的最大值为32.(2)证明：设 F(x)f(x)g(x)12x22ax3a2ln xb(x0)，则 F(x)x2a3a2x xax3ax(x0)故 F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，)上为增函数于是 F(x)在(0，)上的最小值是 F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当 x0 时，有 f(x)g(x)0，即当 x0 时，f(x)g(x)高考规范答题 函数与导数类考题典例(本题满分 12 分)已知 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2
308、时，求 a 的取值范围标准答案满分模板解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.1 分 得分点若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增.2 分 得分点若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；x1a，时，f(x)0，2 分 得分点所以 f(x)在0，1a 上单调递增，在1a，上单调递减.1 分 得分点(2)由(1)知，当 a0 时，f(x)在(0，)上无最大值；当 a0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为 f1a ln1a a11a ln aa1.2 分 得分点因此 f1a 2a2 等价于 ln aa10，令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，
309、)上单调递增，2 分 得分点又 g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)0；当 a1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1).2 分 得分点规范答题(1)踩点说明求导正确，就得 1 分体现分类讨论，分两种情况讨论正确就得 4 分只要表示出最大值，就得 2 分体现转化思想和构造函数，得 2 分体现分类讨论，得出结果，得 2 分(2)答题要求牢记求导法则，正确求导，如第(1)问，需要对原函数求导掌握分类讨论思想，如第(1)问中，必须对 a 分类讨论，否则就扣分，第(2)问中也涉及对 a 进行分类讨论注意利用第(1)问结果，如第(2)问，根据(1)中单调性结论，讨论函数 f(x)的最大值
310、利用转化思想如第(2)问中利用转化思想 f1a 2a2 等价于 ln aa10.构造函数如第(2)问中，先构造函数 g(a)ln aa1，再研究其单调性专题测试一 集合与函数(时间 90 分钟，满分 100 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集 U1,2,3,4,5,6，M2,3,4，N4,5，则U(MN)()A1,3,5 B2,4,6C1,5 D1,6解析：选 D.本题考查集合的基本运算M2,3,4，N4,5，MN2,3,4,5，则U(MN)1,62命题“x0R，x20 x010”的否定为()A“x0R，x20
311、x010”B“x0R，x20 x010”C“xR，x2x10”D“xR，x2x10”解析：选 C.本题考查全称量词与存在量词根据定义可知原命题的否定为“xR，x2x10”3已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A.本题考查集合之间的关系及充分条件与必要条件A1，a，B1,2,3，若 a3，则 A1,3，所以 AB；若 AB，则 a2 或 a3，所以“a3”是“AB”的充分不必要条件4下列各组函数中是同一个函数的是()f(x)2x3与 g(x)x 2x；f(x)x 与 g(x)x2；f(x)x2 与
312、g(x)x4；f(x)x22x1 与 g(t)t22t1.ABCD解析：选 C.本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系中，f(x)2x3|x|2x，故 f(x)，g(x)不是同一个函数；中，g(x)x2|x|，故 f(x)，g(x)不是同一个函数；易知中 f(x)，g(x)表示同一个函数5设 xy1,0a1，则下列关系正确的是()AxayaBaxayCaxayDlogaxlogay解析：选 C.本题考查函数的单调性及不等式的性质对于 A，a0，幂函数 f(x)xa 在(0，)上是减函数，所以 xaya，故 A 不正确；对于 B，xy1，又a0，利用不等式的性质得 axay，故 B 不正确
313、；易知 C 正确；对于 D，因为 0a1，所以函数 f(x)logax 在(1，)上是减函数，又 xy1，所以 logaxlogay，故 D 不正确6.函数 f(x)1lg x 2x的定义域为()A(，2 B(0,1)(1,2C(0,2 D(0,2)解析：选 B.本题主要考查函数的定义域f(x)1lg x 2x是复合函数，所以定义域要满足x0lg x02x0，解得 0 x2 且 x1.7若 xR，nN*，规定：Hnxx(x1)(x2)(xn1)，例如：H44(4)(3)(2)(1)24，则 f(x)xH5x2的奇偶性为()A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不
314、是奇函数也不是偶函数解析：选 B.本题考查函数的奇偶性由定义可知 f(x)xH5x2x(x2)(x1)x(x1)(x2)x2(x21)(x24)，易知函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)x2(x21)(x24)f(x)，所以函数 f(x)是偶函数但不是奇函数8设函数 f(x)2tx，x2logtx21，x2，且 f(2)1，则 f(1)()A8 B6C4 D2解析：选 B.本题考查分段函数的求值因为 f(2)1，所以 logt(221)logt31，解得 t3，所以 f(1)2316.9已知函数 f(x)cos xex，则函数 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程为
315、()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选 B.本题考查导数的几何意义由题意知 f(x)sin xexcos xexex2，则 f(0)1，故所求切线的斜率为1，又 f(0)1，故所求切线方程为 xy10.10函数 f(x)12x2ln x 的单调递减区间是()A(1,1 B(0,1C1，)D(0，)解析：选 B.本题考查利用导数研究函数的单调性易知函数 f(x)的定义域为(0，)f(x)x1xx21x，令 f(x)0，得 0 x1，函数 f(x)的单调递减区间为(0,111若函数 f(x)x2ax1 在 x1 处取得极值，则 a()A1 B2C3 D4解析：选 C.本题考查应用
316、导数求解函数的极值 f(x)x2ax1 x2ax1x2ax1x12x22xax12，x1 为函数的极值点，f(1)0，即 121a0，解得 a3.12已知三次函数 f(x)ax3bx2cxd 的图象如图所示，则f3f1()A5 B5C3 D3解析：选 B.本题考查导数的运算求导得 f(x)3ax22bxc，结合图象可得 x1,2 为导函数的零点，即 f(1)f(2)0，故3a2bc012a4bc0，解得ac6，bc4.故f3f1 27a6bc3a2bc 5.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，把答案填在相应题号后的横线上)13设函数 f(x)x2(a2)x1 在区间(，2上是减函数
317、，则实数 a 的最大值为_解析：本题考查函数的单调性函数 f(x)的图象的对称轴为直线 xa22，则函数f(x)在，a22上单调递减，在区间a22，上单调递增，所以 2a22，解得 a2.答案：214曲线yx3x2 在点 P0处的切线平行于直线 y4x，则点P0的坐标是_解析：本题考查导数的几何意义设 P0(x0，y0)，由题意知 y3x21，则 3x2014，解得 x01，当 x01 时，y00；当 x01 时，y04，又点(1，4)在直线 y4x 上，不满足题意，所以点 P0 的坐标是(1,0)答案：(1,0)15若 a0，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则
318、 ab 的最大值为_解析：由题意得 f(x)12x22ax2b.f(x)在 x1 处有极值，f(1)122a2b0，ab6.a0，b0，abab229，当且仅当 ab3 时取等号，易知此时 f(x)在 x1 处有极小值，满足题意，ab 的最大值为 9.答案：916已知函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x2，那么不等式2f(x)10 的解集是_解析：本题考查了分类讨论思想，函数的奇偶性及函数的解析式由题意知，函数yf(x)的定义域是 R，当 x0 时，f(x)x2，则当 x0 时，x0，所以 f(x)x2，又函数 yf(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)f
319、(x)x2，即 f(x)x2，x00，x0 x2，x0，因此不等式 2f(x)10 等价于x02x210 或x02010 或x02x210，解得 x32或 x0 或 0 x52，故不等式 2f(x)10 的解集为x|x32或 0 x52答案：x|x32或 0 x52三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)kax(k，a 为常数，a0 且 a1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)(1)求实数 k，a 的值；(2)若函数 g(x)fx1fx1，试判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由解：(1)把 A(0,1)，B(3,8)的坐标代入 f(
320、x)kax，得ka01ka38，解得 k1，a12.(2)g(x)是奇函数，理由如下：由(1)知 f(x)2x，所以 g(x)fx1fx12x12x1.函数 g(x)的定义域为 R，又 g(x)2x12x12x2x2x2x2x2x2x12x1g(x)，所以函数 g(x)为奇函数18(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)ln xx.(1)试确定函数 f(x)在(0，)上的单调性；(2)若 a0，函数 h(x)xf(x)xax2 在(0,2)上有极值，求实数 a 的取值范围解：(1)对已知函数 f(x)求导得，f(x)1ln xx2.由 1ln x0，得 xe.当 x(0，e)时，f(x)0，当 x(e，)时，f(x)0，函数 f(x)在(0，e上单调递增，在 e，)上单调递减(2)由 h(x)xf(x)xax2 可得，h(x)ln xxax2，h(x)1x12ax2ax2x1x.设(x)2ax2x1，易知函数(x)的图象的对称轴为直线 x 14a，开口向下，故函数(x)在(0,2)上单调递减，又(0)10，结合题意可知(2)0，解得 a18，又 a0，a 的取值范围是(0，)
