1、山大附中20212022学年第一学期期中考试高三年级数学（理科）参考答案一、 单选题123456789101112DDCCDACDBDDA二、填空题13：【答案】14【答案】15【答案】16【答案】 三解答题17下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？【详解】（1）由，得，由，得5分（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，甲组数据的平均数为，因为，所以乙组的成绩更稳定12分18如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，是以
2、为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面；6分（2）取的中点，连接、，因为，所以.又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.以点
3、为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，由题意得、，所以，.设平面的法向量为，则，即，令，则，所以.所以，则直线与平面所成角的正弦值为.12分19已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中. （1）分别求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，可得，两式相减可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比数列的通项公式为；由得：，那么，以上个式子相乘，可得，又满足上式，所以的通项公式.6分（2）若，所以，两式相减得：，所以.12分20如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，为椭圆上一点，且+.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第二象限
4、，求的面积.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，因为椭圆的两焦点分别为，可得，所以，可得，所以，则，所以椭圆的标准方程为6分（2）因为点在第二象限，在中，由根据余弦定理得，即，解得，所以12分21已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.（3）若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）当时，切点为，曲线在点处的切线方程为，即；4分（2），当时，恒成立，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，令，解得或（舍）x，的变化情况如下表：x0极小值函数的递增区间为，递减区间为，.综上：当时，函数的递增区间为，无递减区间，无极值；当时，函数的递增区间
5、为，递减区间为，.8分（3）对任意的，使恒成立，只需对任意的，.所以由（2）的结论可知，当时，函数在上是增函数，满足题意；当时，函数在上是增函数，满足题意；当时，函数在上是减函数，在上是增函数，不满足题意.综上，a的取值范围为.12分22 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数） 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值【详解】（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即； 即，转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；5分（2）的极坐标为，点的直角坐标为 ，直线的倾斜角直线的参数方程为代入，得 设，两点对应的参数为，则，10分23已知函数.（1）若，解不等式；（2）若，且的最小值为，求证：.【详解】解：（1）当时，函数当时，由得，所以无解当时，由得，所以；当时，由得，所以.综上，不等式的解集为.5分（2）因为，当时，取到最小值，所以，即.所以，当且仅当时等号成立.即成立.10分
