1、课时作业29平面向量的数量积一、选择题1已知平面向量a,b的夹角为,且a(ab)2,|a|2,则|b|等于(D)A. B2C4 D.2解析:因为a(ab)2,所以a2ab2,即|a|2|a|b|cosa,b2,所以42|b|2,解得|b|2.2已知向量a(2,1),b(2,x)不平行,且满足(a2b)(ab),则x(A)A B.C1或 D.1或解析:因为(a2b)(ab),所以(a2b)(ab)0,所以|a|2ab2|b|20,因为向量a(2,1),b(2,x),所以54x2(4x2)0,解得x1或x,因为向量a,b不平行,所以x1,所以x,故选A.3已知向量a,b满足|a|1,|b|2,|a
2、b|,则a与b的夹角为(A)A. B.C. D.解析:对|ab|两边平方得a22abb23,即14cosa,b43,解得cosa,b,a,b.故选A.4已知向量a,b满足|a|1,|b|2,a(a2b)0,则|ab|(A)A. B.C2 D.解析:由题意知,a(a2b)a22ab12ab0,所以2ab1,所以|ab|.故选A.5如图,正六边形ABCDEF的边长为2,则(C)A2 B3C6 D.12解析:()()()(2)2|2|282246.6已知梯形ABCD中,ABCD,AB2CD,且DAB90,AB2,AD1,若点Q满足2,则(D)A B.C D.解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,
3、AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1)又2,Q,1.故选D.7已知向量(1,2),(1,2),则ABC的面积为(D)A. B4C. D.2解析:由题意,得|,|.设向量,的夹角为,则cos,所以sin,所以SABC|sin2,故选D.8(多选题)在RtABC中,CD是斜边AB上的高,如图,则下列等式成立的是(ABD)A.2B.2C.2D.2解析:由|cosA|AD|AB|,由射影定理可得|2,即选项A正确,由|cosB|BA|BD|,由射影定理可得|2,即选项B正确,由|cos(ACD)0,即选项C错误,由图可知RtACDRtABC,所以|
4、AC|BC|AB|CD|,由选项A,B可得|2,即选项D正确,故选ABD.二、填空题9已知平面向量a,b满足|a|b|1,a(a2b),则|ab|.解析:a(a2b),a(a2b)0,解得2ab1,|ab|.10已知向量a(1,),b(3,m)且b在a方向上的投影为3,则向量a与b的夹角为.解析:因为b在a方向上的投影为3,所以|b|cosa,b3,又|a|2,所以ab|a|b|cosa,b6,又ab3m,所以3m6,解得m3,则b(3,3),所以|b|6,所以cosa,b,因为0a,b,所以a与b的夹角为.11(多填题)如图,在菱形ABCD中,AB2,BAD60,E,F分别是BC,CD的中点
5、,若线段EF上有一点M满足m(mR),则m,.解析:解法1:设EMBD,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,所以()(1)().又m,所以1m,所以,m,所以,所以()()22.因为在菱形ABCD中,AB2,BAD60,所以4422cos60.解法2:设AM与BD交于点P,则m,因为B,P,D三点共线,所以m1,所以m,所以,所以()()22.因为在菱形ABCD中,AB2,BAD60,所以4422cos60.12如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADBD,BCD60,CBCD2,点M为BC边上一动点,则的取值范围为.解析:如图,以点B为坐标原点,BC,BA所在的直线为x轴,y
6、轴建立平面直角坐标系,则B(0,0),C(2,0),BCD是等边三角形,则D(,3),BD2,CBD60.又ABC90,则ABD30,则AB4,A(0,4)又点M为BC边上的一动点,设M(x,0),x0,2,则(x,4)(x,3)x2x122,所以当x时,取得最小值,当x2时,取得最大值18,故的取值范围是.三、解答题13已知|a|4,|b|8,a与b的夹角是120.(1)计算:|ab|,|4a2b|;(2)当k为何值时,(a2b)(kab)解:由已知得,ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448,|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)46
7、4768,|4a2b|16.(2)(a2b)(kab),(a2b)(kab)0,ka2(2k1)ab2b20,即16k16(2k1)2640.k7.即k7时,a2b与kab垂直14在ABC中 ,AB2AC6,2,点P是ABC所在平面内一点,则当222取得最小值时,求的值解:|cosB|2,|cosB|6,即A,以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),则222x2y2(x6)2y2x2(y3)23x212x3y26y453(x2)2(y1)210当x2,y1时,222取得最小值,此时P(2,1),(2,1),此时(2,1)(6,3)9.15(2019北京
8、卷)设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“|”的(C)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若|,则|2|2,222|2,点A,B,C不共线,线段AB,BC,AC构成一个三角形ABC,设内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知,222|2,即c2b22bccosAc2b22bccosA,cosA0,又A,B,C三点不共线,故与的夹角为锐角反之,易得当与的夹角为锐角时,|,“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件,故选C.16已知O是ABC所在平面内一点,且满足|2|2|2|2,则点O(A)A在过点C且与AB垂直的直线上B在A的平分线所在直线上C在边AB的中线所在直线上D以上都不对解析:由|2|2|2|2得|2|2|2|2,所以()()()(),即()(),所以()20,所以.故点O在过点C且与AB垂直的直线上17(2019江苏卷)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE2EA,AD与CE交于点O.若6,则的值是.解析:由A,O,D三点共线,可设,则(),由E,O,C三点共线可设,则(),则(1)(1),由平面向量基本定理可得解得,则(),则66(),化简得322,则.