1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.方程x2+(x2+y2-1)2=0所确定的曲线是()A.y轴或圆B.两点(0,1)与(0,-1)C.y轴或直线y=1D.以上都不正确答案B2.如图,已知圆O的方程为x2+y2=100,点A(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹是()A.圆B.抛物线C.椭圆D.两条直线答案C3.双曲线=1(mn0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为()A.B.C.D.答案A4.已知椭圆=1(a
2、b0)分别过点A(2,0)和B(0,-1),则该椭圆的焦距为()A.B.2C.D.2答案B5.双曲线C:x2-=1的一条渐近线与抛物线M:y2=4x的一个交点为P(异于坐标原点O),抛物线M的焦点为F,则OFP的面积为()A.B.C.D.答案A6.若点P是以F1,F2为焦点的椭圆=1(ab0)上一点,且=0,tanPF1F2=,则此椭圆的离心率e=()A.B.C.D.答案A7.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=k,则双曲线方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案C8.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是()A.B.(1,1)C.
3、D.(2,4)答案B9.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN相切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为()A.x2-=1(x1)B.x2-=1(x0)D.x2-=1(x1)答案A10.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若=0,则=()A.1B.2C.3D.4答案B11.直线y=k(x-1)与椭圆C:=1交于不同的两点M,N,椭圆=1的一个顶点为A(2,0),当AMN的面积为时,则k的值为()A.B.C.1D.答案C12.在平面直角坐标系中,两点P1
4、(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是()答案A二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)14.设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是.答案+y2=115.已
5、知双曲线E:=1(a0,b0)与抛物线C:y2=2px(p0)有共同的一个焦点,过双曲线E的左焦点且与抛物线C相切的直线恰与双曲线E的一条渐近线平行,则E的离心率为.答案16.已知双曲线C1:=1(a0,b0)与双曲线C2:=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=,b=.答案12三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求.解(1)双曲线的一条渐近线方程为y=x,a=b,设双
6、曲线方程为x2-y2=(0).把(4,-)代入双曲线方程得42-(-)2=,=6,所求双曲线方程为x2-y2=6,即=1.(2)由(1)知双曲线方程为x2-y2=6,双曲线的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).点M在双曲线上,32-m2=6,m2=3,=(-2-3,-m)(2-3,-m)=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.18.(满分12分)如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:=1(ab0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解(1)因为抛物线C1经
7、过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b0=b2,即c2=b2.由a2=b2+c2=2c2,得椭圆C2的离心率e=.(2)由(1)可知a2=2b2,则椭圆C2的方程为=1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2得2y2-by-b2=0,解得y=-或y=b(舍去),所以x=b,即M,N.所以QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在抛物线C1上,所以12+b0=b2,得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为+y2=1.19.(满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点,若
8、|MF|=2,求点M的坐标;(2)设斜率为k(|k|)的直线l交C于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OPOQ.(1)解双曲线C:-y2=1,左焦点F,设M(x,y),则|MF|2=+y2=,由点M是双曲线右支上一点,知x,所以|MF|=x+=2,得x=,则y=.所以M.(2)证明设直线PQ的方程是y=kx+b.因为直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=k2+1.(*)由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),又|k|b0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D
9、两点,且|CD|=|AB|.(1)求C1的离心率;(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.解(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c.由|CD|=|AB|得4c=,即3=2-2,解得=-2(舍去),.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:=1.所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0),(-2c,0),(0,c),(0,-c),C2的准线为x=-c.由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.所以C1的标准方程
10、为=1,C2的标准方程为y2=8x.22.(满分12分)如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a10,b10)和椭圆C2:=1(a2b20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|=|?证明你的结论.解(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.由椭圆的定义知2a2=2.于是a2=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂
11、直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(),B(,-),所以|=2,|=2.此时,|.当x=-时,同理可知,|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=0,于是+2-2,即|,故|.综合可知,不存在符合题设条件的直线.
