1、第4课时圆锥曲线中最值、定点综合问题课后篇巩固提升A组1.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.64答案B2.已知点F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.答案B3.(2020全国,文11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则PF1F2的面积为()A.B.3C.D.2答案B4.已知过椭圆C:=1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰为
2、右焦点F,若kb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点D(0,1)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0),求点G的横坐标t的取值范围.解(1)由题意,知b=1,e2=,a2=2,a=,椭圆E的方程为+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=k(x-1)(k0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),则x1+x2=,x1x2=,x0=(x1+x2)=,y0=k(x0-1)=-.AB的垂直平分线N
3、G的方程为y-y0=-(x-x0),令y=0,得t=x0+ky0=.k0,0t2,点A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PAl时,|PA|+d最小,最小值为,即|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.点P的坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-即为抛物线的准线,根据抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|BF|,当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=,|PB|+d的最小值为.10.如图,在ABC中,|AB|=|AC|=,|BC|=
4、2,以B,C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E:(x-1)2+y2=2相交于M,N两点,试探究点M,N能否将圆E分割成弧长比为13的两段弧,若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.解(1)设椭圆的标准方程为=1(ab0).|AB|=|AC|=,|BC|=2,|BO|=|OC|=1,|OA|=,B(-1,0),C(1,0),A,P.2a=|PB|+|PC|=4,a=2.又c=1,b2=a2-c2=3.椭圆的标准方程为=1.(2)椭圆的右顶点A1(2,0),圆E的圆心为E(1,0),半径r=.假设点M,N能将圆E分割成弧长比为13的两
5、段弧,则MEN=90,圆心E(1,0)到直线l的距离d=r=1.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,此时圆心E(1,0)到直线l的距离d=1,满足题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,圆心E(1,0)到直线l的距离d=1,无解.综上,点M,N能将圆E分割成弧长比为13的两段弧,此时l的方程为x=2.B组1.(2016四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D.1答案C2.在平面直角坐标系xOy中,点P为双曲线x2-2y2=
6、1的右支上的一个动点,若点P到直线x-y+=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为()A.2B.C.D.答案C3.已知椭圆=1(a为定值,且a)的左焦点为F,直线x=m与该椭圆交于点A,B,FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.答案4.已知F1,F2分别为双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,若的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是.答案(1,35.如图,在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:=1(ab0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.若当直线PQ的斜率为时,|P
7、Q|=2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.解(1)当直线PQ的斜率为时,|PQ|=2,此时可设P,=3,=2,=1.e=,a2=4,b2=2.椭圆C的标准方程为=1.(2)以MN为直径的圆过定点(,0),证明如下:设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),且=1,即+2=4.A(-2,0),直线PA的方程为y=(x+2),M.又直线QA的方程为y=(x+2),N,以MN为直径的圆为(x-0)(x-0)+=0,即x2+y2-y+=0,-4=-2,x2+y2+y-2=0,令y=0,则x2-2=0,解得x=,以MN为直径的圆
8、过定点(,0).6.已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为x=1,F是焦点,过点A(-2,0)的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,直线PF,QF分别交抛物线于点M,N.(1)求抛物线的方程及y1y2的值;(2)若直线PQ,MN的斜率都存在,记直线PQ,MN的斜率分别为k1,k2,证明:为定值.解(1)依题意,设抛物线方程为y2=-2px(p0),由准线x=1,得p=2,所以抛物线方程为y2=-4x.由题意,设直线PQ的方程为x=my-2,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),则.设直线PM的方
9、程为x=ny-1,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4.故,为定值.7.已知椭圆C:=1(ab0)的离心率是,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的一个端点,A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,证明:|DE|DF|恒为定值.解(1)由已知,得解得a=2,b=.故所求椭圆C的方程为=1.(2)由(1)可知A1(-2,0),A2(2,0).设P(x0,y0),依题意-2x02,于是直线A1P的方程为y=(x+2),令x=2,则y=,即|DE|=(2+2).又直线A2P的方程为y=(x-2),令x=2,则y=,即|DF|=(2-2).所以|DE|DF|=(2+2)(2-2).(*)又P(x0,y0)在椭圆C上,所以3+4=12,即4=12-3,代入(*)式,得|DE|DF|=3,所以|DE|DF|为定值3.
