1、2016-2017年天津市河西区2017届高三二模理科数学一、选择题：共8题1若复数满足，则的虚部为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查复数的实部与虚部、模与四则运算.因为，所以，则的虚部为.2设满足则A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z与在y轴上的截距之间的关系可知，当直线过点A(2,0)时，目标函数取得最小值，无最大值.3已知命题:对任意,总有是的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是A.B
2、.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查复合命题的真假判断.:对任意,总有,由指数函数的值域知,这是真命题;是的充分不必要条件,这是假命题.为真命题,.故选A.4执行如图的程序框图，如果输入的均为2，则输出的A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：x=2,t=2,M=1,S=3,k=1;M=2,S=5,k=2;M=2,S=7,k=3,此时不满足条件，循环结束，输出S=7.5已知分别为的三个内角的对边，A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，将角化为边是解决本题的关键.利用正弦定理将的角化为边可得,
3、由余弦定理可得,则，所以6若直线)被圆截得的弦长为4，则的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、基本不等式，考查了转化思想与计算能力.因为直线被圆截得的弦长为4，圆的圆心为(,半径为2，所以直线过圆心(,则有a+2b=2,所以,当且仅当时，等号成立.7在平面直角坐标系中，已知双曲线，过的左顶点引的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质、两条直线的位置关系.由双曲线方程可得渐近线方程为,令过的左顶点()引的一条渐近线的平行线,该直线与另一条渐近线的交点坐标为(),则该直线与另一
4、条渐近线及轴围成的三角形的面积S=8已知，当时，有，则必有A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查指数函数的图象与性质，考查了逻辑推理能力与数形结合思想.作出函数的图象，如图所示，因为，且有，所以必有，且，所以，则，且,故答案为D.二、填空题：共6题9设，集合，若，则.【答案】1或2【解析】本题主要考查集合的基本运算.，解方程可得因为，所以，当m=1时，满足题意；当，即m=2时，满足题意，故m=1或2.10若的展开式中的系数为7，则实数.【答案】【解析】本题主要考查二项式定理及其通项的应用.展开式中的通项,令可得r=3则，所以11一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是.【答案】【
5、解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体截去两个角上的三棱锥，且三棱锥中两个互相垂直的三条棱长均为1，则该几何体的体积V=12如图，在中，为上异于的任一点，为的中点，若，则.【答案】【解析】本题主要考查平面向量的线性运算与基本定理，考查了逻辑推理能力.令，则,又因为为的中点,所以又因为，所以，则13在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数)，则与的公共点的直角坐标为.【答案】【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化.由题意可得曲线的
6、直角坐标方程为x+y+2=0; 曲线的普通方程为，解方程组可得,即与的公共点的直角坐标为14已知函数则函数的所有零点构成的集合为.【答案】【解析】本题主要考查分段函数、函数的零点，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.因为函数所以等价于或,求解可得即或或或，求解可得，故答案为三、解答题：共6题15已知向量，设函数.()求的最小正周期；()求在上的最大值和最小值.【答案】()，最小正周期为.()当时，由图象可知时单调递增，时单调递减，所以当，即时，取最小值；当，即时，取最大值1.【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式、平面向量的数量积，考查了转化思想与计算能力.(1)化简，易
7、得函数的周期；(2)由题意，结论正弦函数的性质，易得结论.16盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分，现从盒内任取3个球.()求取出的3个球中至少有一个红球的概率；()求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；()设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列及期望.【答案】().()记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件，则.()可能的取值为0,1,2,3.的分布列为：.【解析】本题主要考查随机事件的概率、互斥事件与对立事件、离散型随机变量的分布列与期望、排列组合，考查了
8、分析问题与解决问题的能力.(1)先求出所示事件的对立事件的概率，即可得出结果；(2)由题意可得，所求事件包含事件“取出1个红色球，2个白色球”与“取出2个红色球，1个黑色球”，则结果易得；(3)可能的取值为0,1,2,3，求出的每一个值的概率，即可得到的分布列与期望.17如图，已知梯形中，四边形为矩形，平面平面()求证：平面；()求平面与平面所成锐二面角的余弦值；()在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】()证明：取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的法向量，不妨设，又，又平面，平面.()，设
9、平面的法向量，不妨设，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.()设，又平面的法向量，或.当时，；当时，.综上，.【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质、直线与平面所成的角、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1) 取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，求出平面的一个法向量，再计算成立，即可得出结论；(2)求出平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式求解即可；(3) 设，由题意，求解易得结论.18数列的前项和为，且).()求数列的通项公式；()若数列满足：，求数列的通项公式；()令)，求数列的前项和.【答案】()当时，；当时，知满足该式，数
10、列的通项公式为.()，得，而，故).()，令，则，得，数列的前项和.【解析】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了转化思想与错位相减法求和、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，利用化简易得结论；(2)，两式相减，结合(1)的结论易得结论；(3),分与两部分求和，第一部分利用错位相减法，结合等比数列的前n项和求解即可；第二部分利用等差数列的前n项和求解.19在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆的圆心.()求椭圆的方程；()设是椭圆上一点，过作两条斜率之积为的直线，当直线都与圆相切时，求的坐标.【答案】()由，得，故圆的圆心为点，从而可设椭圆的方程
11、为，其焦距为，由题设知，所以，故椭圆的方程为.()设点的坐标为的斜率分别为，则的方程分别为，且，由与圆相切，得，即，同理可得，从而是方程的两个实根，于是且，由得解得或.由，得；由，得，它们满足式，故点的坐标为或或或.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆的位置关系、直线的方程与斜率，考查了方程思想与逻辑推理能力.(1)由题意，c=2，则由椭圆的离心率求出a、b的值，则可得椭圆方程；(2) 设点的坐标为的斜率分别为，则的方程分别为，且，由直线与圆相切，由点到直线的距离公式，化简可得，则是方程的两个实根，再结合椭圆方程求解即可.20设，函数.()若，求曲线在处的切线方程；()若无零点，求实
12、数的取值范围；()若有两个相异零点，求证：.【答案】()函数的定义域为，当时，则切线方程为，即.()若时，则是区间上的增函数，函数在区间有唯一零点；若有唯一零点；若，令，得，在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的最大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是.()设的两个相异零点为，设，要证，只需证，只需，等价于，设上式转化为)，设，在上单调递增，.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质与零点，考查了转化思想与逻辑推理能力.(1)求导得切线的斜率，则可得切线方程；(2)，、三种情况讨论函数的单调性并求出函数的最值，则易得结论；(3)由题意，设，化简可得，则只需证，只需，整理，设并换元，构造函数，求导并判断单调性，即可得出结论.
