1、6.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2020辽宁庄河高中高三月考)若f(x)=cos x,则f=()A.-1B.1C.0D.答案A解析f(x)=cos x,f(x)=-sin x,f=-1.故选A.2.(多选)下列求导运算不正确的是()A.=1+B.(log2x)=C.(32x)=32xln 3D.(x2cos x)=-2xsin x答案ACD解析=1-,故A错;(log2x)=,故B正确;(32x)=(9x)=9xln 9,故C错;(x2cos x)=2xcos x-x2sin x,故D错.3.已知f(x)=x2-xf(0)-1,则f(2)
2、的值为()A.1B.-1C.3D.-3答案C解析f(x)=x2-xf(0)-1,f(x)=2x-f(0),f(0)=-f(0),可得f(0)=0,f(x)=x2-1,因此,f(2)=22-1=3.故选C.4.某质点的运动方程为s(t)=(s:米,t:秒),则质点在t=3秒时的速度为()A.-43-4米/秒B.-33-4米/秒C.-53-5米/秒D.-43-5米/秒答案D解析由s(t)=得s(t)=(t-4)=-4t-5,得s(3)=-43-5,故选D.5.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f(x)-g(x)=1,则x=.答案1解析因为f(x)=x2,g(x)=ln x,所以f(x)=2
3、x,g(x)=,且x0,f(x)-g(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-(舍去负值).故x=1.6.(2020全国,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.答案y=2x解析设切点坐标为(x0,y0).对y=ln x+x+1求导可得y=+1.由题意得,+1=2,解得x0=1,故y0=ln 1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.7.已知函数f1(x)=sin x,fn+1(x)=fn(x),则f2 020=.答案-解析f1(x)=sin x,fn+1(x)=fn(x),故f2(x)=cos x,f3(x)=-sin x,
4、f4(x)=-cos x,f5(x)=sin x,所以fn(x)的周期为4,故f2 020(x)=f4505(x)=f4(x)=-cos x,f2 020=f4=-cos=-.8.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f(x)满足f(1)=2a,f(2)=-b,其中常数a,bR.求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f(1)=3+2a+b,又f(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.令x=2,得f(2)=12+4a+b,又f(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-.则f(x
5、)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.又f(1)=2=-3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.9.已知函数f(x)=esin x,曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.解f(x)=esin xcos x,f(0)=1.曲线y=f(x)在(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.又直线l与x-y+1=0平行,故可设直线l为x-y+m=0.由,得m=-1或m=3.直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.关键能力提升练10.(2020全国)若直线l与曲线y=和圆x2+y2
6、=都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+答案D解析由y=得y=,设直线l与曲线y=的切点为(x0,),则直线l的方程为y-(x-x0),即x-y+=0,由直线l与圆x2+y2=相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=,即,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=x+.11.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.B.C.D.1答案A解析依题意,得f(x)=e-2x(-2)=-2e-2x,f(0)=-2e-20=-2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方
7、程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图像,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图像可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于1.12.(2021陕西高三三模)曲线y=+1(x0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+2答案C解析由题得y=,设切点为(x0,y0),则y,而y=1(x0),则=cos x0-sin x0,令f(x)=ex-cos x+sin x,则f(x)=ex+sin x+cos x=ex+sinx+,当0x0,而当
8、x1时,exe,sin x+cos x-,f(x)0,x0,f(x)0,f(x)在0,+)上单调递增,则f(x)f(0)=0,所以方程=cos x0-sin x0只有一个实根x0=0,代入原函数得y0=+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.故选C.13.已知f(x)=(x+a)是奇函数,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.x+y+2=0答案A解析由f(x)=(x+a)是奇函数,可得a=0,f(-1)=1.当x0时,f(x)=xln(-x)-,f(x)=ln(-x)+1+,f(-1)=2,所
9、以曲线f(x)在x=-1处的切线方程为y-1=2(x+1),即2x-y+3=0.14.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f(5)=3,g(5)=4,g(5)=1,若h(x)=,则h(5)=.答案解析h(x)=,h(x)=,由f(5)=5,f(5)=3,g(5)=4,g(5)=1,得h(5)=.15.(2020湖北孝感七校联考)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析由f(x)=ax-ln x,可得f(x)=a-,则切线的斜率为k=f(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),所以
10、l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.16.已知f(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)4ex的解集为.答案(-3,2)解析由题意,得=2x+1,=2x+1,令=x2+x+c,则f(x)=ex(x2+x+c),f(0)=-2,c=-2,f(x)=ex(x2+x-2),不等式f(x)4ex的解集等价于x2+x-24,解得-3x2.17.已知函数f(x)=x2,P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=f(x)上的两点.(1)求点P,Q处的曲线y=f(x)的切线方程;(2)求与直线PQ平行的曲线y=f(x)的切线
11、方程.解(1)因为f(x)=2x.P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=f(x)上的点,P点处的切线的斜率k1=f(-1)=-2,Q点处的切线的斜率k2=f(2)=4,P点处的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.Q点处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)因为f(x)=2x,直线PQ的斜率k=1,设切点为M(x0,y0),则切线的斜率k=f(x0)=2x0=1,所以x0=,所以切点M,所以与PQ平行的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.学科素养拔高练18.(1)已知f(x)=exsin x,求f(x)及f.(2)设函数f(x)=,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.解(1)f(x)=exsin x,f(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x).f=.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知f(x0)=0.又f(x)=,f(x0)=0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
