1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第2课时利用向量证明空间中的垂直关系课后篇巩固提升基础巩固1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面的法向量为n=(-3,6,-9),则()A.lB.lC.lD.l与相交解析直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面的法向量为n=(-3,6,-9),a=-13n,an,l.故选C.答案C2.已知平面的法向量为a=(1,2,-2),平面的法向量为b=(-2,-4,k),若,则k=()A.4B.-4C.5D.-5解析,ab,ab=-2-8-2k=0.k=-5.答案D3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,
2、AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,EF=13,13,-13,EFDA1=0,EFAC=0,EFA1D,EFAC.又BD1=(-1,-1,1),BD1=-3EF,即EF与BD1平行.答案B4.在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是()A.PAAB=0B.PCB
3、D=0C.PCAB=0D.PACD=0解析PA平面ABCD,BDPA.又ACBD,PCBD.故选项B正确,选项A和D显然成立.故选C.答案C5.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面,的法向量,则,三个平面中互相垂直的有对.解析ab=(0,1,1)(1,1,0)=10,ac=(0,1,1)(1,0,1)=10,bc=(1,1,0)(1,0,1)=10,a,b,c中任意两个都不垂直,即,中任意两个都不垂直.答案06.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),BP=(x-1,y,-3),若ABBC,且BP平面ABC,则BP=.解析AB=(1,5,-2),B
4、C=(3,1,z),ABBC,则ABBC=8-2z=0,解得z=4,BC=(3,1,4).BP平面ABC,AB平面ABC,BC平面ABC,所以,BPAB,BPBC.则BPAB=x+5y+5=0,BPBC=3x+y-15=0,解得x=407,y=-157,故BP=337,-157,-3.答案337,-157,-37.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQQD,则a的值等于.解析以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,-z
5、),QD=(-1,a-x,0).由PQQD=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当=a2-4=0,即a=2时,点Q只有一个.答案28.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1FC1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a).因为A1FC1E=(-x,a,-a)(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以A1FC1E,即A1FC1E.9
6、.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E是CD的中点.求证:CD平面PAE.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).CDAE=-8+8+0=0,CDAP=0,CDAE,CDAP.APAE=A,CD平面PAE.10.如图所示,ABC是一个正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2B
7、D.求证:平面DEA平面ECA.证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则n1EA=0,n1CE=0,即3x1+y1-2z1=0,2z1=0,解得y1=-3x1,z1=0,n2EA=0,n2ED=0,即3x2+y2-2z2=0,2y2-z2=0,解得x2=3y2,z2=2y2.不妨取n1=(1,-3
8、,0),n2=(3,1,2),因为n1n2=0,所以n1n2.所以平面DEA平面ECA.能力提升1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BDB.ACC.A1DD.A1A解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,设正方体的棱长为1,则C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E12,12,1,所以CE=12,-12,1,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,
9、-1),因为CEBD=0,CEAC=-10,CEA1D=-320,CEA1A=-10,所以CEBD.故选A.答案A2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD底面ABCD,且PD=1,若点E,F分别为PB,AD中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是.解析以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则E12,12,12,F12,0,0,EF=0,-12,-12,平面PBC的一个法向量n=(0,1,1),EF=-12n,EFn,EF平面PBC.答案垂直3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰三角形,AC
10、=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE平面B1DE,则AE=.解析建立如图所示的坐标系,则B1(0,0,3a),D2a2,2a2,3a,C(0,2a,0).设点E的坐标为(2a,0,z),则CE=(2a,-2a,z),B1E=(2a,0,z-3a),B1D=2a2,2a2,0,故CEB1D=0.故要使CE平面B1DE,则需CEB1E,即CEB1E=0,故2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.答案a或2a4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P平面C1DE.解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在
11、直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1),A1B1=(0,1,0),A1P=(-1,1,a-1),DE=12,1,0,DC1=(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1A1B1=0,n1A1P=0y1=0,-x1+y1+(a-1)z1=0,令z1=1,得x1=a-1,n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2DE=0,n2DC1=012x2+y2=0,y2+z2=0,令y2=1,得x2=-2,
12、z2=-1,n2=(-2,1,-1).平面A1B1P平面C1DE,n1n2,即n1n2=0.-2(a-1)+0+(-1)=0,a=12.故P0,1,12.即P为棱CC1的中点.5.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1AB1;(2)BC1平面CA1D.证明如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)因为BC1=
13、(0,-2,-2),AB1=(-2,2,-2),所以BC1AB1=0-4+4=0,因此BC1AB1,故BC1AB1.(2)由于CA1=(2,0,-2),CD=(1,1,0),若设BC1=xCA1+yCD,则得2x+y=0,y=-2,-2x=-2,解得x=1,y=-2,即BC1=CA1-2CD,所以BC1,CA1,CD是共面向量,因此BC1平面CA1D.6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且ADBC,ABC=PAD=90,侧面PAD底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD.(1)求证:CD平面PAC;(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE平面PCD?若存在,指出点E的
14、位置并证明,若不存在,请说明理由.解因为PAD=90,所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD,且侧面PAD底面ABCD=AD,所以PA底面ABCD.BAD=90,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)证明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),可得APCD=0,ACCD=0,所以APCD,ACCD.又因为APAC=A,所以CD平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E,则E0,0,12,BE=-1,0,12.设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则nCD=0,nPD=0,因为CD=(-1,1,0),PD=(0,2,-1),所以-x+y=0,2y-z=0,取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以nBE=(1,1,2)-1,0,12=0,所以nBE.因为BE平面PCD,所以BE平面PCD.综上所述,当点E为PA的中点时,BE平面PCD.
