1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.某铁路所有车站共发行132种普通客票,则这段铁路共有车站数是()A.8B.12C.16D.24解析:=n(n-1)=132.n=12.故选B.答案:B2.若=6,则m等于()A.9B.8C.7D.6解析:由m(m-1)(m-2)=6,解得m=7.答案:C3.(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于()A.80B.40C.20D.10解析:(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)r=2rxr,令r=2,则22=410=40.答案:B4.一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题
2、,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数是()A.40B.74C.84D.200解析:分三类:第一类,前5个题目的3个,后4个题目的3个,第二类,前5个题目的4个,后4个题目的2个,第三类,前5个题目的5个,后4个题目的1个,由分类加法计数原理得=74.答案:B5.有1,2,3,4共四个数字,排成2行2列,要求每行数字之和不能为5,则排法的种数为()A.8B.10C.12D.16答案:D6.某校园有一椭圆形花坛,分成如图四块种花,现有4种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有()A.48种B.36种C.30种
3、D.24种解析:由于相邻两块不能种同一种颜色,故至少应当用三种颜色,故分两类.第一类,用4色有种,第二类,用3色有4种,故共有+4=48种.答案:A7.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有()A.144种B.96种C.48种D.34种解析:首先将B,C捆绑在一起作为整体,共有两种,又A只能出现在第一步或者最后一步,故总的编排方法为2=96种,故选B.答案:B8.现有三种类型的卡片各10张,这些卡片除类型不同外其他全部相同,现把这三种类型的卡片分给5个人,每人一张,要求三种类型的卡片
4、都要用上,则分法的种数为()A.30B.75C.150D.300解析:分为两类:第一类,5人中有3人卡片类型相同,则分法有=60种;第二类,5人中各有2人卡片类型相同,则分法有=90种.所以由分类加法计数原理得,分法的种数为60+90=150.答案:C9.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为()A.8B.9C.10D.11解析:由题意知(1+1)n(3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9.答案:B10.(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243,不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-
5、1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5解析:令a=0,y=1,则(1+b)n=243=35;令b=0,x=1,则(1+a)n=32=25,则可取a=1,b=2,n=5,故选D.答案:D11.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式有()A.264种B.240种C.200种D.120种解析:由条件上午不测“握力”,则4名同学测四个项目,有;下午不测“
6、台阶”但不能与上午所测项目重复,如甲乙丙丁上午台阶身高与体重立定跳远肺活量下午下午甲测“握力”,乙、丙、丁所测不与上午重复有2种,甲测“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”中一种有33=9(种),故(2+9)=264种.答案:A12.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有()A.70个B.80个C.82个D.84个解析:分两类,第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有种方法;第二类:从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点,共有种方法.所以满足条件的三角形共有=70个.故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小
7、题5分,共20分)13.回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数.如121,94 249是回文数,则4位回文数有个.解析:4位回文数的特点为中间两位数相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,共有10种选法.故4位回文数有910=90(个).答案:9014.某公园现有甲、乙、丙三只小船,甲船可乘3人,乙船可乘2人,丙船可乘1人,今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人),为安全起见,儿童必须由成人陪同方可乘船,则分乘这些船只的方法有种.解析:分两类:第一类,两个儿童同坐甲船,则三个成人应分别坐到三个船上,有种坐法;第二类,
8、两个儿童分别坐甲船和乙船,有种坐法,三个成人应分别坐到三个船上,有种坐法,共有=12种坐法,所以由分类加法计数原理得,分乘这些船只的方法共有6+12=18种.答案:1815.设a,b是两个整数,若存在整数d,使得b=ad,称“a整除b”,记作a|b.给出命题:2|(n2+n+1);100|(9910-1);5|(24n-1)(nN+).其中正确命题的序号是.解析:对于,n2+n=n(n+1)必为偶数,n2+n+1为奇数,即2|(n2+n+1)不正确.对于,9910-1=(100-1)10-1=10010-1009+-100,正确.对于,24n-1=(15+1)n-1=15n+15n-1+15,
9、正确.答案:16.在()100的展开式中,无理项的个数是.解析:Tr+1=)100-r()r=.若第r+1项为有理项,则50-均为整数,故r为6的倍数时,第r+1项为有理项,又0r100,r=0,6,12,96,有理项共有17个,从而无理项共有101-17=84(个).答案:84三、解:答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)乒乓球比赛用球的直径为40.00 mm,一种乒乓球筒高200 mm,现有4个乒乓球筒(除颜色不同外其他相同),要将5个比赛用球放到4个乒乓球筒里(乒乓球筒可以空着),共有多少种不同的放法?解:20040=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装5个乒乓球.(方
10、法一)第一类:全部放入1个乒乓球筒里,有=4(种)放法;第二类:放入2个乒乓球筒里,有4=24(种)放法;第三类:放入3个乒乓球筒里,有6=24(种)放法;第四类:放入4个乒乓球筒里,有4种放法.所以,不同的放法种数为4+24+24+4=56.(方法二)将4个乒乓球筒与5个乒乓球看成9个相同元素,除去两边共形成了8个空隙,在这8个空隙中放进3个隔板,即有=56(种)不同的放法.18.(本小题满分12分)设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入5个盒子中.(1)若没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?(2)每个盒子
11、内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?解:(1)间接法:-1=119(种).(2)分为三类:第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;第二类,三个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有1=10(种);第三类,两个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有2=20种.根据分类加法计数原理得,所有的投放方法有1+10+20=31(种).19.(本小题满分12分)已知,i是虚数单位,x0,
12、nN+.(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是-180,求n的值;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.解:(1)由已知,得(2i)2=-180,即4=180,所以n2-n-90=0,又nN+,解得n=10.(2)展开式的通项为Tk+1=(2i)10-kx-2k=(2i)10-k.因为系数为正实数,且k0,1,2,10,所以k=2,6,10.所以所求的项为T3=11 520,T7=3 360x-10,T11=x-20.20.(本小题满分12分)设n2,nN,=a0+a1x+a2x2+anxn.(1)求a0+a1+a2+an.(2)记|ak|(0kn)的最小值为Tn.求T8;若n为奇
13、数,求Tn.解:(1)令x=1,即可得a0+a1+a2+an=;(2)由题意得|ak|=|22k-8-32k-8|,当k=4时,T8=|a4|=0;由可知|ak|=|22k-n-32k-n|,当k时,|ak|=(22k-n-32k-n),记bk=22k-n-32k-n,则bkbk-122k-n-32k-n22k-n-2-32k-n-2k-1,当k时,|ak|=(32k-n-22k-n)|a0|,综上Tn=.21.(本小题满分12分)在(x-y)11的展开式中,求:(1)通项Tr+1;(2)二项式系数最大的项;(3)项的系数绝对值最大的项;(4)项的系数最大的项;(5)项的系数最小的项;(6)二
14、项式系数的和.解:(1)Tr+1=(-1)rx11-ryr.(2)二项式系数最大的项为中间两项:T6=-x6y5,T7=x5y6.(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项:T6=-x6y5,T7=x5y6.(4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第7项为正,故项的系数最大的项为T7=x5y6.(5)项的系数最小的项为T6=-x6y5.(6)二项式系数的和为+=211.22.(本小题满分12分)已知(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,若(x2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求x的值.解:的展开式的通项为Tr+1=.令=0,得r=4,展开式的常数项为T5=16.(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,2n=16,n=4.又(x2+1)n展开式中系数最大的项是中间项,即第3项,x4=54,x=.
