1、第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课后篇巩固提升1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是()A.a+b,b-a,aB.a+b,b-a,bC.a+b,b-a,cD.a+b+c,a+b,c解析由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.答案C2.已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底,向量a+b,a-b,c是空间的另一个基底,若向量p在基底a,b,c下的坐标为(3,2,1),则它在a+b,a-b,c下的坐标为()A.B.C.D.解析设向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标为(x,y,z),则p
2、=3a+2b+c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以解得故p在基底a+b,a-b,c下的坐标为.故选C.答案C3.在四面体O-ABC中,G1是ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()A.B.C.D.解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,)=-2),-2).因为=3=3(),所以OG=OG1.则)=.答案A4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底下的坐标为(2,1,-3).若分别以的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则a的空
3、间直角坐标为()A.(2,1,-3)B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9)D.(-1,8,-9)解析a=2-3=2-3=8j-i-9k=(-1,8,-9).答案D5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=.解析如图,)=)=-a+b+c.答案-a+b+c6.如图,在梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,点O为空间任一点,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为.答案a-b+c7.下列关于空间向量的说法中,正确的有.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则ab;若非零向量a,b,c满足ab,bc,则有ac;若是空间的一个基底,且
4、,则A,B,C,D四点共面;若向量a+b,b+c,c+a是空间的一个基底,则a,b,c也是空间的一个基底.解析对于,若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则a,b为共线向量,即ab,故正确;对于,若非零向量a,b,c满足ab,bc,则a与c不一定共线,故错误;对于,若是空间的一个基底,且,则)+),即,可得到A,B,C,D四点共面,故正确;对于,若向量a+b,b+c,c+a是空间的一个基底,则空间任意一个向量d,存在唯一实数组(x,y,z),使得d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,由x,y,z的唯一性,得x+z,x+y,y+z也是唯一的.
5、故a,b,c也是空间的一个基底,故正确.答案8.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=-,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.解连接AN,则.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得=a+b,=-=-(a+b),又=b-c,故=b-(b-c),所以=-(a+b)+b-(b-c)=(-a+b+c).9.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设=e1,=e2,=e3,以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,求向量的坐标.解由题意得=e2.=e2-e1-e3,=-=-e2+e3+(e2-e1-e3)=-e1+e3.=(0,1,0).
