1、模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数z满足z+2i=(i为虚数单位),则等于()A.2-iB.2+iC.2-3iD.2+3i解析因为z+2i=2-i,所以z=2-3i,=2+3i.故选D.答案D2.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函数,则m的取值范围是()A.(3,+)B.C.D.(-,0)解析由于函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函数,则f(x)=3x2+2x+m0在R上恒成立,所以(3x2+2x+m)min0,当x=-时,(3x2+2x+
2、m)min=3+2+m0,得m.故选B.答案B3.已知f(x+1)=,f(1)=1(xN+),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=解析由f(1)=1得f(2)=,f(3)=,f(4)=,猜想f(x)=.答案B4.用数学归纳法证明3nn3(n3,nN)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析由题知n的最小值为3,所以第一步验证n=3是否成立.答案C5.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落
3、在叶形图内部的概率是()A.B.C.D.解析依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)dx=,因此所求概率为P=.答案D6.已知f(x)=x2+sin,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图像是()解析f(x)=x2+cos x,f(x)=x-sin x,令g(x)=f(x),则g(x)为奇函数,排除B,D;由g(x)=-cos x知g(x)在y轴右侧先递减,排除C.故选A.答案A7.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=aln x的切线,则当a0时,实数b的最小值是()A.-2B.-1C.0D.1解析设切点坐标为(x0,aln x0),因为y=,所
4、以切线斜率为=1,则x0=a.又点(a,aln a)在直线y=x+b上,所以aln a=a+b,所以b=aln a-a(a0),将b视为关于a的函数,求导得b=ln a,令ln a=0得a=1,易知b=aln a-a在(0,1)上是减少的,在(1,+)上是增加的,所以当a=1时,bmin=-1.答案B8.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间1,3上为单调函数,则实数a的取值范围是()A.-,+)B.(-,-3C.(-,-3-,+)D.-解析f(x)=x2+2ax+5,若f(x)在1,3上为单调函数且单调递增,则x1,3时,x2+2ax+50恒成立,即2a-,而x1,3时,x+2,-2,2a
5、-2,a-,若f(x)在1,3上单调递减,则x1,3时,x2+2ax+50恒成立,即2a-,而x1,3时,记h(x)=x+,hmax=h(1)=6,-6,2a-6,a-3,a的取值范围是(-,-3-,+).答案C9.给出下面类比推理的命题,其中类比结论正确的是()A.“若a,bR,则a2+b2=0a=0且b=0”类比推出“若z1,z2C,则=0z1=0且z2=0”B.“若a,bR,则a-b0ab”类比推出“若z1,z2C,则z1-z20z1z2”C.“若xR,则|x|1-1x1”类比推出“若zC,则|z|1-1z1”D.“若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若
6、a,b,c,dQ,则a+b=c+da=c,b=d”解析对A,若z1,z2为虚数,由=0不能推出z1=0且z2=0,如z1=1+i,z2=1-i,=0,但z10,z20.同理B,C也不正确,D正确.答案D10.满足条件|z-2i|+|z+1|=的点的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.圆解析|z-2i|+|z+1|=表示动点Z到两定点(0,2)与(-1,0)的距离之和为常数,又点(0,2)与(-1,0)之间的距离为,所以动点的轨迹为以两定点(0,2)与(-1,0)为端点的线段,故选C.答案C11.若函数y1=sin 2x1+,函数y2=x2+3,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为(
7、)A.+B.C.D.解析表示两函数图像上任意两点之间的距离,其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离.y1=2cos 2x1,令y1=1,cos 2x1=,x1=,y1=,故切点为,切点到直线y2的距离为,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.答案D12.设函数f(x),g(x)在a,b上均可导,且f(x)g(x),则当axg(x)B.f(x)g(x)C.f(x)+g(a)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)解析令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=f(x)-g(x)0,F(x)在a,b上是减少的,当axb时,F(b)F(x)f(x)
8、-g(x)f(b)-g(b),化简可得f(x)+g(b)g(x)+f(b),f(a)+g(x)f(x)+g(a).答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知i是虚数单位,若复数z满足(1-i)z=2,则z的虚部为;z=.解析由(1-i)z=2,则z=1+i,则z的虚部为1,z=(1+i)(1-i)=2.答案1214.若函数f(x)=-x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则实数t的取值范围是.解析f(x)=-x+4-=-=-,所以当0x3时,f(x)0,当1x0.因为f(x)在t,t+1上不单调,所以0t1或2t3.答案(0,1)(2,3)15.已知函数f(x)=
9、x(x-c)2在x=2处有极大值,则c=.解析f(x)=x3-2cx2+c2x,f(x)=3x2-4cx+c2.f(2)=0,c2-8c+12=0,解得c=2或c=6.检验可知,当c=2时,函数在x=2处取得极小值,故c=6.答案616.已知an=n,把数列an的各项排列成如图所示的三角形形状:a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=.解析前9行共有1+3+5+17=81个数,A(10,12)是第10行的第12个数,为93.答案93三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知z是
10、复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解设z=x+yi(x,yR),则z+2i=x+(y+2)i,由z+2i为实数,得y=-2.(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i,由为实数,得x=4.z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件,可知解得2a0;当x(-2,-ln 2)时,f(x)bc,求证:.证明已知abc,因为=2+2+2=4,所以4,即(当且仅当2b=a+c时取等号).20.(本小题满分12分)在数列an中,a1=1,an+1=an+1(nN*).(1)求a2,a3,
11、a4的值;(2)猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明.解(1)a1=1,an+1=an+1,a2=3a1+1=4,a3=2a2+1=9,a4=a3+1=16,故a2,a3,a4的值分别为4,9,16.(2)由(1)猜想an=n2,用数学归纳法证明如下:当n=1时,a1=1,猜想显然成立;假设当n=k时,猜想成立,即ak=k2,则当n=k+1时,ak+1=ak+1=k2+2k+1=(k+1)2,即当n=k+1时猜想也成立,由可知,猜想成立,即an=n2.21.(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件,生产出一件正品,可获利200元,生产出一件次品,则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次
12、品率p与日产量x的函数关系是:p=(xN+).(1)求该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式;(2)为获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?解(1)由题意得T=200x-100x=25.(2)由(1)可得T=-25,令T=0得x=16或x=-32(舍去).当0x0;当x16时,T(x+1)ln x.(1)解由题意可知f(x)=2x+a-0在1,2上恒成立,即a-2x在1,2上恒成立,令h(x)=-2x,x1,2,则h(x)在1,2上是减少的,h(x)在1,2上的最小值为h(2)=-4=-,所以a-.故a的取值范围是.(2)解假设存在实数a,使g(x)=ax-ln x(x(0,e)有最小值3,g(x)=a-.当a0时,g(x)在(0,e上是减少的,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去).当0e时,g(x)在上是减少的,在上是增加的.g(x)min=g=1+ln a=3,解得a=e2,满足条件.当e时,g(x)在(0,e上是减少的,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去).综上,存在实数a=e2,使得当x(0,e时,g(x)有最小值3.(3)证明令F(x)=e2x-ln x,由(2)知,F(x)min=3.令(x)=,则(x)=,当0,即e2x2-x(x+1)ln x.
