1、2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 第八章 立体几何初步 单元测试一、选择题1、某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD2、某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）ABCD3、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） ABC1D4、已知正方体的体积为，点在正方形上，且到的距离分别为，则直线 与平面 所成角的正切值为( )A.B.C.D.5、正方体不在同一侧面上的两顶点，则正方体外接球体积是（ ）ABCD6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中BM与ED成 角NF与BM是异面直线CN与BM成角 DM与BN是异面直线以上四个结论中，正确结论的
2、个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 7、如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为（ ）ABCD8、下列说法中正确的个数是（ ）圆锥的轴截面是等腰三角形；用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；棱台各侧棱的延长线交于一点；有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 A0B1C2D39、已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A.，B.，C.，D.，10、已知不同直线、与不同平面、，且，则下列说法中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则
3、11、九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )A3B5C6D1212、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）AB3CD二、填空题13、有如下命题：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；平行于同一条直线的两条直线平行；如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补其中作为公理（基本事实）的是_（填写序号）14、如图为一个几何体的展开图，
4、其中是边长为6的正方形，点、及、共线，沿图中直线将它们折叠，使、四点重合，则需要_个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体15、若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，且三棱锥的体积为，则球O的体积为_.16、用一块半径为2分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，若衔接部分忽略不计，则该容器的容积为_立方分米.三、解答题17、（本小题满分10分）如图，在正方体中，？分别是平面？平面的中心，证明:（1）平面；（2）平面平面.18、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19、（本小题满分
5、12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.20、（本小题满分12分）如图所示,底面为平行四边形ABCD的四棱锥P-ABCD中,E为PC的中点.求证:PA平面BDE.(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来)参考答案1、答案A解析根据几何体三视图，得出该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥，求出它的体积即可.详解解：由题意可得: 该几何体为底面为正方形，高为4的四棱锥,其体积为：，故选：A.点睛本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何体体积的计算问题，属于基础题目.2、答案A解析由三视图还原原几何体，可知
6、原几何体是直三棱柱，结合三视图的数据可计算得出原几何体的体积.详解：由三视图还原原几何体如下图所示：由三视图可知，原几何体是直三棱柱，该三棱柱的高为，由三视图中的数据可知，原几何体的体积为.故选：A.点睛本题考查利用三视图计算几何体的体积，一般要求还原原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.3、答案B解析根据三视图可知几何体是一个以俯视图为底，高为2的三棱锥，先求得俯视图的面积即三棱锥底面积，再代入锥体体积公式求解.详解由三视图可得，几何体是一个以俯视图为底，高为2的三棱锥，俯视图的面积为：所以几何体的体积为.故选：B点睛本题主要考查了三视图，面积，体积的求法，还考查了直观想象和运算
7、能力，属于中档题.4、答案A解析先通过计算可知点为的中点, 连接与交于点,易证平面,根据直线与平面所成角的定义可知就是直线与平面所成的角,然后在直角中可得.详解易知；连接，在直角中，可计算；又，所以点是的中点；连接与交于点，易证平面，直线在平面内的射影是，所以就是直线与平面所成的角，在直角中， .点睛本题考查了直线与平面所成的角,属中档题.5、答案A解析计算两点之间的距离，再求其一半，即为外接球半径，代值即可计算.详解容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标故正方体外接球半径为故故选：A.点睛本题考查空间中两点之间距离的坐标运算，属基础题.6、答案C解析根据展开图，画出立体图形，与垂直，不成，与
8、是异面直线，与成，与是异面直线，故正确，故选C7、答案A解析设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积详解：如图，设三棱柱为，且，高所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为故选：A点睛本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的
9、方法8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，正确；对于，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，错误；对于，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，正确；对于，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以错误；综上所述，正确命题的序号是，共2个故选：C点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌
10、握水平和分析推理能力.9、答案B详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：该几何体的体积为；该几何体的表面积为.故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10、答案C解析根据空
11、间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案B解析首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积.详解：由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积，中间棱柱的体积 ,所以该刍甍的体积
12、是.故选：B点睛本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得，联立得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题为公理；公理如果两个不重合的平面有一个
13、公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题为公理.命题为等角定理.故答案为：.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何体的个数.详解将展开图折叠起来后，得到四棱锥，其中平面，因此该四棱锥的体积为，而棱长为的长方体体积为，所以需要个这样的几何体.故填：.点睛本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.15、答案解析根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可求得体积.详解平面ABC，且三棱锥的体积为，即，
14、解得，由题可得两两互相垂直，对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球，所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长，即，所以外接球半径为，体积.故答案为：点睛此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多做积累，特殊几何体常见的处理办法.16、答案解析先由题意得到半圆形的弧长为，设制作的圆锥形容器的底面半径为，求出底面半径与圆锥的高，从而可求出结果.详解半径为2分米的半圆形的弧长为，设制作的圆锥形容器的底面半径为，则，则；则圆锥形容器的高为，所以容器的容积为.故答案为：点睛本题主要考查求圆锥的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型
15、. (2)根据(1)中的结论再证明即可.详解：（1）由是正方体,可知,平面,平面,平面.（2）由是正方体,可知,平面,年平面,平面,由（1）知,平面,又,平面平面.点睛本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）（2）由为的中点，可得到底面的距离等于，再求出底面的面积，代入棱锥体积公式求解详解：（1）如图，取的中点，连接，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；，分别为，的中点，平面，平面，平面，又，平面平面，平面则平面；（2）为的中点，到底面的距离等于又底面是边长为2的等边三角形，点睛本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象
16、能力与思维能力，考查了计算能力，是中档题解析详解（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面考点线面平行与面面垂直解析连接AC交BD于O,连接OE,由已知OE为PAC的中位线(小前提),所以PAOE(结论).(2)平面外一条直线和平面内一直线平行,则平面外的直线与该平面平行(大前提), (小前提),所以PA平面BDE(结论).上面的证明可简略地写成:连接AC交BD于O.连接OE,四边形ABCD为平行四边形,O为AC的中点.又E为PC的中点,在PAC中,PAOE, ,PA平面BDE.解析
