1、习题课双曲线的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.直线l:y=k(x-2)与曲线x2-y2=1(x0)相交于A,B两点,则直线l倾斜角的取值范围是()A.0,)B.4,22,34C.0,22,D.4,34解析由y=k(x-2),x2-y2=1(x0),可得x2-k2(x-2)2=1(x0),整理得(1-k2)x2+22k2x-2k2-1=0在(0,+)上有两个不同的根,故-2k2-11-k20,8k4+4(1-k2)(2k2+1)0,-22k21-k20,解得k1,故直线的倾斜角的范围为4,22,34,故选B.答案B2.设F1,F2是双曲线C:x216-y2b2=1(b0)的两个焦点,P是双曲线
2、C上一点,若F1PF2=90,且PF1F2的面积为9,则C的离心率等于()A.53B.54C.2D.52解析由已知得|PF1|-|PF2|=8,|PF1|2+|PF2|2=4(16+b2),12|PF1|PF2|=9,解得b2=9,于是离心率e=16+94=54.答案B3.设F1,F2是双曲线x2a2-y26=1(a0)的左、右焦点,一条渐近线方程为y=62x,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则PF1F2的面积等于()A.6B.12C.610D.310解析由双曲线方程知其渐近线方程为y=6ax,又一条渐近线方程为y=62x,a=2,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=|3|PF
3、2|-|PF2|=2|PF2|=2a=4,解得|PF2|=2,|PF1|=6,又|F1F2|=2a2+6=210,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.PF1PF2,SPF1F2=12|PF1|PF2|=1262=6.故选A.答案A4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),过原点作一条倾斜角为3直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为()A.2+1B.3+1C.2D.5解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意知直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2,故
4、x1+x2=0,x1x2=-a2b2b2-3a2,y1y2=3x1x2=-3a2b2b2-3a2,设右焦点坐标为F(c,0),由于以PQ为直径的圆经过点F,故FPFQ=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4得ba4-6ba2-3=0,解得ba2=3+23.故c=1+ba2=4+23=3+1,故选B.答案B5.已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有1个公共点,则满足上述条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4解析由图数形结合,可得与渐近线平行的直线l有2条,与双曲线相切的直线
5、l有2条,所以满足条件的直线l共有4条.答案D6.设双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则E的渐近线方程为.解析e=ca=1+b2a2=2,b2a2=3,ba=3,双曲线的渐近线方程为y=3x,即3xy=0.答案3xy=07.直线y=x+1与双曲线x22-y23=1相交于A,B两点,则|AB|=.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得y=x+1,x22-y23=1,得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1x2=-8,所以|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=46.答案468.若点P在双曲线x2-y29=1上,则点P到双曲线的渐近线的距离的
6、取值范围是.解析双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,由渐近线的性质,知当点P是双曲线的一个顶点时,点P到渐近线的距离最大,双曲线的顶点坐标是(1,0),所以P到渐近线的最大距离为|3-0|10=31010.又双曲线与渐近线没有交点,所以点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是0,31010.答案0,310109.已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.解设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+2,|MC2|=r-2(如图所示).所以|MC1|-|MC2|=22.又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.由
7、于220,b0),由题可知,点(2,3)在双曲线C上,从而有a2+b2=4,4a2-9b2=1,解得a2=1,b2=3,所以双曲线C的标准方程为x2-y23=1.(2)由已知得直线l的方程为y=-x+1,即x+y-1=0,所以原点O到直线l的距离d=|0+0-1|12+12=22,联立x2-y23=1,y=-x+1,消去y可得x2+x-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,x1x2=-2,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+12(-1)2-4(-2)=32,所以OAB的面积S=12|AB|d=123222=32.能力提升1.已知双曲线x2m-y2
8、7=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,ABF2的周长为20,则m的值为()A.8B.9C.16D.20解析由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20.又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16.根据双曲线的定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即a=3,所以m=a2=9.答案B2.如图,双曲线x2-y24=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF1与圆x2+y2=1相切于点T,M是PF1的中点,则|MO|-|MT|
9、=()A.1B.2C.12D.32解析因为M是PF1的中点,O是F1F2的中点,所以在PF1F2中,|MO|=|PF2|2;又|OF1|=c,|OT|=a,所以有|F1T|=|OF1|2-|OT|2=b=2,所以|MT|=|PF1|2-|F1T|=|PF1|2-2,所以|MO|-|MT|=|PF2|2-|PF1|2+2=-|PF1|-|PF2|2+2,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,所以|MO|-|MT|=-|PF1|-|PF2|2+2=1.故选A.答案A3.在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)中,F1,F2是两焦点,点P在双曲线上,若PF1PF2=0,tanPF1F2=2
10、,则a-ba+b=.解析因为点P在双曲线上,且PF1PF2=0,所以PF1F2是直角三角形.又因为tanPF1F2=2,所以|PF2|=2|PF1|.而根据双曲线的定义有|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=4a,|PF1|=2a.于是|F1F2|=25a,即2c=25a,所以c=5a.于是b=2a,故a-ba+b=a-2aa+2a=-13.答案-134.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.解析双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点为(c,0).不妨设所作直线与双曲线的渐近线y=bax平行,
11、其方程为y=ba(x-c),代入x2a2-y2b2=1求得点P的横坐标为x=a2+c22c.由a2+c22c=2a,得ca2-4ca+1=0,解之,得ca=2+3或ca=2-3舍去,因为离心率ca1,故双曲线C的离心率为2+3.答案2+35.已知双曲线C:x2-y2=2及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为-23,求线段AB的长.解(1)联立x2-y2=2,y=kx-1,可得(1-k2)x2+2kx-3=0.l与C有两个不同的交点,=4k2+12(1-k2)=12-8k20,1-k20,k232且k21
12、,-62k62且k1.k的取值范围为k-62k62,且k1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)可知,x1+x2=2kk2-1.又AB中点的横坐标为-23,kk2-1=-23,2k2+3k-2=0,k=-2或k=12.又由(1)可知,l与C有两个不同交点时,k20,b0),又知双曲线C2过点P(4,3),则a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a2=4,b2=1,双曲线C2的标准方程为x24-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由x2-y24=0,y=x+m,消去y化简得3x2-2mx-m2=0,由=(-2m)2-43(-m2)=16m20,得m0.x1x2=-m23,OAOB=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2,m2=3,即m=3.
