1、【课标要求】1.熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程.2.熟记并灵活运用两角差的余弦公式自主学习 基础认识|新知预习|两角差的余弦公式名称简记符号公式使用条件 两角差的余弦C()cos()coscossinsin,为任意角|自我尝试|1判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)两角差的余弦公式中,角、是任意的()(2)存在、使得 cos()coscos.()2sin11cos19cos11cos71的值为()A.32 B.12C.1 32D.312解析:sin11cos19cos11cos71cos11cos71sin11sin71cos(1171)cos(60)12.故选 B.答案
2、:B3cos45cos15sin45sin15等于()A.12B.32C.33D.3解析:原式cos(4515)cos30 32.答案:B4sin35,2,则 cos4 的值为()A 25B 210C7 210D7 25解析:由条件可得 cos45,cos4 22 cos 22 sin 22(cossin)22 4535 210,故选 B.答案:B5 cos(35)cos(25 )sin(35)sin(25 )等 于_解析:原式cos(3525)cos(60)12.答案:12课堂探究 互动讲练类型一运用公式化简求值例 1 化简求值:(1)cos75;(2)cos63sin57sin117sin
3、33;(3)cos()cossin()sin.【思路点拨】解题关键是转化为 cos()的形式,然后利用cos()coscos sinsin 公式求解【解】(1)cos75cos(12045)cos120cos45sin120sin4512 22 32 22 6 24.(2)原式cos63cos33sin63sin33cos(6333)cos30 32.(3)原式cos()cos.方法归纳 两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解(2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角差的余弦公式求解(3)求非特殊角的三角函数值,把非特
4、殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差的余弦公式求解跟踪训练 1 cos15cos45cos75sin45的值为()A.12 B.32C12D 32解析:原式cos15cos45sin15sin45 cos(4515)cos30 32.答案:B类型二条件求值例 2 已知,0,2,且 sin45,cos()1665,求cos 的值【解】因为,0,2,所以(0,),sin()0,sin()1cos26365,cos 1sin235,所以 coscos()cos()cossin()sin 166535636545204325.方法归纳 给值求值的解题策略(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时,关
5、键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式(2)常用的变角技巧有(),(),(2),(2),4 4 等跟踪训练 2 已知,34,sin()35,sin4 1213,求 cos4 的值解析:因为,34,所以 32,2,所以 cos()1sin245.又 42,34,所以 cos4 513.cos4 cos4 cos()cos4 sin()sin4 45 513 3512135665.类型三由三角函数值求角例 3 已知 cos 55,cos()1010,且 02,求 的值【解析】因为 02,所以 0,由 cos 55,cos()1010,得 sin2 55,sin()3 1010,所以 coscos
6、()cos()cossin()sin 1010 55 3 1010 2 55 22.所以 4.方法归纳(1)要求角需先求这个角的三角函数值,然后根据范围得出角的值(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时,要根据角的范围确定其符号跟踪训练 3 已知 sinsin35,coscos45,0,求 的值解析:因为(sinsin)2352,(coscos)2452,以上两式展开两边分别相加得 22cos()1,所以 cos()12.所以 0,0,所以 23.|素养提升|对公式 C()的三点说明(1)公式的结构特点:公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正
7、正,符号相反”记忆公式(2)公式的适用条件:公式中的,不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如 cos2 2中的“2”相当于公式中的角,“2”相当于公式中的角.(3)公式的“活”用:公式的运用要“活”,体现在顺用、逆用、变用而变用又涉及两个方面:公式本身的变用,如cos()coscossinsin.角的变用,也称为角的变换,如 coscos()等|巩固提升|1(2016南昌校级二模)已知 cosx6 33,则 cosxcosx3 等于()A2 33B2 33C1 D1解析:因为 cosx6 33,所以 cosxcosx3 cosx12cosx 32 sinx 32cosx 32 sinx 332 cosx12sinx 3cosx6 1.故选 C.答案:C2已知ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 a(cosA,sinA),b(cosB,sinB)且 ab1,则ABC 一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析:因为 abcosAcosBsinAsinBcos(AB)1,且 A,B,C 是三角形的内角,所以 AB,即ABC 一定是等腰三角形故选 B.答案:B3化简 cos(55)cos(5)sin(55)sin(5)_.解析:原式cos(55)(5)cos(60)12.答案:12