1、图形标准方程焦点坐标准线方程220ypx(p)220 xpy(p)220 xpy(p)2p(0)，2p(0,)2p(0,)220ypx(p)2p(0)，2px 2px 2py 2py 2.4.2 抛物线的简单几何性质 2.4抛物线 抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程 研究它的一些简单几何性质.探究 抛物线的简单几何性质)0(22ppxy方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=
2、1抛物线的几何性质 xyOFABy2=2px2p 过焦点而垂直于对称轴的 弦AB，称为抛物线的通径.利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2(,)2pp|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.1.通径 4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21开阔视野 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP2.焦半径 0pPFx.2(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛
3、物线的离心率e是确定的，为;(5)抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.【提升总结】解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（，），所以，可设它的标 准方程为 2 22y2px(p0),因为点M在抛物线上，所以 2(2 2)22,p因此,所求抛物线的标准方程是 24.yx 【例】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标 原点，并且经过点M（，），求它的标准方程.2 2即p=2.2214yxF,A,BAB.l【例】斜率为 的直线 经过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，求线段的长分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与
4、抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出AB.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.数形结合的方法122ABAFBFxx.12 A,Bxx,AB.由此可见，只要求出点的横坐标之和就可以求出xyOFABBA x y 4 2 1211ABAFdx,BFdx,122ABAFBFxx.于是1 01 F(,),AB yx.(1)由已知得抛物线的焦点为所以直线的方程为211 012p p,F(,),:x.l 由意可知，焦解：准1122ABA(x,y),B(x,y),A,Bld,d.如图，设到准线 的距离分别为由抛物线的定义可知题 点 线 lxyOFABBA 2214
5、14yx,(x)x,将（）代入方程得2610 xx.化简得126xx.利用根与系数的关系可以直接求出8AB.所 以，线 段的 长 是1228ABxx.于是分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则AFAD，BFBCABAFBFAD
6、BC=2EHD1.（2013四川高考）抛物线28yx的焦点 到直线30 xy的距离是（）A.2 3 B.2 C.3 D.1 2.已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=.22(0)ypx p43.已知直线x-y=2与抛物线交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是.24yx(4,2)4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置.xyOBA(40,30)所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.解：在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px（p0），由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p40 解得:p=45.4故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)8451.范围2.对称性 3.顶点 4.离心率 5.通径 6.焦半径 几何性质：知识应用：1.数学应用：求曲线方程，求相交弦，证明等 2.实际应用 人一生下就会哭，笑是后来才学会的。所以忧伤是一种低级的本能，而快乐是一种更高级的能力。
