1、第3章 不等式3.4基本不等式(a0,b0)3.4.2 基本不等式的应用A级基础巩固一、选择题1若x4,则函数yx()A有最大值6B有最小值6C有最大值2 D没有最小值解析:yx442 46.当且仅当x4时,即x5时取得最小值6.答案:B2设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是()A10B6C4D18解析:3x3y2218,当且仅当3x3y,即xy时取等号答案:D3已知abt(a0,b0),t为常数,且ab的最大值为2,则t等于()A2 B4 C2 D2解析:当a0,b0时,ab,当且仅当ab时取等号因为ab的最大值为2,所以2,t28,所以t2.故选C.答案:C4小王从甲地到乙地往返的时
2、速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()Aav BvC.v Dv解析:设甲地到乙地距离为s,则v,因为ab,所以a,.答案:A5若xy是正数,则的最小值是()A3 B. C4 D.解析:x2y21124.当且仅当xy或xy时取等号答案:C二、填空题6已知函数f(x)x(x2)的图象过点A(3,7),则此函数的最小值是_解析:把A(3,7)代入函数关系式可得a4,因为x2,所以x20.故f(x)x226,当x4时,取“”答案:67函数y的最小值是_解析:令t1,则yt4,当t2,即x时,ymin4.答案:48已知三个函数y2x,yx2,y的图象都过点A,且点A在直线1(m0,n0)上
3、,则log2mlog2n的最小值为_解析:由题易得点A的坐标为(2,4),因为点A在直线1(m0,n0)上,所以12 .所以mn16.所以log2mlog2nlog2(mn)4.故log2mlog2n的最小值为4.答案:4三、解答题9已知x,求f(x)的最小值解:因为x,所以x20.所以f(x)(x2)2.当且仅当x2,即x3时,等号成立故当x3时,f(x)min2.10过点P(1,2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当ABO的面积最小时,求直线l的方程解:设A(a,0),B(0,b),则a0,b0,则l的方程为1.又因为l过P点,所以1,三角形的面积Sab.由1abb2a2a
4、b8,当且仅当b2a,即a2,b4时,Smin4.所以l的方程为1,即2xy40.B级能力提升一、选择题11已知向量a(x1,2),b(4,y)若ab,则9x3y的最小值为()A2 B12 C6 D3解析:因为ab,所以ab0,即4(x1)2y0,即2xy2,所以9x3y226.当且仅当2xy1时取等号,所以最小值为6.答案:C12已知M是定值,下列各条件中,ab没有最大值的条件是()Aa2b2MBa,bR,且abMCa0,b0,且abMDab0,abM解析:由ab及ab对任何实数a,b都成立,且ab时,等号成立,可知A、B、C三项均有最大值但D项中不存在等号成立的条件,故D项没有最大值答案:D13已知不等式(xy)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8解析:(xy)1a12a(1)2.由(1)29,解得a4.答案:B二、填空题14已知x0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是_解析:因为x2y2xy8,所以y0.所以0x0),则t1,所以m对任意t1成立因为t1,所以t10.所以t112 13.所以.当且仅当t1,即t2,即xln 2时等号成立所以实数m的取值范围是.