1、2导数的概念及其几何意义A组1.若函数f(x)=-3x-1,则f(x)=()A.0B.-3xC.3D.-3解析:f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0-3(x+x)-1+3x+1x=limx0(-3)=-3.答案:D2.已知函数y=f(x)的图像如下图所示,则f(xA)与f(xB)的大小关系是()A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能确定解析:由图像易知,点A,B处的切线斜率kA,kB满足kAkB0,由导数的几何意义,得f(xA)f(xB).答案:B3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则a=()A
2、.-1B.1C.-2D.2解析:k=limx0(2+x)3-23x=limx012+6x+(x)2=12,过点(2,8)的切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16,a=1.答案:B4.若曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,则该切点的坐标为()A.(1,-8)B.(-1,-12)C.(1,-8)或(-1,-12)D.(1,-12)或(-1,-8)解析:设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x03+x0-10.切线斜率k=limx0(x0+x)3+(x0+x)-10-(x03+x0-10)x=limx0(3x02+1)+3x0x+(x)2=3x02+1=4,x0=1
3、.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12,即切点为(1,-8)或(-1,-12).答案:C5.曲线f(x)=x2在x=0处的切线方程为.解析:f(0)=limx0(0+x)2-0x=limx0x=0,又切线过点(0,0),故切线方程为y=0.答案:y=06.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9,P点的横坐标是4,则f(4)+f(4)=.解析:由题意得,f(4)=-2,f(4)=-24+9=1.因此,f(4)+f(4)=1-2=-1.答案:-17.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a0)处的切线与x轴、直线x=a围成的三角形的面积为16,则a=.解析:
4、因为f(a)=limx0(a+x)3-a3x=3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).令y=0,得切线与x轴的交点为23a,0,由题设知三角形面积为12a-23a|a3|=16,解得a=1.答案:18.求下列函数的导数.(1)求函数f(x)=x在x=1处的导数;(2)求y=x2+ax+b(a,b为常数)的导数.解(1)解法一(导数定义法):y=1+x-1,yx=1+x-1x=11+x+1.limx011+x+1=12,f(1)=12.解法二(导函数的函数值法):y=x+x-x,yx=x+x-xx=1x+x+x.limx0yx=limx01x+x+x=12x.f
5、(x)=12x,f(1)=12.(2)y=limx0(x+x)2+a(x+x)+b-(x2+ax+b)x=limx02x(x)+a(x)+(x)2x=limx0(2x+a+x)=2x+a.9.导学号01844032已知曲线y=1t-x上点P(2,-1).求:(1)曲线在点P处的切线的斜率;(2)曲线在点P处的切线方程.解将P(2,-1)代入y=1t-x,得t=1,y=11-x.y=limx0f(x+x)-f(x)x=limx011-(x+x)-11-xx=limx0x1-(x+x)(1-x)x=limx01(1-x-x)(1-x)=1(1-x)2.(1)曲线在点P处的切线的斜率为1(1-2)2
6、=1;(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.B组1.曲线y=f(x)=12x2-2在点1,-32处切线的倾斜角为()A.1B.4C.54D.-4解析:由导数的定义可知f(x)=x,所以f(1)=1=tan,故=4.答案:B2.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则ab的值为()A.23B.-23C.13D.-13解析:由导数的定义可得y=3x2,y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=3.由条件知,3ab=-1,ab=-13.答案:D3.函数y=f(x)的图像在点P(5,f(5)处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5
7、)=.解析:由题意知,f(5)=-5+8=3,f(5)=-1,f(5)+f(5)=2.答案:24.如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则ff(0)=;limx0f(1+x)-f(1)x=.(用数字作答)解析:易知f(x)=-2x+4(0x2),x-2(2x6),f(0)=4,ff(0)=f(4)=2.由导数的定义知limx0f(1+x)-f(1)x=f(1)=-2.答案:2-25.导学号01844033已知曲线C:y=1t-x经过点P(0,-1),求:(1)曲线在点P处的切线的斜率.(2)曲线在点P处的切线的方程.(3)过点O(
8、0,0)的曲线C的切线方程.解(1)将P(0,-1)代入y=1t-x中得t=-1,y=-1x+1.yx=f(x+x)-f(x)x=-1x+x+1+1x+1x=1(x+x+1)(x+1),limx0yx=1(x+1)2,曲线在点P处切线的斜率为k=1(0+1)2=1.(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x,即x-y-1=0.(3)点O(0,0)不在曲线C上,设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0),则切线斜率k=y0x0=1(x0+1)2,y0=-1x0+1,x0=-12,切点M-12,-2,切线斜率k=4,切线方程为y+2=4x+12,即y=4x.6.导学号01844034已知
9、直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.解(1)f(x)=limx0(x+x)2+(x+x)-2-x2-x+2x=limx02x(x)+(x)2+xx=limx0(2x+x+1)=2x+1.f(1)=21+1=3,直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.l1l2,则有2b+1=-13,b=-23,直线l2的方程为y=-13x-229.(2)解方程组y=3x-3,y=-13x-229,得x=16,y=-52.故直线l1和l2的交点坐标为16,-52.l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),-223,0,故所求三角形的面积S=12253-52=12512.
