1、题型练9大题综合练(一)题型练第74页一、解答题1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解：(1)由题设及A+B+C=,得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a
2、+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.2.某商店欲购进某种食品(保质期两天),此商店每两天购进该食品一次(购进时,该食品为刚生产的).根据市场调查,该食品每份进价8元,售价12元.如果两天内无法售出,那么食品过期作废,且两天内的销售情况互不影响.为了了解市场的需求情况,现统计该产品在本地区100天的销售量如下表:销售量/份15161718天数20304010(视样本频率为概率)(1)根据该产品100天的销售量统计表,记两天中一共销售该食品份数为,求的分布列与期望;(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据,该商店一次性购进32份或33份,哪一种得到
3、的利润更大?解：(1)根据题意可得P(=30)=1515=125,P(=31)=153102=325,P(=32)=15252+310310=14,P(=33)=151102+310252=725,P(=34)=3101102+2525=1150,P(=35)=251102=225,P(=36)=110110=1100,的分布列如下:30313233343536P1253251472511502251100E()=30125+31325+3214+33725+341150+35225+361100=32.8.(2)当购进32份时,利润为3242125+(314-8)325+(304-16)12
4、5=107.52+13.92+4.16=125.6;当购进33份时,利润为33459100+(324-8)14+(314-16)325+(304-24)125=77.88+30+12.96+3.84=124.68.由125.6124.68,可知当购进32份时,利润更高.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,说明理由.答案：(1)证明因为平面PAD平面AB
5、CD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.(2)解取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.由题意,得点A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nPD=0,nPC=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又PB=(1,1,
6、-1),所以cos=nPB|n|PB|=-33.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)解设M是棱PA上一点,则存在0,1使得AM=AP.因此点M(0,1-,),BM=(-1,-,).因为BM平面PCD,所以BM平面PCD当且仅当BMn=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=14.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时AMAP=14.4.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为510.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,
7、-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72,求E的方程.解：(1)由题设条件知,点M的坐标为23a,13b,又kOM=510,从而b2a=510,进而得a=5b,c=a2-b2=2b,故e=ca=255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为x5b+yb=1,点N的坐标为52b,-12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1,72,则线段NS的中点T的坐标为54b+x12,-14b+74.又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3.所以a=35,故椭圆E的方程为
8、x245+y29=1.5.已知函数f(x)=x-ln x.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)8-8ln 2;(2)若a3-4ln 2,证明:对于任意k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.答案：证明(1)函数f(x)的导函数f(x)=12x-1x,由f(x1)=f(x2),得12x1-1x1=12x2-1x2,因为x1x2,所以1x1+1x2=12.由基本不等式,得12x1x2=x1+x224x1x2,因为x1x2,所以x1x2256.由题意得f(x1)+f(x2)=x1-ln x1+x2-ln x2=12x1x2-ln(x1x2).设g(x)=12x-ln x,则g(x)=14x(x-4),所以x(0,16)16(16,+)g(x)-0+g(x)2-4ln 2所以g(x)在256,+)上单调递增,故g(x1x2)g(256)=8-8ln 2,即f(x1)+f(x2)8-8ln 2.(2)令m=e-(|a|+k),n=|a|+1k2+1,则f(m)-km-a|a|+k-k-a0,f(n)-kn-an1n-an-kn|a|+1n-k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
