1、思想方法训练3数形结合思想思想方法训练第6页一、能力突破训练1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数z1+i对应的点位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由题图知,z=2+i,则z1+i=2+i1+i=2+i1+i1-i1-i=32-12i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.2.设全集U=x|x8,xN*,若AU,BU,B(UA)=2,6,A(UB)=1,8,(UA)(UB)=4,7,则()A.A=1,6,B=2,8B.A=1,3,5,6,B=2,3,5,8C.A=1,6,B=2,3,5,8D.A=1,
2、3,5,8,B=2,3,5,6答案:D解析:根据题意可作出Venn图如图所示,由图可知A=1,3,5,8,B=2,3,5,6.3.若变量x,y满足x-y+10,y1,x-1,则(x-2)2+y2的最小值为()A.322B.5C.92D.5答案:D解析:如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分).设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为可行域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图象可知,C,D两点间的距离最小,此时z最小,由y=1,x-y+1=0,可得x=0,y=1,即C(0,1).所以zmin=(0-2)2+12=4+1=5.4.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a0)在区间(-
3、,b上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于()A.22B.2-2或6-32C.632D.2+2或6+32答案:D解析:结合函数f(x)的图象(图略)知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.当a=1时,-b2+4b-3=-1(b3),解得b=2+2;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b9),解得b=6+32,故选D.5.已知函数f(x)=|lgx|,010,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)答案:C解析:作出f(x)的大致图象.由图象知,要使f(a)=f(b
4、)=f(c),不妨设abc,则-lg a=lg b=-12c+6.lg a+lg b=0,ab=1,abc=c.由图知10c2,(-2)3+t-2,解得-6t6. 7.(2019全国,理9)下列函数中,以2为周期且在区间4,2内单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案:A解析:y=|cos 2x|的图象为,由图知y=|cos 2x|的周期为2,且在区间4,2内单调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为,由图知它的周期为2,但在区间4,2内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以
5、它的周期为2,不符合题意;y=sin |x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.答案:-12解析:在同一坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-12.9.函数f(x)=2sin xsinx+2-x2的零点个数为.答案:2解析:f(x)=2sin xsinx+2-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x0时,两图象有2个交点,
6、当x0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.10.如图,ABC是等腰直角三角形,斜边AB=2,D为直角边BC上一点(不含端点).将ACD沿直线AD折叠至AC1D的位置,使得点C1在平面ABD外,若点C1在平面ABD上的射影H恰好在线段AB上,则AH的取值范围是.答案:(1,2)解析:在等腰直角三角形ABC中,斜边AB=2,D为直角边BC上的一点,故AC=BC=2,ACB=90.设AH=x,AC1=AC=2,CD=C1D(0,2),AC1D=90,C1H平面ABC,AHAC1=2.当CD12AB=1.AH的取值范围是(1,2).11.已知R,函数f(x)=x-4,x,x
7、2-4x+3,x.当=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是.答案:(1,4)(1,3(4,+)解析:当=2时,f(x)=x-4,x2,x2-4x+3,x2.当x2时,f(x)=x-40,解得x4,2x4.当x2时,f(x)=x2-4x+30,解得1x3,1x2.综上可知,1x4,即f(x)0的解集为(1,4).分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图,由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知14.故的取值范围为(1,3(4,+).12.已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,02的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)
8、=fx-122,求函数g(x)在x-6,3上的最大值,并确定此时x的值.解:(1)由题图知A=2,T4=3,则2=43,得=32.又f-6=2sin32-6+=2sin-4+=0,sin-4=0.02,-4-42,函数g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()A.74,+B.-,74C.0,74D.74,2答案:D解析:由f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x2,得f(x)=2+x,x2,f(2-x)=2+2-x,2-x2=x2,x2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x2.因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2
9、-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b74,2时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.14.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.-32e,1B.-32e,34C.32e,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),当x-12时,g(
10、x)-12时,g(x)0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g-12.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D12,0.取点C-1,-3e.由图可知,不等式g(x)h(x)只有一个整数解时,须满足kPCakPA.而kPC=0-3e1-(-1)=32e,kPA=0-(-1)1-0=1,所以32ea1.故选D.15.在锐角三角形ABC中,B=
11、60,|AB-AC|=2,则ABAC的取值范围为()A.(0,12)B.-14,12C.(0,4D.(0,2答案:A解析:以B为原点,BA所在直线为x轴建立平面直角坐标系.B=60,|AB-AC|=|BC|=2,C(1,3).设A(x,0),ABC是锐角三角形,A+C=120,30A90,即点A在如图所示的线段DE上(不与D,E重合),1xkOC1kOC3,故p1,p2,p3中最大的是p2.17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,bR),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值;(2)若函数F(x)=f(x),x0,g(x),x0,且方程F(x)=a
12、2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.解:函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+).(1)f(x)=3ax2-3af(1)=0,g(x)=2bx-1xg(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=12.(2)当x(0,1)时,g(x)=x-1x0.所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12.当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,当x(-1,0)时,f(x)0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示.从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则12a22a,所以实数a的取值范围是22,2.图图
