1、【课标要求】1.掌握数乘向量的定义，运算律及几何意义.2.掌握向量共线的判定定理和性质定理.3了解向量线性运算的性质及其几何意义自主学习 基础认识1数乘向量的概念与运算律(1)数乘向量：定义：a 是一个向量；长度：|a|；方向：(2)数乘向量的运算律：(a)()a(，R)；()aaa(，R)；(ab)ab(R)2向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线(2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数，使得 ba.|自我尝试|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数 与向量 a 的积还是
2、向量()(2)实数 与向量 a 的和 a 与差 a 都是向量()(3)对于非零向量 a，向量6a 与向量 2a 方向相反()(4)向量8a 的模是向量 4a 的模的 2 倍()(5)若 ba(a0)，则 a 与 b 方向相同或相反()(6)若 ab，则存在 R，使得 ba.()2在四边形 ABCD 中，若AB12CD，则此四边形是()A平行四边形 B菱形C梯形D矩形解析：因为AB12CD，所以 ABCD，且 AB12CD，所以四边形 ABCD 为梯形 答案：C3化简：13122a8b4a2b()A2abB2baCba Dab解析：原式13(a4b)(4a2b)13(3a6b)2ba，选B.答案
3、：B4若|a|5，b 与 a 的方向相反，且|b|7，则 a()A.57bB57bC.75bD75b解析：b 与 a 反向，故 ab(0，2a 与 a 方向相同，且|2a|2|a|.(2)对，60，6a 与 a 方向相同，且|6a|6|a|.20，2a 与 a 方向相反，且|2a|2|a|.6a 的模是2a 的模的 3 倍(3)对(4)错，0a0，0 与任一向量共线，a(0)与 b 是共线的 课堂探究 互动讲练类型一向量的线性运算例 1(1)计算：4(ab)3(ab)8a；(5a4bc)2(3a2bc)；234a3b13b146a7b.(2)设向量 a3i2j，b2ij，求13ab a23b(
4、2ba)【解析】(1)原式4a4b3a3b8a7a7b.原式5a4bc6a4b2cac.原式234a3b13b32a74b 2352a1112b 53a1118b.(2)原式13aba23b2ba 1311 a1232 b 53a53b53(3i2j)53(2ij)5103 i103 53 j 53i5j.方法归纳 向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程
5、的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算跟踪训练 1(1)下列各式计算正确的个数是()(7)6a42a；a2b2(ab)3a；ab(ab)0.A0 B1C2 D3(2)若 2x13a 12(bc3x)b0，其中 a，b，c 为已知向量，求未知向量 x.C解析：(1)根据向量数乘的运算律可验证正确；错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数(2)因为 2x23a12b12c32xb0，所以72x23a12b12c0，所以72x23a12b12c，所以 x 421a17b17c.类型二向量共线定理及应用例 2 已知非零向量 e1，e2 不共线(1)如果
6、ABe1e2，BC2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A、B、D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值【解析】(1)证明：ABe1e2，BD BC CD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB.AB，BD 共线，且有公共点 B，A、B、D 三点共线(2)解：ke1e2 与 e1ke2 共线，存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0k10，k1.方法归纳 向量共线定理的应用(1)若 ba(a0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若 ba(a0)，且 b
7、与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若ABAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法跟踪训练 2(1)已知 e1，e2 是平面内不共线的两个向量，a2e13e2，be16e2，若 a，b 共线，则 等于()A9 B4C4 D9(2)设 a，b 为不共线的两个非零向量，已知向量ABakb，CB2ab，CD 3ab，若 A，B，D 三点共线，则实数 k 的值等于()A10 B10C2 D2BC解析：(1)由 a，b 共线知 amb，mR，于是 2e13e2m(e16e2)，即(2m)e1(6m3)e2.由于 e1，e2 不
8、共线，所以6m302m0，所以 4.(2)因为 A，B，D 三点共线，所以ABBD(CD CB)，所以akb(3ab2ab)(a2b)，所以 1，k2.类型三用已知向量表示其他向量例 3 如图，ABCD 是一个梯形，ABCD 且|AB|2|CD|，M，N 分别是 DC，AB 的中点，已知ABe1，AD e2，试用 e1，e2 表示下列向量(1)AC_；(2)MN _.e212e114e1e2【解析】因为ABCD，|AB|2|CD|，所以 AB2DC，DC 12AB.(1)ACAD DC e212e1.(2)MN MD DA AN12DC AD 12AB 14e1e212e1 14e1e2.方法
9、归纳 用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练 3 在本例中，若条件改为BCe1，AD e2，试用 e1，e2 表示向量MN.解析：因为MN MD DA AN，MN MC CBBN，所以 2MN(MD MC)DA CB(ANBN)又因为 M，N 分别是 DC，AB 的中点，所以MD MC 0，ANBN0.所以 2MN DA CB，所以MN 12(AD BC)12e212e1.|素养提升|1对向量的数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量
10、相乘，其结果是一个向量，方向与 的正负有关(2)当 0 时，a0.(3)向量的数乘运算要遵循向量数乘的运算律2证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题如图 A、B、C 三点共线，则ABAC，任取直线 AC 外一点 P，则PBPA(PCPA)，所以PBPC(1)PA，由此可推出三点共线的等价命题：A、B、C 三点共线等价于PBPCPA(、R 且 1)3向量平行与直线平行的区别利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题|巩固提升|1如图，已知ABa，ACb，BD 3DC，用 a，b 表示AD，则AD()Aa34b B.34a14bC.14a14bD.14a34b解析：AD ABBD AB34BCAB34(ACAB)14AB34AC14a34b.答案：D2若点 O 为平行四边形 ABCD 的中心，AB2e1，BC3e2，则32e2e1()A.BOB.AOC.COD.DO解析：BD AD ABBCAB3e22e1，BO 12BD 32e2e1.答案：A3已知向量 a，b 满足|a|3，|b|5，且 ab，则实数 的值是_解析：由 ab，得|a|b|b|.|a|3，|b|5，|35，即 35.答案：35
